Teorema ATC

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Teorema ATS : un teorema sobre la aproximación de una suma trigonométrica por una más corta.

En algunas áreas de las matemáticas y la física matemática, las sumas de la forma

S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}.

Aquí y son funciones reales de un argumento real, $\varfi(x)$ $f(x)$ $i^2= -1.$

Tales sumas aparecen, por ejemplo, en teoría de números al analizar la función zeta de Riemann , al resolver problemas relacionados con la distribución de puntos enteros en varias áreas en un plano y en el espacio , al estudiar series de Fourier , al resolver ecuaciones diferenciales como la de onda ecuación , ecuación conductividad térmica , etc.

Observaciones introductorias

Llamemos a la longitud de la suma $S$ un número (para números enteros y este es solo el número de términos en ). $licenciado en Letras$ $a$ $b$ $S$

Vamos a utilizar la siguiente notación:

Si o notación significa que hay constantes y , tal que $B > 0, B \to +\infty$ $B \ a 0$ $1 \ll \frac{A}{B} \ll 1$ $C_1 > 0$ $C_2 > 0,$ $C_{1}\leq {\frac{|A|}{B}}\leq C_{2}.$
Para una notación real significa que $\alfa$ ${\ estilo de visualización \|\ alfa \|}$ $\|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),$ donde esta la parte fraccionaria $\{\alfa\}$ $\alfa.$

Formulemos el teorema principal sobre la sustitución de una suma trigonométrica (a veces también llamada exponencial) por una más corta.

Teorema ATS

Sean las funciones reales y satisfagan las siguientes condiciones en el intervalo: $f(x)$ $\varfi(x)$ $[a,b]$

$f''(x)$ y son continuos; $\varfi''(x)$
hay números , y tal que $H$ $tu$ $V$ $H>0,~~1\ll U\ll V,~~0<ba\leq V,$ $\begin{array}{rc} \frac{1}{U} \ll f''(x) \ll \frac{1}{U} \ ,& \varphi(x) \ll H ,\\ f' ''(x) \ll \frac{1}{UV} \ ,& \varphi'(x) \ll \frac{H}{V} ,\\ f''''(x) \ll \frac{ 1}{UV^2} \ ,& \varphi''(x) \ll \frac{H}{V^2} . \\ \end{matriz}$

Luego, determinando los números de la ecuación $x_{\mu}$

f'(x_{\mu}) = \mu,

tenemos

\sum_{a< \mu\le b} \varphi(\mu)e^{2\pi if(\mu)} = \sum_{f'(a)\le\mu\le f'(b)} C(\mu)Z(\mu) + R ,

dónde

R = O \left(\frac{HU}{ba} + HT_a + HT_b + H\log\left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);

T_{j}=\left\{{\begin{array}{rc}0\ ,&\ {{\textit {i}}f}\ \ f'(j)\ {{\textit {i }}s\ un\ entero};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}}),{\sqrt {U}}\right)\ ,&\ { {\textit {i}}f}\ \ \|f'(j)\|\neq 0;\\\end{matriz}}\right.

j = a,b;

C(\mu) = \left\{ \begin{array}{rc} 1 \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ f'(a) < \mu < f'(b) ;\\ \ frac{1}{2} \ \ ,& \ \ {\textit si} \ \ \mu = f'(a) \ \ {\textit or} \ \ \mu = f'(b) ;\\ \end {matriz}\derecha.

Z(\mu) = \frac{1+i}{\sqrt 2}\frac{\varphi(x_{\mu})}{\sqrt{f''(x_{\mu)))))e^ { 2\pi i(f(x_{\mu})- \mu x_{\mu})} \ .

Lema de Van der Corput

La versión más simple del teorema formulado es un enunciado llamado en la literatura el lema de van der Corput .

Sea una función diferenciable real en el intervalo , además, dentro de este intervalo su derivada es una función monótona y de signo constante, y para , satisface la desigualdad $f(x)$ $a< x \le b$ $f'(x)$ $\delta = constante$ $0 < \ delta < 1$

|f'(x)| \leq\delta.

