Bisectriz

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Bisectriz (del lat. bi- "doble" y sectio "cortar") de un ángulo: un rayo que emana del vértice del ángulo y divide este ángulo en dos ángulos iguales. También puede definir una bisectriz como el lugar geométrico de los puntos dentro de un ángulo que son equidistantes de los lados de ese ángulo [1] .

La bisectriz de un triángulo es el segmento de la bisectriz de un ángulo trazado desde el vértice del ángulo hasta su intersección con el lado opuesto. Un triángulo tiene tres bisectrices correspondientes a sus tres vértices.

Definiciones relacionadas

El punto de intersección de la bisectriz del ángulo de un triángulo con su lado que no es un lado de este ángulo se llama base de la bisectriz .

En cualquier triángulo , a excepción de las bisectrices internas o simplemente bisectrices , también se pueden dibujar bisectrices externas , es decir, las bisectrices de los ángulos adyacentes a los ángulos internos del triángulo. En este caso, las bisectrices interna y externa del mismo ángulo son perpendiculares . $A B C$
Dibujar las tres bisectrices externas en un triángulo dado hasta sus puntos de intersección entre sí en los centros de las excircunferencias (respectivamente ) forma un nuevo triángulo (ver Fig.), un triángulo de tres bisectrices externas . Este es un nuevo triángulo de centros de excircunferencias con vértices tangentes respectivamente a los lados del triángulo original. ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$ ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$ $a B C$
El centro de la circunferencia que pasa por los centros de las excircunferencias es el punto de Bevan .
El triángulo original es el ortotriángulo del triángulo . ${\displaystyle \Delta J_{A}J_{B}J_{C))$
El punto de intersección de las simedianas de un triángulo formado por los centros de sus excircunferencias es el centro de la elipse de Mandart . Este punto se llama en inglés punto medio, en alemán - "Mittelpunkt". Fue descubierto en 1836 por Christian Heinrich von Nagel. [2] [3] ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$

Propiedades

Propiedades de los puntos de intersección de bisectrices

Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto: el centro del círculo inscrito en este triángulo ( incentro ).
Las bisectrices de un ángulo interior y dos exteriores de un triángulo se cortan en un punto. Este punto es el centro de uno de los tres excírculos de este triángulo.
Cada bisectriz de un triángulo se divide por el punto de intersección de las bisectrices con relación a la suma de los lados adyacentes al lado opuesto, contados desde el vértice.
Una hipérbola de Feuerbach es una hipérbola circunscrita que pasa por el ortocentro y el centro de la circunferencia inscrita (también es el incentro o punto de intersección de las bisectrices internas de un triángulo). Su centro se encuentra en el punto de Feuerbach . Los círculos de poder y ceviano de puntos en una hipérbola de Feuerbach pasan por un punto de Feuerbach .

Propiedades relacionadas con los ángulos

Cada bisectriz de un ángulo interno ( externo ) de un triángulo que emerge de su vértice biseca este ángulo interno ( externo ) del triángulo (en dos mitades iguales).
El ángulo entre las bisectrices de dos ángulos adyacentes (entre las bisectrices interna y externa de los ángulos de un triángulo en un vértice) es de 90 grados.
La bisectriz interior de un ángulo de un triángulo es isogonalmente conjugada consigo misma.

Propiedades asociadas a los arcos

Propiedad de la bisectriz de un ángulo inscrito : la bisectriz de un ángulo inscrito divide en dos partes iguales el arco sobre el que descansa dicho ángulo.
La misma propiedad se cumple para la bisectriz del ángulo central .

Propiedades de las bisectrices de un triángulo isósceles

Si dos bisectrices de un triángulo son iguales, entonces el triángulo es isósceles ( el teorema de Steiner-Lemus ), y la tercera bisectriz es tanto la mediana como la altura del ángulo del que emerge.
Lo contrario también es cierto: en un triángulo isósceles , dos bisectrices son iguales y la tercera bisectriz es tanto la mediana como la altura.
En un triángulo isósceles, la bisectriz interior del ángulo opuesto a la base del triángulo es la mediana y la altura.
Una y solo una bisectriz del ángulo externo de un triángulo desigual puede ser paralela al lado opuesto del ángulo interno: la base, si el triángulo es isósceles .
En un triángulo equilátero, las tres bisectrices de los ángulos exteriores son paralelas a los lados opuestos.
Un triángulo equilátero tiene las tres mediatrices interiores iguales.

