Voevodsky, Vladimir Alexandrovich

Vladimir Aleksandrovich Voevodsky ( 4 de junio de 1966 [1] [2] , Moscú - 30 de septiembre de 2017 [2] , Princeton , Nueva Jersey ) fue un matemático soviético, ruso y estadounidense que hizo una contribución significativa a la geometría algebraica y a los fundamentos de la matemáticas _ Medallista Fields ( 2002), Profesor Residente en el Instituto de Estudios Avanzados .

Entre los principales resultados en la intersección de la geometría algebraica y la topología algebraica se  encuentra la construcción de una teoría de la cohomología motívica y su demostración mediante la conjetura de Milnor y la conjetura de Bloch-Kato , que constituyeron una parte problemática esencial de la -teoría algebraica . En el campo de los fundamentos de las matemáticas, inició e hizo una contribución decisiva al programa de creación de fundamentos univalentes de las matemáticas  , un lenguaje formal para secciones abstractas de las matemáticas, que proporciona verificación automática de pruebas en una computadora .

Biografía

Nacido en una familia de científicos - graduados de la Universidad Estatal de Moscú, su padre es astrofísico, laureado con el Premio Estatal por su trabajo en la creación del Observatorio de Neutrinos Baksan (1998) [3] , su madre es química, especialista en resonancia magnética nuclear . Pasó su primera infancia en un apartamento comunal en Nogin Square , luego la familia se mudó a un apartamento separado en Maly Ivanovsky Lane [4] .

En la escuela secundaria, cambió varias escuelas, recibió un certificado de educación secundaria en 1983, en la formación de un pensamiento matemático estricto y preciso, notó la influencia de un libro de texto sobre geometría editado por Kolmogorov [5] [4] . En el mismo año ingresó a la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú . Habiendo recibido un “ boleto blanco ” por alergias severas - exención del servicio militar , aplazamiento del cual no se concedió a quienes interrumpieron sus estudios en la universidad, tomaron licencia académica , luego de regresar de la cual fue expulsado, pero posteriormente se recuperó [ 6] .

Mientras estudiaba en la universidad, se interesó por la geometría algebraica, entre las razones señaló el trabajo en esta área de personas tan interesantes como Igor Shafarevich [4] . Durante la licencia académica, trabajó como profesor de programación en una planta de formación y producción , donde se reunió con Georgy Shabat . Shabat introdujo a Voevodsky en el Programa Grothendieck , al que más tarde se refirió repetidamente en su trabajo, la primera investigación científica de Voevodsky, realizada conjuntamente con Shabat y que dio como resultado una serie de publicaciones [7] [8] , una de las cuales fue aprobada por Grothendieck . En 1989, según los resultados del primer semestre del cuarto año, a pesar de la presencia de trabajos publicados en las principales revistas, finalmente fue expulsado de la universidad por fracaso académico [6] .

En 1989-1990, publicó varios trabajos junto con Mikhail Kapranov , quien pronto emigró a los Estados Unidos. En 1990, Kapranov completó para Voevodsky una solicitud de admisión a la escuela de posgrado en la Universidad de Harvard y, a pesar de la falta formal de educación superior, fue aceptado [9] . Aprobó el examen de calificación, para el cual se asignan los primeros tres años de estudio en la escuela de posgrado, un mes después de la admisión, por lo que fue liberado de las clases y pudo concentrarse en el trabajo de investigación [6] . Mientras estaba en la escuela de posgrado, violó constantemente las regulaciones: se fue a Rusia durante 4 meses, vivió en la oficina, se negó a alquilar una vivienda, mientras que la administración de la facultad en todos los casos contribuyó a la preservación de un científico prometedor en Harvard. Defendió su tesis doctoral sobre el tema "Homología de esquemas y motivos covariantes" en 1992 bajo la supervisión de David Kazhdan .

Después de graduarse de la escuela de posgrado, completó una beca posdoctoral de un año en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, luego de lo cual regresó a Harvard y fue miembro de la Society of Fellows durante tres años ,  que recluta anualmente a 8 estudiantes de posgrado y brinda una oportunidad de centrarse en la investigación sin distraerse con la docencia [6] .

En 1995 se casó con la matemática Nadezhda Shalabi (nacida en 1966), en un matrimonio que terminó en divorcio en 2008, nacieron dos hijas (Tali y Dina).

De 1996 a 1999, trabajó como profesor asociado en la Universidad Northwestern , donde colaboró ​​con los principales expertos en teoría algebraica Andrei Suslin y Eric Friedlander , también durante este período fue profesor invitado en el Instituto Max Planck y en Harvard. En 1998, leyó el informe plenario "Teoría de -homotopías" en el Congreso Internacional de Matemáticos en Berlín [10] .

En 1998 fue invitado a un puesto permanente en el Instituto de Estudios Avanzados; en enero de 2002, unos meses antes de recibir la Medalla Fields, fue nombrado profesor vitalicio del instituto. Mientras trabajaba en Princeton, se volcó a la biología matemática en términos de genética histórica y a la teoría de la probabilidad , trabajando en su reformulación en el lenguaje de la teoría de categorías [11] , considerando importante contribuir a las aplicaciones , y en el período 2005- 2006 completamente desconectado de la actividad académica. En 2006 publicó las primeras notas sobre las posibilidades de aplicar conceptos geométricos a la teoría de tipos [12] [13] y, tras la demostración final de la conjetura de Bloch-Kato en 2010, se sumergió por completo en una nueva dirección, poniendo adelante un programa de bases univalentes . Un importante equipo de especialistas en lógica matemática , teoría de categorías, sistemas de prueba automática se unió gradualmente al programa . El año académico 2012/13 en el Instituto de Estudios Avanzados, por iniciativa de Voevodsky, fue declarado “año de fundaciones univalentes”, en cuyo marco, en cooperación con Voevodsky, Audi y Kokan , se llevó a cabo una investigación especial Se abrió el programa, que reunió a unos 30 científicos que escribieron conjuntamente un libro de 600 páginas [14] .

Murió en su casa de Princeton, descubierto a pedido de su exesposa, quien por algún tiempo no pudo contactarlo y sabía de una grave enfermedad; según sus informes, la causa de la muerte podría ser un aneurisma [15] . Fue enterrado el 27 de diciembre de 2017 en el cementerio de Khimki en Moscú [16] .

Contribuciones científicas

Geometría algebraica

En sus artículos de 1989-1990 sobre groupoides superiores , en coautoría con Kapranov, desarrolló la idea de Grothendieck de la posibilidad de describir complejos CW desde un punto de vista homotópico como groupoides . En 1998, Carlos Simpson construyó un contraejemplo a una de las construcciones principales de estos artículos [17] , que Voevodsky y Kapranov inicialmente no reconocieron, y el artículo de Simpson no fue aceptado en las revistas; solo en 2013 Voevodsky confirmó los argumentos de Simpson.

En los trabajos del período de la escuela de posgrado de Harvard, desarrolló una construcción en la que cada esquema corresponde a una categoría triangulada y un funtor covariante de la categoría de esquemas en . La construcción resultante tiene todas las propiedades de la teoría de la homología , por lo que se revela una nueva posibilidad de trabajar con esquemas (y, en particular, con variedades algebraicas ) mediante topología algebraica .

Utilizando las herramientas creadas en la disertación, se unió a la solución de los problemas clave de la teoría algebraica ya la elaboración de los detalles de la teoría de la cohomología motívica. En 1996-1998, junto con Fabian Morel , creó la teoría de la -homotopía , cuya idea principal es reemplazar el intervalo unitario (que no es una variedad algebraica) con una línea afín en la definición de homotopía para permitir la algebraización completa de la teoría de la homotopía . Un informe plenario en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1998 se dedicó a estos trabajos.

A las teorías de la cohomología motívica en 2000 se les asignó un código separado a la Clasificación de materias matemáticas14F42 como parte de la subsección "Teorías de la homología y la cohomología" en la sección "Geometría algebraica". En 2010, la teoría de la homotopía se agregó al mismo código con el nombre de "teoría de la homotopía motivacional".

En 1996, publicó un preprint con la primera prueba de la conjetura de Milnor, que era el principal problema de la teoría de Milnor , según la cual existe un isomorfismo entre los anillos de Milnor y los grupos de cohomología  -etale con coeficientes en para cualquier campo de característica diferente de 2, y cualquier entero . En la demostración, además de nuestros propios desarrollos y la teoría de -homotopías, se utilizan esencialmente los resultados de Merkuriev , Suslin, Friedlander y Rost . A pesar de la aceptación general del resultado a fines de la década de 1990 y la recepción del Premio Fields por probar la hipótesis, la versión final, eliminando todos los defectos en las pruebas, se publicó en 2003 .

Desde finales de la década de 1990, comenzó a resolver el problema de Bloch-Kato, para el cual la conjetura de Milnor es un caso especial . A pesar de que Voevodsky, según su propia declaración, elaboró ​​el enfoque de la demostración ya a fines de 1996, la elaboración del resultado requirió un trabajo preparatorio considerable, tanto en la línea de la teoría algebraica como en la teoría de la cohomología motívica. Solo a fines de la década de 2000, Suslin, Zhukhovitsky y Weibel lograron demostrar la generalización necesaria del resultado de Rost [18] , y Voevodsky completó su trabajo sobre el desarrollo de la teoría de la cohomología motívica y la combinación de todos los detalles de la prueba en febrero de 2010 .

Fundamentos de las matemáticas

Desde mediados de la década de 1990, consideró una de las amenazas para las matemáticas la posibilidad de acumular errores desapercibidos debido a la extrema complejidad de las áreas modernas, y desde 2002 ha estado buscando la oportunidad de aplicar sistemas de prueba automática a secciones abstractas de las matemáticas. pero no encontró soluciones satisfactorias [19] . A finales de 2005, descubrió la posibilidad de describir groupoides superiores por medio de cálculo λ con tipos dependientes , que subyace a una serie de sistemas de prueba automática que explotan el isomorfismo de Curry-Howard sobre la equivalencia entre programas informáticos y pruebas matemáticas. [20] . Las ideas para aplicar la teoría intuicionista de tipos a la teoría de categorías y la topología se han publicado desde mediados de la década de 1990, pero no a los groupoides superiores, que, según Voevodsky, quien a su vez se refiere a la correspondencia de Grothendieck, son objetos matemáticos fundamentales y corresponden a la homotopía . tipos _

Los primeros experimentos de Voevodsky con el sistema Coq datan de 2006 . En 2009, resolvió los principales problemas técnicos sobre la forma de aplicar la teoría intuicionista de tipos a los gruposides superiores, en primer lugar, desarrollando una construcción para la jerarquía de los universos y postulando el axioma de univalencia , que afirma la igualdad entre objetos entre los cuales la equivalencia. se puede establecer:

Aunque en matemáticas se establece tradicionalmente un conjunto de resultados para clases de objetos equivalentes, "hasta..." -isomorfismo , homeomorfismo , homotopía- , se cree que la introducción del axioma de univalencia a nivel de bases se ha convertido en un revolucionario innovación [21] , entre otras cosas, proporcionando muchos efectos técnicos debido a la posibilidad de deshacerse de construcciones engorrosas con clases de equivalencia en formalizaciones . Otro rasgo fundamental del enfoque de los fundamentos de Voevodsky es la unificación de conceptos lógicos y matemáticos en el marco de una teoría, donde las mismas construcciones pueden ser dotadas de una u otra interpretación, en contraste con el enfoque clásico proveniente de Hilbert y Tarski , donde la lógica es epistemológicamente primario - primero, se determina un sistema lógico, y luego se construyen teorías matemáticas propiamente dichas usando sus medios [22] .

