Virial

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El virial para un conjunto de partículas puntuales en mecánica se define como una función escalar: $norte$

\sum_{k=1}^{N}\mathbf {F}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k},

donde y son los vectores espaciales de coordenadas y fuerzas para la partícula -ésima. ${\mathbf{r}}_{k}$ ${\mathbf{F}}_{k}$ $k$

La expresión "virial" proviene de las palabras latinas "vis" , "viris" - "fuerza" o "energía". Fue introducido por Clausius en 1870 .

El teorema del virial

Para un sistema estable limitado por fuerzas potenciales, el teorema virial [1] es cierto :

2\langle T\rangle =-\sum_{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle ,

donde representa la energía cinética total promedio y es la fuerza que actúa sobre la -ésima partícula. $\langle T\rangle$ ${\mathbf{F}}_{k}$ $k$

En el caso especial en que la energía potencial de interacción correspondiente a la fuerza es proporcional a la potencia th de la distancia entre las partículas , el teorema virial toma una forma simple $V(r)$ $norte$ $r$

2\langle T\rangle =n\langle U\rangle .

En otras palabras, el doble de la energía cinética total promedio es - veces la energía potencial total promedio . $T$ $norte$ $tu$

La importancia del teorema del virial es que permite calcular la energía cinética total promedio incluso para sistemas muy complejos inaccesibles a una solución exacta, que son considerados, por ejemplo, por la mecánica estadística . Por ejemplo, el teorema del virial se puede utilizar para derivar el teorema equiparcial (un teorema sobre la distribución uniforme de energía en grados de libertad) o para calcular el límite de Chandrasekhar para la estabilidad de una enana blanca .

Derivada del tiempo y promedio

Estrechamente relacionado con el virial hay otra función escalar:

G=\sum_{k=1}^{N}\mathbf {p}_{k}\cdot \mathbf {r}_{k},

donde es el momento de la partícula th. ${\mathbf{p}}_{k}$ $k$

La derivada temporal de una función se puede escribir de la siguiente manera: $GRAMO$

{\frac {dG}{dt}}=\sum_{{k=1}}^{N}{\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}\cdot {\ mathbf {r}}_{k}+\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {p}}_{k}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_ {k}}{dt}}=

=\sum_{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\sum_{{k=1}} ^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt }}

o en una forma más simple

{\frac {dG}{dt}}=2T+\sum_{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k} .

Aquí está la masa de la partícula th, es la fuerza total que actúa sobre la partícula y es la energía cinética total del sistema $m_{k}$ $k$ ${\mathbf {F}}_{k}={\frac {d{\mathbf {p}}_{k}}{dt}}$ $T$

T={\frac {1}{2}}\sum_{{k=1}}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\ suma _{{k=1}}^{N}m_{k}{\frac {d{\mathbf {r}}_{k}}{dt}}\cdot {\frac {d{\mathbf {r }}_{k}}{dt}}.

El promedio de esta derivada en el tiempo se define de la siguiente manera: $\tau$

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }{\ fracción {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int \limits _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau )-G( 0)}{\tau}},

¿De dónde sacamos la solución exacta?

\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle_{\tau}=2\langle T\rangle_{\tau}+\sum_{{k=1}}^{N} \langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle_{\tau}.

Teorema del virial

El teorema del virial establece:

si , entonces $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau}=0$

2\langle T\rangle_{\tau}=-\sum_{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_ {k}\rangle_{\tau}.

Hay varias razones por las que desaparece el promedio de la derivada temporal, es decir, . Una razón citada con frecuencia apela a los sistemas acoplados , es decir, los sistemas que permanecen limitados al espacio. En este caso, la función suele estar limitada a dos límites, y , y la media tiende a cero en el límite de tiempos muy largos : $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau}=0$ $G^{{{\mathrm {ligado}}}}$ $G_{\min}$ $G_{\máx}$ $\tau$

\lim _{{\tau \to \infty }}\left|\left\langle {\frac {dG^{({\mathrm {bound}}}}}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim_{{\tau \to \infty}}\left|{\frac {G(\tau)-G(0)}{\tau}}\right|\leqslant \lim_{ {\tau \to \infty }}{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.