Propiedades de las bases de bisectrices

Teorema de la bisectriz (ver fig.) : La bisectriz de un ángulo interno de un triángulo divide el lado opuesto (es decir, divide el lado opuesto con su base ) en una proporción igual a la proporción de los dos lados adyacentes. Es decir,o. ${\frac{BD}{CD}}={\frac{AB}{AC}}$ ${\frac{BD}{AB}}={\frac{CD}{AC}}$
El teorema de la bisectriz es un caso especial del teorema de Steiner .
Las bases de las bisectrices de dos ángulos internos y uno externo de un triángulo están en la misma línea si la bisectriz del ángulo externo no es paralela al lado opuesto del triángulo (Una y solo una bisectriz del ángulo externo de un triángulo puede ser paralelo al lado opuesto: la base, si el triángulo es isósceles. Un triángulo equilátero tiene las tres esquinas exteriores de la bisectriz paralelas a los lados opuestos. No hay otras posibilidades).
La bisectriz de un ángulo interior de un triángulo divide isotómicamente al lado opuesto con respecto a la antibisectriz del mismo ángulo.
Los círculos construidos, como en un diámetro, en un segmento que conecta las bases de las bisectrices interior y exterior , liberados desde un ángulo, pasan por los puntos de Apolonio .
Un círculo pasa por el punto de Feuerbach , dibujado a través de las bases de tres bisectrices .
En el caso general, 3 perpendiculares a los lados del triángulo no se cortan en un punto, dibujadas a través de las bases de sus 3 bisectrices internas que se encuentran en estos lados. [cuatro]

Propiedades de los ejes de las bisectrices

Si las bisectrices de los ángulos externos de un triángulo no son paralelas a los lados opuestos , entonces sus bases se encuentran en la misma línea recta, llamada eje de las bisectrices externas .
El punto de Lemoine del triángulo se encuentra en la línea de Auber del cuadrilátero formado por los cuatro ejes de las bisectrices.

La propiedad de la proyección de un vértice sobre las bisectrices de otros dos vértices

Si se extraen dos pares de bisectrices (dos internas y dos externas) de los dos vértices del triángulo, y luego el tercer vértice se proyecta ortogonalmente sobre las cuatro bisectrices obtenidas, entonces los cuatro puntos de proyección obtenidos del vértice sobre las bisectrices serán se encuentran en la misma línea recta (colineal) [5] . Esta línea es la línea media del triángulo, paralela al lado cuyos extremos son los dos vértices mencionados anteriormente.

Nota

En la declaración: " El punto de Lemoine de un triángulo se encuentra en la línea de Auber de un cuadrilátero formado por cuatro ejes de bisectrices", no está claro a qué se refieren específicamente los cuatro ejes de bisectrices. Al parecer, estamos hablando de una especie de ejes de las bisectrices de cuatro triángulos que aparecen en el teorema de Miquel . Es posible que estemos hablando de los ejes de las bisectrices exteriores o de los ejes antiorth de estos triángulos.

Otras propiedades

Si el triángulo es escaleno (no equilátero), entonces la bisectriz interna dibujada desde cualquiera de sus vértices se encuentra entre la mediana interna y la altura dibujada desde el mismo vértice.
Las distancias de los lados del ángulo a cualquier punto de la bisectriz son las mismas.
La construcción de un triángulo por tres bisectrices dadas usando un compás y una regla es imposible, [6] incluso si hay una trisectriz . [7]
Tres mediatrices externas de cualquier triángulo se cortan en tres puntos diferentes, que son los centros de las excircunferencias del triángulo original o los vértices del llamado triángulo de las tres mediatrices externas del triángulo original [8] .
Tres continuaciones de las tres bisectrices del triángulo original, a través de sus tres bases hasta que se cortan en los tres vértices de su triángulo de las tres bisectrices exteriores , aparecen en el último triángulo como tres alturas.