Desde 2010, comenzó a desarrollar la "Biblioteca de bases univalentes" [23]  - una colección de descripciones formales en Coq, que permite formular pruebas para secciones abstractas de matemáticas, en tres meses logró construir un sistema con una cobertura bastante amplia [19] . En 2010, como parte de una solicitud de subvención , elaboró ​​un programa para el desarrollo de bases univalentes [24] , en el que destacaba las siguientes posibilidades:

• axiomatización natural de lenguajes categóricos y categóricos superiores,
• aplicación de lenguajes de tipos dependientes,
• axiomatización directa de conceptos basados ​​en tipos de homotopía, sin utilizar herramientas de teoría de conjuntos ,
• aplicabilidad tanto a las matemáticas constructivas como a las no constructivas.

En 2013, en el marco del año de bases univalentes iniciado por él junto con Audi y Kokan en el Instituto de Estudios Avanzados, se convirtió en coautor del libro “Teoría de los tipos por homotopía”, posteriormente expresó su descontento con los resultados, observando que los participantes del programa propusieron muchas ideas extrañas [20] . En general, a pesar de la gran cantidad de especialistas que se unieron al programa para crear bases univalentes, trabajé de forma aislada: desarrollé mi propio proyecto de biblioteca base [23] , utilizando un subconjunto seguro especialmente desarrollado de Coq, mientras que los participantes en el programa de investigación de el Instituto de Estudios Avanzados realizó un trabajo utilizando herramientas estándar [25] . Además, dedicó una serie de ocho artículos en 2014-2017 a problemas de modelos y problemas de justificación, desarrollando la teoría de C-sistemas (categorías contextuales), mientras que la principal ola de investigación está dirigida a ampliar las posibilidades de fundamentos y aplicaciones [ 19] .

Memoria

El 8 de octubre de 2017, se llevó a cabo una reunión en memoria del científico en el Instituto de Estudios Avanzados, en la que hablaron familiares y colegas del científico, incluidos Pierre Deligne , Richard Taylor , David Kazhdan [26] . El 28 de diciembre de 2017, un día después del funeral y el funeral en Moscú, se llevó a cabo una conferencia de un día en memoria de Voevodsky [27] en el Instituto Matemático Steklov de la Academia de Ciencias .

Según su compañero de estudios en Harvard Mikhail Verbitsky , Voevodsky es criado en varios textos por el escritor Bayan Shiryanov y se convirtió en el prototipo del protagonista de la novela Journey in Search of True Liveliness de Nikolai Baransky [28] .

Publicaciones seleccionadas

• Vladimir Voevodsky, Andrei Suslin y Eric M. Friedlander. Ciclos, transferencias y teorías de la homología motívica. - Princeton, NJ: Princeton University Press , 2000. - 254 p. — (Annals of Mathematics Studies, vol. 143). - ISBN 0-691-04815-0 .
  • Revisión revisión por Charles A. Weibel. Teorías de ciclos, transferencias y homología motívica, por Vladimir Voevodsky, Andrei Suslin y Eric M. Friedlander  // Bulletin Of The American Mathematical Society. - 2001. - T. 39 , N º 1 . - S. 137-143 . Archivado el 18 de octubre de 2020.
• Carlo Mazza, Vladimir Voevodsky, Charles Weibel. Apuntes de clase sobre cohomología motívica. - Princeton, NJ: Sociedad Matemática Americana , 2006. - 218 p. - (Monografías de matemáticas de Clay, vol. 2). - ISBN 0-8218-3847-4 .