Esta conclusión es válida solo para aquellos sistemas en los que la función depende solo del tiempo y no depende significativamente de las coordenadas. Si el valor medio de la derivada temporal es , el teorema del virial tiene el mismo grado de aproximación. $GRAMO$ $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau}\approx 0$

Relación con la energía potencial

La fuerza total que actúa sobre una partícula es la suma de todas las fuerzas que actúan sobre las demás partículas del sistema. ${\mathbf{F}}_{k}$ $k$ $j$

{\mathbf {F}}_{k}=\sum_{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}},

donde es la fuerza que actúa sobre la partícula desde el lado de la partícula . Por lo tanto, el término en la derivada temporal de la función que contiene la fuerza se puede reescribir como: ${\mathbf {F}}_{{jk}}$ $j$ $k$ $GRAMO$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum_{{k=1}}^ {N}\sum _{{j=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}.

Como no hay acción propia (es decir , donde ), obtenemos: ${\mathbf{F}}_{{jk}}=0$ $j=k$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum_{{k=1}}^ {N}\sum_{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}+\sum_{{k=1}} ^{N}\sum_{{j>k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum_{{k=1} }^{N}\sum_{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}} _ {j}),

[2]

donde asumimos que se cumple la tercera ley de Newton, es decir, (igual en valor absoluto y opuesta en dirección). ${\mathbf {F}}_{{jk}}=-{\mathbf {F}}_{{kj}}$

A menudo sucede que las fuerzas se pueden derivar de la energía potencial , que es una función únicamente de la distancia entre las partículas puntuales y . Como la fuerza es un gradiente de energía potencial con signo opuesto, tenemos en este caso $V$ $r_{{jk}}$ $j$ $k$

{\mathbf {F}}_{{jk}}=-\nabla _{({\mathbf {r}}_{k}}}V=-{\frac {dV}{dr}}{\frac { {\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{j}}{r_{{jk}}}},

que es igual en valor absoluto y opuesta en dirección al vector - la fuerza que actúa desde el lado de la partícula sobre la partícula , como se puede demostrar mediante cálculos simples. Por lo tanto, el término fuerza en la derivada de la función con respecto al tiempo es igual a ${\mathbf {F}}_{{kj}}=-\nabla _{({\mathbf {r}}_{j}}}V$ $k$ $j$ $GRAMO$

\sum _{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum_{{k=1}}^ {N}\sum_{{j<k}}{\mathbf {F}}_{{jk}}\cdot ({\mathbf {r}}_{k}-{\mathbf {r}}_{ j})=-\sum_{{k=1}}^{N}\sum_{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}{\frac {({\mathbf {r} }_{k}-{\mathbf {r}}_{j})^{2}}{r_{{jk}}}}=-\sum_{{k=1}}^{N}\sum _{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}.

Aplicación a fuerzas dependientes de la distancia

A menudo resulta que la energía potencial tiene la forma de una función de potencia $V$

V(r_{{jk}})=\alfa r_{{jk}}^{n},

donde coeficiente y exponente son constantes. En este caso, el término de fuerza en la derivada temporal de la función está dado por las siguientes ecuaciones $\alfa$ $norte$ $GRAMO$

-\sum_{{k=1}}^{N}{\mathbf {F}}_{k}\cdot {\mathbf {r}}_{k}=\sum_{{k=1}} ^{N}\sum_{{j<k}}{\frac {dV}{dr}}r_{{jk}}=\sum_{{k=1}}^{N}\sum_{{ j<k}}nV(r_{{jk}})=nU,

donde es la energía potencial total del sistema: $tu$

U=\sum_{{k=1}}^{N}\sum_{{j<k}}V(r_{{jk}}).