Después

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi if(k)} = \int_a^be^{2\pi if(x)}dx + \theta\left(3 + \frac{2\ delta}{1-\delta}\derecha),

dónde $|\theta| \ le 1.$

Si los parámetros y son números enteros , entonces la última expresión se puede reemplazar por lo siguiente: $a$ $b$

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi si(k)} = \int_a^be^{2\pi si(x)}dx + \frac12e^{2\pi si(b)} - \frac12e^{2\pi si(a)} + \theta\frac{2\delta}{1-\delta},

donde _ $|\theta| \ le 1$

Aplicación

Ver [1] , [2] , ver también [3] , [4] para aplicaciones de ATS en problemas de física .

Historia

Euler y Poisson consideraron el problema de aproximar una serie trigonométrica mediante cualquier función adecuada .

Bajo ciertas condiciones, la suma se puede reemplazar con buena precisión por otra suma $\varfi(x)$ $f(x)$ $S$ $S_1,$

S_1 = \sum_{\alpha<k\le \beta} \Phi(k)e^{2\pi i F(k)} ,

cuya longitud es mucho menor que las primeras relaciones de la forma $\beta-\alfa$ $licenciado en Letras.$

S=S_{1}+R\ ,

donde es el término resto, con funciones específicas y fueron obtenidos por G. Hardy y J. Littlewood [5] [6] [7] al derivar una ecuación funcional para la función zeta de Riemann e I. Vinogradov [8] , al considerar la número de puntos enteros en áreas en el plano. En términos generales, el teorema fue demostrado por J. Van der Corput [9] [10] (para resultados recientes relacionados con el teorema de Van der Corput , ver [11] ). $R$ $\varfi(x)$ $f(x),$ $\zeta (s)$

En cada una de las obras anteriores, se impusieron algunas restricciones a las funciones y . Con restricciones convenientes para las aplicaciones, el teorema fue demostrado por A. A. Karatsuba en [12] (ver también [13] [14] ). $\varfi(x)$ $f(x)$

Notas

↑ EA Karatsuba Aproximación de sumas de sumandos oscilantes en ciertos problemas físicos, - JMP 45:11 , pp. 4310-4321 (2004).
↑ EA Karatsuba Sobre una aproximación al estudio de la suma de Jaynes-Cummings en óptica cuántica, - Numerical Algorithms, vol. 45, núm. 1-4, págs. 127-137 (2007).
↑ E. Chassande-Mottin, A. Pai Mejor cadena chirplet: detección casi óptima de chirridos de ondas gravitacionales, Phys. Rvdo. D73 :4 , 042003, págs. 1-23 (2006).
↑ M. Fleischhauer, W.P. Schleich Revivals simplificado: fórmula de suma de Poisson como clave para los avivamientos en el modelo de Jaynes-Cummings, Phys. Rvdo. 47:3 , págs. 4258-4269 (1993).
↑ GH Hardy y JE Littlewood La serie trigonométrica asociada con las funciones elípticas θ, Acta Math. 37 , págs. 193-239 (1914).
↑ GH Hardy y JE Littlewood Contribuciones a la teoría de la Función Zeta de Riemann y la teoría de la distribución de números primos, - Acta Math. 41 , págs. 119-196 (1918).
↑ GH Hardy y JE Littlewood Los ceros de la función zeta de Riemann en la recta crítica, Math. Z., 10 , págs. 283-317 (1921).
↑ I. M. Vinogradov Sobre el valor medio del número de clases de formas puramente de raíz de un determinante negativo, - Soobshch. Járkov. Estera. Islands, vol.16, no.1/2, pp.10-38 (1918).
↑ JG Van der Corput Zahlentheoretische Abschätzungen, Math. Ana. 84 , págs. 53-79 (1921).
↑ JG Van der Corput Verschärfung der abschätzung beim teilerproblem, Matemáticas. Ann., 87 , págs. 39-65 (1922).
^ HL Montgomery Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría numérica analítica y el análisis armónico, - Am. Matemáticas. Soc., 1994.
↑ A.A. Karatsuba Aproximación de sumas exponenciales por otras más cortas, - Proc. Indio. Academia ciencia (Matemáticas y Ciencias) 97:1-3 , págs. 167-178 (1987).
↑ S. M. Voronin, A. A. Karatsuba Riemann función zeta, - M. : Fizmatlit, 1994.
↑ A. A. Karatsuba, M. A. Korolev Un teorema sobre la aproximación de una suma trigonométrica más corta, Izvestiya RAN. Serie Matemáticas, volumen 71, número 2, pág. 123-150 (2007).