• V. A. Voevodsky, M. M. Kapranov. ∞-groupoides como modelo para la categoría de homotopía  // Avances matemáticos rusos . - 1990. - T. 45 , N º 5 . - S. 239-240 . -doi : 10.1070/ RM1990v045n05ABEH002673 . Trabajo conjunto con Kapranov sobre la correspondencia entre los complejos CW y los groupoides superiores, al que Simpson encontró más tarde un contraejemplo.
• Vladímir Voevodsky. Cohomología motívica con -coeficientes  // Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques. - 2003. - T. 98 , N º 1 . — S. 59–104 . -doi : 10.1007/ s10240-003-0010-6 . Trabajo final con una demostración completa de la conjetura de Milnor.
• Vladímir Voevodsky. Sobre la cohomología motívica con -coeficientes  // Annals of Mathematics. - 2011. - T. 174 . — Pág. 401–438 . -doi : 10.4007 / annals.2011.174.1.11 . Artículo con la demostración de la conjetura Bloch-Kato
• Vladímir Voevodsky. Una biblioteca experimental de Matemáticas formalizadas basada en los fundamentos univalentes  // Estructuras Matemáticas en Ciencias de la Computación. - Prensa de la Universidad de Cambridge , 2015. - V. 25 . - S. 1278-1294 . -doi : 10.1017/ S0960129514000577 . Publicación sobre la biblioteca de matemáticas formalizadas basada en bases univalentes
• Vladímir Voevodsky. Los Orígenes y Motivaciones de las Fundaciones Univalentes .  Una misión personal para desarrollar la verificación de prueba por computadora para evitar errores matemáticos . IDEAS, The Institute Letter, verano de 2014 . Instituto de Estudios Avanzados (1 de julio de 2014) .  “Creo que fue en ese momento que dejé de hacer lo que se llama “investigación impulsada por la curiosidad” y comencé a pensar seriamente en el futuro”. Consultado el 29 de diciembre de 2017. Archivado desde el original el 22 de enero de 2018. Un trabajo en el que Voevodsky enumera posteriormente errores difíciles de detectar identificados en las pruebas, tanto en sus propios trabajos como en los resultados de sus colegas, que le sirvieron de motivación para trabajar sobre bases univalentes.