En los casos en que el promedio de la derivada temporal , la ecuación $\left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau}=0$

\langle T\rangle _{\tau}=-{\frac {1}{2}}\sum_{{k=1}}^{N}\langle {\mathbf {F}}_{k}\ cdot {\mathbf {r}}_{k}\rangle _{\tau}={\frac {n}{2}}\langle U\rangle _{\tau}.

Un ejemplo comúnmente citado es la atracción gravitacional para la cual . En ese caso, la energía cinética promedio es la mitad de la energía potencial negativa promedio. $n=-1$

\langle T\rangle_{\tau}=-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle_{\tau}.

Este resultado es notablemente útil para sistemas gravitatorios complejos, como el sistema solar o la galaxia , y también es cierto para un sistema electrostático , para el cual es lo mismo. $n=-1$

Aunque esta expresión se deriva de la mecánica clásica, el teorema del virial también es válido para la mecánica cuántica .

Contabilización de campos electromagnéticos

El teorema virial se puede generalizar al caso de campos eléctricos y magnéticos. Resultado: [3]

{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int \limits _{V}x_{k}{\frac {\parcial P_{k}}{\t parcial}}\,d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik} +T_{ik})\,dS_{i},

donde es el momento de inercia , es el vector de Poynting , es la energía cinética del “líquido”, es la energía térmica aleatoria de las partículas, y es la energía de los campos eléctrico y magnético en el volumen considerado del sistema, es el tensor de presión del fluido expresado en el sistema de coordenadas móvil local que acompaña al fluido: $yo$ $PAGS$ $T$ $tu$ $W^{E}$ $W^{M}$ $p_{{ik}}$

p_{{ik))=\Sigma n^{\sigma}m^{\sigma}\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma}-V_{i}V_{k}\Sigma m ^{\sigma}n^{\sigma}

y es el tensor de energía-momento del campo electromagnético: $T_{ik}$

T_{{ik}}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}} }\right)\delta_{{ik}}-\left(\varepsilon_{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu_{0} }}}\Correcto).

El plasmoide es una configuración limitada de campos magnéticos y plasma. Usando el teorema del virial, es fácil demostrar que cualquier configuración de este tipo se expande si no está restringida por fuerzas externas. En la configuración final, la integral de superficie desaparecerá sin paredes de presión o bobinas magnéticas. Como todos los demás términos de la derecha son positivos, la aceleración del momento de inercia también será positiva. Es fácil estimar el tiempo de expansión . Si la masa total está limitada dentro de un radio , entonces el momento de inercia es aproximadamente , y el lado izquierdo en el teorema del virial es . Los términos de la derecha suman un valor del orden de , donde es la mayor entre la presión de plasma o la presión magnética. Igualando estos dos términos y teniendo en cuenta que , , , donde es la masa del ion, es la concentración de iones, es el volumen del plasmoide, es la constante de Boltzmann, es la temperatura, pues encontramos: $\tau$ $METRO$ $R$ $SEÑOR^{2}$ $MR^{2}/\tau^{2}$ $PR^{3}$ $pags$ ${\displaystyle M=m_{i}nV\sim m_{i}nR^{3))$ $p\sim nkT$ ${\displaystyle c_{s}^{2}\sim {\frac {kT}{m_{i))))$ $mi}$ $norte$ $V\sim R^{3}$ $k$ $T$ $\tau$

{\ estilo de visualización \ tau \ sim R / c_ {s},}

donde es la velocidad de la onda acústica de iones (u onda de Alphen si la presión magnética es mayor que la presión del plasma). Por lo tanto, se espera que el tiempo de vida de un plasmoide sea igual en orden de magnitud al tiempo de tránsito acústico (Alfen). $c_{s}$

Sistema homogéneo relativista

En el caso de que el sistema físico tenga en cuenta el campo de presión, los campos electromagnético y gravitacional, así como el campo de aceleración de partículas, el teorema virial en forma relativista se escribe de la siguiente manera: [4]