Triples de segmentos de línea paralelos a tres no sectores de un triángulo

Triples de segmentos paralelos a tres no sectores y que se cortan simultáneamente en un punto

Cada foque es un segmento, uno de cuyos extremos está en el medio de un lado del triángulo y que es paralelo a la bisectriz del ángulo opuesto a ese lado. Tres foques como el de arriba se cruzan en el centro de Spieker .
Si se dibuja un segmento con un extremo en el punto de contacto de la circunferencia inscrita del triángulo con su lado en la dirección paralela a la bisectriz del ángulo opuesto a este lado, y luego se construyen segmentos similares para los otros dos lados, entonces estos tres segmentos se cruzan en un punto [9] .

Tres de segmentos de línea paralelos a tres no sectores y formando simultáneamente 2 triángulos

En cualquier triángulo ABC se pueden inscribir 2 triángulos con 3 lados paralelos a las 3 mediatrices del triángulo ABC. Estos triángulos tienen un círculo común del tipo círculo de Euler, es decir, 6 de sus vértices se encuentran en 1 círculo. [diez]

La longitud de las bisectrices en un triángulo

Para derivar las fórmulas a continuación, puede usar el teorema de Stewart .

l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}} \over {a+b}}={\frac {2{\sqrt {abp(pc) }}}{a+b}}

, donde es el semiperímetro de .

pags

l_{c}={\sqrt {ab-a_{l}b_{l))}

l_{c}={\frac{2ab\cos {\frac {\gamma}{2}}}{a+b}}

l_{c}={\frac {2a_{l}b_{l}\cos {\frac {\gamma }{2))}{\sqrt {a_{l}^{2}+b_{l }^{2}-2a_{l}b_{l}\cos {(\gamma })}}}

l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))

Para tres bisectrices de ángulo , y con longitudes y , respectivamente , la siguiente fórmula es verdadera [11] $A$ $B$ $C$ ${\ estilo de visualización l_ {a}, l_ {b},}$ $l_{c}$

{\frac {(b+c)^{2}}{bc}}l_{a}^{2}+{\frac {(c+a)^{2}}{ca}}l_{ b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}l_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.

w_{c}^{2}=a_{w}\cdot b_{w}-ab=CE^{2}=BE\cdot AE-ab

El incentro (el punto de intersección de las tres bisectrices internas de un triángulo) divide la bisectriz interna del ánguloen relación con, $A$ $\frac{b+c}{a}$

dónde:

$a B C$ son los lados del triángulo contra los vértices , respectivamente, $A B C$
$\alfa,\beta,\gamma$ son los ángulos interiores del triángulo en los vértices , respectivamente, $A B C$
$h_{c}$ es la altura del triángulo dejado caer al lado . $C$
$l_{c}$ - la longitud de la bisectriz interna dibujada hacia el lado , $C$
$a_{l},b_{l}$ son las longitudes de los segmentos en que la bisectriz interna divide al lado , $l_{c}$ $C$
${\ Displaystyle w_ {c}}$ es la longitud de la bisectriz exterior trazada desde el vértice hasta la extensión del lado . $C$ $AB$
${\ estilo de visualización a_ {w}, b_ {w}}$ son las longitudes de los segmentos en que la bisectriz exterior divide al lado y su continuación hasta la base de la propia bisectriz. ${\ Displaystyle w_ {c}}$ ${\ estilo de visualización c = AB}$
Si la mediana , la altura y la bisectriz interna salen del mismo vértice del triángulo, alrededor del cual se circunscribe una circunferencia de radio , entonces [12] :p.122,#96 $metro$ $h$ $t$ $R$

4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).