Notas

1. ↑ 1 2 MacTutor Archivo de Historia de las Matemáticas
2. ↑ 1 2 3 4 Vladimir Voevodsky // Identifiants et Référentiels  (fr.) - ABES , 2011.
3. ↑ Decreto del Presidente de la Federación Rusa No. 870 del 22 de julio de 1998
4. ↑ 1 2 3 Novosyolova, 2002 .
5. ↑ Las críticas activas a los libros de texto escolares de Kolmogorov por la excesiva formalidad de presentación se remontan aproximadamente a los mismos años.
6. ↑ 1 2 3 4 Belyaeva, 2011 .
7. ↑ Voevodsky V. A., Shabat G. B. Triangulaciones equiláteras de superficies y curvas de Riemann sobre campos de números algebraicos // Informes de la Academia de Ciencias de la URSS. - 1989. - T. 304 , N º 2 . - S. 265-268 .
8. ↑ Voevodsky, V. A. y G. B. Shabat. Aproximación euclidiana por partes de jacobianos de curvas algebraicas  // Matemáticas CSTARCI. Preimpresiones. — 1988.
9. ↑ Kevin Hartnet. El matemático visionario Vladimir Voevodsky muere a los 51 años  (inglés) . Revista Quanta (11 de octubre de 2017). Consultado el 27 de octubre de 2017. Archivado desde el original el 28 de octubre de 2017.
10. ↑ V. Voevodsky. -Teoría de la homotopía  // Documenta Mathematica. - 1998. - T. Extra (ICM) , N° I. — S. 579–604 .
11. ↑ V. A. Voevodsky. probabilidad categórica . Seminario de todo el instituto "Matemáticas y sus aplicaciones" del Instituto Matemático. V. A. Steklov de la Academia Rusa de Ciencias (20 de noviembre de 2008). Consultado el 29 de diciembre de 2017. Archivado desde el original el 29 de diciembre de 2017. (indefinido)
12. ↑ Georgy Shabat, Andrei Rodin, Anatoly Vershik. "Estaba listo para trabajar durante días sin dormir ni comer " . Trinidad opción - ciencia , No. 239 p. 16 (10 de octubre de 2017). Consultado el 26 de diciembre de 2017. Archivado desde el original el 27 de diciembre de 2017. (indefinido)
13. ↑ V. Voevodsky. Una breve nota sobre el cálculo λ de homotopía . — 2006.
14. ↑ Teoría del tipo de homotopía: fundamentos univalentes de las matemáticas . - Princeton : Instituto de Estudios Avanzados , 2013. - 603 p.
15. ↑ Vladimir Voevodsky, matemático revolucionario, muere a los 51 años . The New York Times (6 de octubre de 2017). Consultado el 26 de diciembre de 2017. Archivado desde el original el 9 de febrero de 2021. (indefinido)
16. ↑ Eventos conmemorativos en honor a Vladimir Voevodsky en Moscú, Rusia  . Instituto de Estudios Avanzados (26 de diciembre de 2017). Consultado el 26 de diciembre de 2017. Archivado desde el original el 26 de diciembre de 2017.
17. ↑ Carlos Simpson. Tipos de homotopía de 3-groupoides estrictos  // ArXiv.org .
18. ↑ Mijailov, 2012 .
19. ↑ 1 2 3 Daniel R. Grayson . Vladímir Voevodsky (1966-2017 ) Matemático que revolucionó la geometría algebraica y la demostración por computadora . Naturaleza (6 de noviembre de 2017) . doi : 10.1038/d41586-017-05477-9 . Consultado el 24 de diciembre de 2017. Archivado desde el original el 10 de junio de 2020. (indefinido)
20. ↑ 1 2 Hannes Hummel. ¿Redefinirán las computadoras las raíces de las matemáticas? . Cuando un matemático legendario encontró un error en su propio trabajo, se embarcó en una búsqueda asistida por computadora para eliminar el error humano. Para ello, tiene que reescribir las reglas centenarias que subyacen a todas las  matemáticas . Revista Quanta (19 de mayo de 2015) . Consultado el 30 de diciembre de 2017. Archivado desde el original el 30 de diciembre de 2017.
21. ↑ Steve Awodey, Álvaro Pelayo, Michael A. Warren. Axioma de univalencia de Voevodsky en la teoría de tipos de homotopía  (inglés)  // Avisos de la AMS . - 2013. - Vol. 60 , núm. 9 _ - P. 1164-1167 .
22. ↑ Andréi Rodin. Atomismo lógico y geométrico de Leibniz a Voevodsky  // Problemas de Filosofía . - 2016. - Nº 6 . - S. 134-142 .
23. ↑ 1 2 Proyecto de biblioteca base univalente en GitHub
24. ↑ Vladímir Voevodsky. Proyecto de Cimentaciones Univalentes . (una versión modificada de una solicitud de subvención NSF) . Instituto de Estudios Avanzados (1 de octubre de 2010) . Consultado el 30 de diciembre de 2017. Archivado desde el original el 7 de mayo de 2020. (indefinido)
25. ↑ Proyecto de Voevodsky en la biblioteca UniMath en GitHub
26. ↑ Recordando a Vladimir Voevodsky, 1966–2017  (inglés) . NIC (8 de octubre de 2017). Consultado el 27 de diciembre de 2017. Archivado desde el original el 27 de diciembre de 2017.
27. ↑ Conferencia de un día dedicada a la memoria de V. A. Voevodsky . Portal matemático de toda Rusia (27 de diciembre de 2017). Consultado el 27 de diciembre de 2017. Archivado desde el original el 27 de diciembre de 2017. (indefinido)
28. ↑ Mijail Verbitsky. Doble cronómetro . LJ.Russia.org (1 de octubre de 2017). Consultado: 26 de diciembre de 2017. (indefinido)

Enlaces

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• A. A. Beilinson , A. S. Vishik , D. A. Kazhdan , M. M. Kapranov , A. S. Merkuriev , D. O. Orlov , I. A. Panin , A. A. Suslin , N. A. Tyurin , G. B. Shabat . Vladimir Aleksandrovich Voevodsky (obituario)  // Avances en Ciencias Matemáticas . - 2018. - T. 73 , núm. 3 (441) . — S. 157–168 . doi :/ rm9821 .
• Charles Weibel Vladimir Voevodsky (inglés) //Avisos de la AMS. - 2019. -Vol. 66,núm. 4. -Pág. 526-533. -doi:10.1090/noti1850.

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• Svetlana Belyaeva. La salida del agujero es visible . Se puede facilitar el trabajo de los matemáticos (enlace inaccesible) . Buscar (18 de septiembre de 2015) . Consultado el 24 de diciembre de 2017. Archivado desde el original el 26 de diciembre de 2017. (indefinido) 

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