Teoría de números aditivos

La teoría de números aditivos es una rama de la teoría de números que surgió en el estudio de problemas sobre la descomposición de números enteros en términos de una forma dada [1] (por ejemplo, en números primos , números en espiral , e potencias, etc.).

Entre los problemas clásicos, cuyo estudio sentó las bases de la teoría aditiva de números, podemos nombrar los siguientes [1] .

• El problema de representar un número como suma de cuatro cuadrados y su generalización: el teorema de Fermat sobre los números poligonales .
• El problema de representar un número primo como suma de dos cuadrados .
• El problema de Goldbach .
• El problema de Waring .
• Las hipótesis de Pollock .

La solución de estos problemas se complica por el hecho de que varias operaciones básicas con números naturales participan simultáneamente en las formulaciones :

• (multiplicativo) - división, con la ayuda de la cual se determinan los números primos, y multiplicación, que forma cuadrados, cubos, etc.;
• (aditivo) - adición.

La relación entre las propiedades aditivas y multiplicativas de los números es extremadamente compleja, y esta complejidad es responsable de la dificultad para resolver muchos problemas en teoría de números [2] .

La moderna teoría de números aditivos incluye una amplia gama de problemas en el estudio de grupos abelianos y semigrupos conmutativos con la operación de adición [3] . La teoría aditiva de números está estrechamente relacionada con la teoría combinatoria de números (especialmente la combinatoria aditiva ) [4] y con la geometría de los números , utiliza métodos analíticos , algebraicos y probabilísticos . Dependiendo de los métodos de solución, los problemas aditivos son una parte integral de otras secciones de la teoría de números: teoría analítica de números , teoría algebraica de números , teoría probabilística de números [1] .

Historia

Los primeros resultados sistemáticos en la teoría de números aditivos provinieron de Leonhard Euler , quien publicó en 1748 una investigación (por medio de series de potencias ) de la expansión de los números naturales en términos naturales; en particular, consideró el problema de descomponer un número en un número dado de términos y demostró el teorema de los números pentagonales [5] . En el mismo período surgieron dos problemas clásicos de tipo aditivo: el problema de Goldbach y el problema de Waring , y posteriormente aparecieron decenas de problemas nuevos.

Para resolver muchos de estos problemas, herramientas generales como el método del círculo de Hardy-Littlewood , el método del tamiz [6] y el método de la suma trigonométrica han resultado útiles . Hilbert demostró [7] que para cualquier número entero, cualquier número natural es la suma de un número limitado de términos elevado a . Lev Shnirelman en 1930 introdujo el concepto de la densidad de una sucesión de números naturales, lo que permitió un avance significativo en la solución del problema de Goldbach y la demostración del teorema de Waring generalizado [8] ..

Grigory Freiman en 1964 demostró un teorema importante del campo de la combinatoria aditiva .

Estado actual

Un subconjunto se denomina base aditiva (asintótica) [9] de orden finito si cualquier número natural lo suficientemente grande se puede escribir como la suma de la mayoría de los elementos de . Por ejemplo, los números naturales son en sí mismos una base aditiva de orden 1, ya que todo número natural es trivialmente la suma de a lo sumo un número natural. Menos trivial es el teorema de la suma de cuatro cuadrados de Lagrange , que mostró que el conjunto de números cuadrados es una base aditiva de cuarto orden. Otro resultado muy conocido y no trivial en esta dirección es el teorema de Vinogradov de que cualquier número natural impar suficientemente grande puede representarse como la suma de tres números primos [10] .

Muchos estudios modernos en esta área se refieren a las propiedades de las bases asintóticas generales de orden finito. Por ejemplo, un conjunto se llama base asintótica mínima de un orden si es una base asintótica de un orden , pero ningún subconjunto propio es una base asintótica de un orden . Se demostró [11] que existen bases de orden asintóticas mínimas para cualquier , y también existen bases de orden asintóticas que no contienen bases de orden asintóticas mínimas .

También se considera el problema: cuánto es posible reducir el número de representaciones en forma de una suma de elementos de una base asintótica. A esto se dedica la conjetura de Erdős-Turan (1941) [12] , que aún no ha sido demostrada .

Véase también

• Composición de números
• Teoría de los números multiplicativos
• Dividir un número

Notas

1. ↑ 1 2 3 Enciclopedia matemática, 1977 , p. 91.
2. ↑ Matemáticas, su contenido, métodos y significado (en tres volúmenes). - 1956. - T. 2. - S. 225. - 397 p.
3. ↑ Mann, 1976 .
4. ↑ Tao, 2006 .
5. ↑ Sobre el teorema pentagonal de Euler Archivado el 31 de enero de 2020 en Wayback Machine en MathPages .
6. ↑ Enciclopedia Matemática, 1984 , p. 979.
7. ↑ Karatsuba A. A. El problema de Hilbert-Kamke en la teoría analítica de números . Recuperado: 1 de diciembre de 2020. (indefinido)
8. ↑ Matemáticas en la URSS durante treinta años. 1917-1947 / Ed. A. G. Kurosh , A. I. Markushevich , P. K. Rashevsky . - M. - L .: Gostekhizdat , 1948. - S. 56-57. — 1044 pág.
9. ↑ Campana, Jason; Hare, Kathryn & Shallit, Jeffrey (2018), ¿Cuándo es un conjunto automático una base aditiva? , Actas de la American Mathematical Society , Serie B vol. 5: 50-63 , DOI 10.1090/bproc/37 
10. ↑ Karatsuba A. A. Euler y la teoría de números // Problemas modernos de las matemáticas. Tema. 11. - M. : MIAN , 2008. - S. 19-37. — 72 s. — ISBN 5-98419-027-3 .
11. ↑ Nathanson MB Bases mínimas y no bases máximas en la teoría de números aditivos // J. Number Theory. - 1974. - vol. 6, núm. 4.- Pág. 324-333.
12. ↑ Grekos G., Haddad L., Helou C., Pihko J. Sobre la conjetura de Erdős-Turán // J. Number Theory. - 2003. - vol. 102, núm. 2.- Págs. 339-352.

Literatura

• Teoría de números aditivos // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1977. - T. 1.
• Bukhshtab A. A. Problemas de la teoría aditiva de los números primos // Teoría de los Números. - M. : Educación, 1966. - 384 p.
• Gelfand A. O. , Linnik Yu. V. Propiedades aditivas de los números // Métodos elementales en teoría analítica de números. - M. : Fizmatgiz, 1962. - 272 p.
• Método de tamiz // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4.
• Postnikov A. G. Introducción a la teoría analítica de los números. - M. : Nauka, 1971. - 416 p.
• Shnirelman L. G. Sobre las propiedades aditivas de los números  // Avances en Ciencias Matemáticas . - 1939. - Nº 6 . - S. 9-25 .
• Henry Man . Teoremas de adición: los teoremas de adición de la teoría de grupos y la teoría de números. — Reimpresión corregida de Wiley de 1965. - Huntington, Nueva York: Robert E. Krieger Publishing Company, 1976. - ISBN 0-88275-418-1 .
• Nathanson, Melvyn B. Teoría de números aditivos: las bases clásicas. — Springer-Verlag , 1996. — ISBN 0-387-94656-X .
• Nathanson, Melvyn B. Teoría de números aditivos: problemas inversos y la geometría de sumas. - Springer-Verlag , 1996. - ISBN 0-387-94655-1 .
• Tao, Terence ; Vu, Van . Combinatoria aditiva. - Prensa de la Universidad de Cambridge , 2006. - Vol. 105.

Enlaces

• Bredikhin B. M. Teoría de números aditivos , Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. Teoría de números aditivos  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .