Dualidad de Poincaré

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En matemáticas , el teorema de dualidad de Poincaré , llamado así por el matemático francés Henri Poincaré , es un resultado básico sobre la estructura de grupos de homología y variedades de cohomología . Establece que todos los k- ésimos grupos de cohomología de una variedad M cerrada orientable n - dimensional son isomorfos a los ( n - k )-ésimos grupos de homología de M :

H^{k}(M)\cong H_{nk}(M).

Historia

La versión original del teorema de la dualidad fue formulada por Poincaré sin demostración en 1893 . Las cohomologías se inventaron solo dos décadas después de su muerte, por lo que formuló la idea de la dualidad en términos de números de Betti : los k -ésimos y ( n - k )-ésimos números de Betti de un n -orientable cerrado (compacto sin límite) variedad dimensional son iguales a:

b_{k}(M)=b_{nk}(M).

Poincaré luego dio una prueba de este teorema en términos de triangulaciones duales [1] [2] .

Redacción moderna

La formulación moderna de la dualidad de Poincaré incluye los conceptos de homología y cohomología: si M es una variedad n - dimensional cerrada y orientable , k es un número entero , entonces hay un isomorfismo canónico del k-ésimo grupo de cohomología en la ( n - k )-ésima homología grupo : ${\ estilo de visualización H ^ {k} (M)}$ $H_{nk}(M)$

D:H^{k}(M)\a H_{nk}(M)

Este isomorfismo está definido por la clase fundamental de la variedad : ${\ estilo de visualización [M]}$

D(\alpha )=[M]\fruncir el ceño \alpha

donde es un cociclo , denota la -multiplicación de las clases de homología y cohomología. Aquí se dan la homología y la cohomología con coeficientes en el anillo de números enteros, pero el isomorfismo también tiene lugar para un anillo de coeficiente arbitrario. $\alpha \in H^{k}(M)$ $\fruncir el ceño$ $\fruncir el ceño$

Para variedades orientables no compactas, la cohomología en esta fórmula debe ser reemplazada por cohomología con soporte compacto .

Para los grupos de homología y cohomología, que son cero por definición, respectivamente, según la dualidad de Poincaré, los grupos de homología y cohomología para una variedad n - dimensional son cero. $k<0$ $k>n$

Emparejamiento bilineal

Sea M una variedad cerrada orientable , denotada por la torsión del grupo , y su parte libre ; todos los grupos de homología se toman con coeficientes enteros. Hay mapeos bilineales : ${\ estilo de visualización \ tau H_ {k} (M)}$ $H_{k}(M)$ $fH_{k}(M)=H_{k}(M)/\tau H_{k}(M)$

fH_{k}(M)\otimes fH_{nk}(M)\to \mathbb {Z}

\tau H_{k}(M)\otimes \tau H_{nk-1}(M)\to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .

(Aquí , es el grupo de factores aditivos del grupo de números racionales sobre enteros).

\mathbb {Q} /\mathbb {Z}

La primera forma se llama índice de intersección , la segunda es el coeficiente de enlace . El índice de intersección determina la dualidad no degenerada entre las partes libres de los grupos y , el coeficiente de enlace determina entre la torsión de los grupos y . $H_{k}(M)$ $H_{nk}(M)$ $H_{k}(M)$ $H_{nk-1}(M)$

La afirmación de que estos emparejamientos bilineales definen la dualidad significa que las asignaciones

fH_{k}(M)\to \mathrm {Hom}_{\mathbb {Z} }(fH_{nk}(M),\mathbb {Z} )

\tau H_{k}(M)\to \mathrm {Hom}_{\mathbb {Z} }(\tau H_{nk-1}(M),\mathbb {Q} /\mathbb {Z } )

son isomorfismos de grupo.

Este resultado es consecuencia de la dualidad de Poincaré y del teorema del coeficiente universal , que dan las igualdades y . Así, los grupos son isomorfos, aunque no hay isomorfismo natural, y, de manera similar, . $H_{k}(M)\simeq H^{nk}(M)$ $fH^{nk}(M)\equiv \mathrm {Hom} (H_{nk}(M);\mathbb {Z} )$ $\tau H^{nk}(M)\equiv \mathrm {Ext} (H_{nk-1}(M);\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{nk -1}(M);\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$ $fH_{k}(M)\simeq fH_{nk}(M)$ ${\ estilo de visualización \ tau H_ {k} (M) \ simeq \ tau H_ {nk-1} (M)}$

Enlaces

↑ Henri Poincaré, Complément à l'Analysis Situs , Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 13 (1899) páginas 285-343
↑ Henri Poincaré, Second complément à l'Analysis Situs , Actas de la London Mathematical Society, 32 (1900), páginas 277-308

Literatura

Dold A. Conferencias sobre topología algebraica . — M. : Mir, 1976
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Un curso de topología homotópica. — M .: Nauka, 1989