~\langle W_{k}\rangle \approx -0{,}6\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _ {k}\rangle ,

además, el valor excede la energía cinética de las partículas por un factor igual al factor de Lorentz de las partículas en el centro del sistema. En condiciones normales, podemos asumir que , y entonces es claro que en el teorema del virial, la energía cinética está relacionada con la energía potencial no por un coeficiente de 0.5, sino por un coeficiente cercano a 0.6. La diferencia con el caso clásico surge debido a la consideración del campo de presión y el campo de aceleración de partículas dentro del sistema, mientras que la derivada de la función escalar no es igual a cero y debe ser considerada como la derivada de Lagrange . ${\ estilo de visualización ~ W_ {k} \ aproximadamente \ gamma _ {c} T}$ $~T$ ${\ estilo de visualización ~ \ gamma _ {c}}$ ${\ estilo de visualización ~ \ gamma _ {c} \ aproximadamente 1}$ ${\ estilo de visualización ~ G}$

El análisis del teorema integral del virial generalizado permite encontrar, sobre la base de la teoría de campos, una fórmula para la velocidad cuadrática media de las partículas típicas del sistema, sin utilizar el concepto de temperatura: [5]

v_{\mathrm {rms} }=c{\sqrt {1-{\frac {4\pi \eta \rho_{0}r^{2}}{c^{2}\gamma_{ c}^{2}\sin ^{2}{\left({\frac {r}{c)){\sqrt {4\pi \eta \rho _{0))}\right))))) },

donde es la velocidad de la luz, es la constante de campo de aceleración, es la densidad de masa de partículas, es el radio actual. ${\ estilo de visualización ~ c}$ ${\ estilo de visualización ~ \ eta}$ ${\ estilo de visualización ~ \ rho _ {0))$ ${\ estilo de visualización ~ r}$

A diferencia del teorema virial para partículas, el teorema virial para un campo electromagnético se escribe de la siguiente manera: [6]

~E_{kf}+2W_{f}=0,

donde esta la energia $~E_{kf}=\int {A_{\alpha }j^{\alpha }{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$

se considera como la energía cinética del campo asociado con la corriente 4 , y la cantidad ${\ estilo de visualización ~ j ^ {\ alfa}}$

~W_{f}={\frac {1}{4\mu _{0))}\int {F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }{\sqrt {-g} }dx^{1}dx^{2}dx^{3}}

especifica la energía potencial del campo, encontrada a través de los componentes del tensor electromagnético.

Véase también

descomposición virial

Notas

↑ Sivukhin D.V. Curso general de física. Mecánica. - M. : Nauka, 1979. - Circulación 50.000 ejemplares. - Con. 141.
↑ Prueba de esta igualdad
^ Schmidt G. Física de plasmas de alta temperatura. - Segunda edicion. - Prensa Académica, 1979. - p. 72.
↑ Fedosin, SG El teorema virial y la energía cinética de las partículas de un sistema macroscópico en el concepto de campo general (inglés) // Mecánica continua y termodinámica: revista. - 2016. - Vol. 29 , núm. 2 . - P. 361-371 . -doi : 10.1007/ s00161-016-0536-8 . - . -arXiv : 1801.06453 . _
↑ Fedosin, Sergey G. El teorema integral del virial generalizado en el modelo uniforme relativista (inglés) // Mecánica continua y termodinámica: revista. - 2018. - 24 de septiembre ( vol. 31 , núm. 3 ). - Pág. 627-638 . — ISSN 1432-0959 . -doi : 10.1007 / s00161-018-0715-x . — . - arXiv : 1912.08683 .
↑ Fedosin SG El Teorema Integral de la Energía de Campo. Archivado el 23 de junio de 2019 en Wayback Machine Gazi University Journal of Science. vol. 32, núm. 2, págs. 686-703 (2019). http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.3252783 .

Literatura

Goldstein H. Mecánica Clásica. — 2do. edición - Addison-Wesley, 1980. - ISBN 0-201-02918-9 .

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