La longitud de las partes de las bisectrices en un triángulo

La distancia del vértice C al centro de la circunferencia inscrita es , donde R y r son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita, y γ es el ángulo del vértice C. $l_{c0}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2))))))={\sqrt {(pc)^{2}+r^{2 } ))={\raíz cuadrada {ab-4Rr))$
Las fórmulas del último párrafo dan esencialmente la longitud de la parte de la bisectriz desde el vértice hasta el punto de su intersección (al centro de la circunferencia inscrita o al incentro ).
Esta fórmula y la fórmula para la segunda parte de la bisectriz interior también se pueden encontrar con base en el siguiente hecho:
El incentro divide la bisectriz interior del ánguloen relación a, donde,, son los lados del triángulo. $A$ $\frac{b+c}{a}$ $a$ $b$ $C$

Ecuaciones bisectrices

Si dos lados adyacentes de un triángulo se escriben mediante ecuaciones y , entonces explícitamente las bisectrices se pueden representar como funciones [13] : $y_{1}=a_{1}x+b_{1}$ $y_{2}=a_{2}x+b_{2}$

y={\frac {a_{1}{\sqrt {a_{2}^{2}+1}}\pm a_{2}{\sqrt {a_{1}^{2}+1} }}{{\raíz cuadrada {a_{2}^{2}+1}}\pm {\raíz cuadrada {a_{1}^{2}+1}}}}\,x+{\frac {b_{1} {\sqrt {a_{2}^{2}+1}}\pm b_{2}{\sqrt {a_{1}^{2}+1}}}{{\sqrt {a_{2}^{ 2}+1}}\pm {\sqrt {a_{1}^{2}+1}}}}

Véase también

Notas

↑ Ivanov A. B. La bisectriz de un ángulo // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1977. - T. 1: A - G. - S. 496. - 1152 stb. : enfermo. — 150.000 copias.
↑ Kimberling, Clark (1994), Puntos centrales y líneas centrales en el plano de un triángulo , revista de matemáticas, volumen 67 (3): 163–187 , DOI 10.2307/2690608 .
↑ V. Nagel, CH (1836), Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise , Leipzig .
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria - 2011. - S. 105.
↑ Dmitri Efremov . Nueva geometría triangular Archivado el 25 de febrero de 2020 en Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 6. Capítulo I, p.8
↑ ¿Quién y cuándo demostró la imposibilidad de construir un triángulo a partir de tres bisectrices? Archivado el 18 de octubre de 2009 en Wayback Machine . Punto de consulta remota de matemáticas MCNMO .
↑ ¿Es posible construir un triángulo por tres bisectrices, si, además de un compás y una regla, se permite usar una trisectriz ? Copia de archivo del 26 de agosto de 2015 en la Wayback Machine . Punto de consulta remota de matemáticas MCNMO .
↑ Starikov V. N. Geometry research // Colección de publicaciones de la revista científica Globus basada en los materiales de la V-ésima conferencia científico-práctica internacional "Logros y problemas de la ciencia moderna", San Petersburgo: una colección de artículos (nivel estándar, nivel académico). S-P.: Revista científica Globus , 2016. S. 99-100
↑ Soluciones de tareas de la primera etapa de la Olimpiada Abierta de Siberia para escolares 2015-2016 en matemáticas. Problema 10.3, págs. 5-6// https://sesc.nsu.ru/upload/iblock/1ad/2015_1_math_s.pdf
↑ Dmitri Efremov . Nueva geometría triangular Archivado el 25 de febrero de 2020 en Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 26. Capítulo I. Ejercicios. p.33
↑ Simons, Stuart. Gaceta Matemática 93, marzo de 2009, 115-116.
↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publ., 2007.
↑ La ecuación de la bisectriz de un ángulo entre dos rectas. Tareas de mayor dificultad . Matemáticas Aplicadas . Consultado el 3 de diciembre de 2021. Archivado desde el original el 3 de diciembre de 2021. (Ruso)

Literatura

Kogan B. Yu. Aplicación de la mecánica a la geometría. - M. : Nauka, 1965. - 56 p.
Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 tomos - M. : MTSNMO , 2004. - S. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0 .

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex