Diasquismo

Diasquismo ( otro griego διασχίσμα , lat. diaschisma ), también coma reducida [1] - microintervalo , igual a la diferencia de la coma didyme (sintónica) y el cisma y, por lo tanto, teniendo igual la proporción de las frecuencias del sonido superior e inferior a

{\frac {81}{80}}:{\frac {32805}{32768}}={\frac {2^{11}}{3^{4}\cdot 5^{2}}} ={\frac{2048}{2025}}

, o 19.5526 q .

Un diasquismo, así como un dieses mayor y menor , corresponde a una segunda disminuida en afinación pura (es decir, un intervalo de la forma C-Deses, Cis-Des, E-Fes, Eis-F [2] , etc. ).

Relación del diasquismo con otros intervalos

El diasquismo se puede expresar de varias formas a través de otros intervalos de afinación puros, como se muestra en la siguiente tabla. Cada una de estas expresiones puede tomarse como una definición de diasquismo.

	diasquismo como	fórmula correspondiente
una	diferencia entre coma pequeña diesa y didym	${\frac {128}{125}}:{\frac {81}{80}}=$	${\ estilo de visualización \ = {\ frac {2048}{2025}}}$
2	diferencia entre una quinta disminuida y una cuarta aumentada (afinación pura)	${\frac {64}{45}}:{\frac {45}{32}}=$
3	diferencia entre dos semitonos diatónicos y un tono entero más grande	$\left({\frac {16}{15}}\right)^{2}:{\frac {9}{8}}=$

A veces se toma como definición principal la primera de las anteriores. Se puede ilustrar de la siguiente manera. Si se posponen tres tercios mayores puros (con una relación de frecuencia de 5: 4) del sonido (tono) C en una fila (con una relación de frecuencia de 5: 4): C-E-Gis-His , entonces el sonido His obtenido en así será más grave que el sonido c (que está una octava por encima del sonido original C ), y el intervalo His-c (segunda reducida) será igual al diese pequeño (128:125). Si en esta cadena de terceras C-E-Gis-His, una de ellas no se toma como una tercera mayor pura, sino como una pitagórica (es decir , diton ), que es más ancha que una tercera mayor pura por una coma didímica, entonces el sonido His en el final de la cadena resultará más alto que en la construcción anterior, por la misma coma de didima, y el intervalo His-c en este caso será igual a la diferencia entre la diesa pequeña y la coma de didima, es decir, diasquismo [3] .

Para construir un diasquismo a partir de un sonido con , puede bajar dos terceras mayores puras y dos tonos enteros (más grandes) en cualquier orden, por ejemplo: c—As—Ges—Eses—Deses [4] , y luego subir el sonido resultante ( Deses ) a una octava arriba. Los segundos c-deses reducidos resultantes serán iguales al diasquismo.

La desigualdad acústica de una quinta disminuida y una cuarta aumentada en afinación pura se ilustra a continuación. Si producimos el siguiente retardo de intervalos a partir del sonido C original :

C-F-G-H-f ,

donde C-F es una cuarta perfecta (4:3), C-G es una quinta perfecta (3:2), G-H es una tercera mayor perfecta (5:4), F-f es una octava (2:1), entonces la proporción de la las frecuencias de los sonidos de la cuarta F-H aumentada (45 : 32) serán menores que la relación de las frecuencias de los sonidos de la quinta H-f disminuida (64 : 45). La diferencia entre estos intervalos será igual al diasquismo (ver la 2ª línea de la tabla). Al mismo tiempo, la cuarta aumentada resulta estar formada por dos tonos enteros mayores (9: 8) y uno menor (10: 9), y la quinta disminuida consta de un tono entero mayor, uno menor y dos semitonos diatónicos (16 : 15) [5] . Por lo tanto, el diasquismo también es igual a la diferencia de dos semitonos diatónicos y un tono entero más grande (ver la 3ª fila de la tabla).

Se pueden señalar otras correlaciones que relacionan el diasquismo con diferentes intervalos de afinaciones puras y pitagóricas. Por ejemplo, diasquismo es igual a la diferencia entre la limma y el semitono cromático menor de la escala pura (25:24):

{\frac {256}{243}}:{\frac {25}{24}}={\frac {2048}{2025}}

Información histórica

La primera mención de los términos "diasquismo" y "cisma" en fuentes escritas conocidas está contenida, además, en latín, no en ortografía griega, en el tratado de Boecio "Fundamentos de la música" (Mus. III.8) [6] . Sin embargo, Boecio, refiriéndose a Filolao , da a estos términos un significado diferente al actualmente aceptado:

lat. original	ruso traducción
Philolaus igitur haec atque his minora spatia talibus definitionibus includit. Diesis, inquit, est spatium, quo maior est sesquitertia proportio duobus tonis. Comma vero est spatium, quo maior est sesquioctava proportio duabus diesibus, id est duobus semitoniis minoribus. Schisma est dimidium commatis, diaschisma vero dimidium dieseos, id est semitonii minoris.	Para estos y menores que estos intervalos Philolaus da tales definiciones. Diez, dice, es el intervalo en que la razón superterciaria excede de dos tonos. La coma es el intervalo por el cual la proporción de supra-osmin excede dos dieses, es decir, dos semitonos pequeños ( lit. más pequeños). El cisma es la mitad de la coma. El diasquismo es medio diesa, es decir, un pequeño semitono [7] .

En este fragmento de Boecio, los intervalos "diesa" ("semitono menor") y "coma" corresponden a la limma y la coma pitagórica , por lo tanto -con una interpretación estricta- la mitad de estos intervalos tienen las siguientes expresiones numéricas:

	relación (frecuencias)	valor en centavos
la mitad de la coma (cisma según Boecio / Filolao)	$\sqrt{\frac{531441}{524288}}=\frac{729}{1024}\sqrt2$	11.7300
la mitad de la limma (diasquismo según Boecio / Filolao)	$\sqrt{\frac{256}{243}}=\frac{16}{27}\sqrt3$	45.1125

En la teoría moderna, estos dos intervalos a veces se denominan cisma y diasquismo de Philolean, respectivamente [8] ; El propio Boecio no da ninguna expresión numérica para el cisma y diasquismo que definió.

La concepción boeciana del diasquismo (como “la mitad de un semitono menor”, en general, sin una expresión numérica exacta) se mantuvo a lo largo de la Edad Media (por Regino Prümsky, Engelberto de Admont, Jerónimo de Moravia , Jacob de Lieja , Pseudo-Thundsted , John Boen y muchos otros. .) y el Renacimiento (Ugolino Orvietsky, Tinktoris , Glarean , etc.). Al mismo tiempo, si estos autores indicaron relaciones numéricas para el diasquismo (o cisma), entonces no utilizaron la media geométrica para obtener la expresión numérica “mitad” del intervalo correspondiente (que correspondería a la definición estricta de mitad del intervalo, pero al mismo tiempo daría lugar a relaciones irracionales [9] ), sino, en la mayoría de los casos, a la media aritmética o media armónica [10] .

F. Salinas en su tratado "Siete libros de música" ( 1577 ) sólo menciona brevemente el cisma y el diaschismo en el entendimiento boecio (señalando la irracionalidad de estos "intervalos de los antiguos"). Sin embargo, da relaciones numéricas correspondientes a las definiciones actualmente aceptadas de estos intervalos: calcula el intervalo como un “exceso” ( en latín “excessus” ) de dos semitonos ( ) sobre un tono entero mayor; y el intervalo - como el exceso de la coma pitagórica sobre la "armónica" ( lat. comma harmonicum ), es decir, didímica [11] . $2048:2025$ $16:15$ $32805:32768$

Una peculiar transformación de la comprensión de la definición boeciana de cisma y diasquismo se produjo en la Nueva Era, cuando la afinación pura (quinto-tertz), cuyos fundamentos teóricos fueron puestos por J. Tsarlino y F. Salinas , ya había convertirse en la base generalmente aceptada para la doctrina de los intervalos musicales. Así, por ejemplo, A. Werkmeister (refiriéndose parcialmente a Barifon ) indica en su tabla de intervalos [12] , entre otros, lo siguiente:

	pequeño ( lat. menos )	grande ( lat. majus )
cisma	162:161	161:160
diasquismo	32:31	31:30

Werkmeister no da ningún comentario sobre estas definiciones de cisma y diasquismo, pero a partir de los valores numéricos indicados, está claro que un cisma tan pequeño como grande se obtiene dividiendo la coma didyme ( ) "por la mitad", más precisamente, por dividir con la ayuda de la media aritmética ( ) por dos, al menos y muy poco diferentes entre sí, pero partes desiguales. De igual forma, un diasquismo mayor y menor corresponden a dos partes (“mitades”) de un semitono diatónico ( ), obtenidas mediante la media aritmética ( ). En principio, esto corresponde a las definiciones de Boecio de cisma como la mitad de una coma y diasquismo como la mitad de un semitono (más pequeño), si por coma entendemos no pitagórico, sino coma didímica, por semitono - no limma, sino diatónico semitono de un sistema puro ( ), y, finalmente, dividir el intervalo "por la mitad" utilizando la media aritmética, no la geométrica. (Debido a que el resultado son partes desiguales, los términos "mayor" y "pequeño" están necesariamente presentes). $162:160=80:81$ $161$ $32:30=16:15$ $31$ $16:15$

J.-F. Rameau cita en su Tratado de Armonía (1722) un intervalo llamado "coma disminuida" y define una diesa menor ( ) como un intervalo formado por dos comas (es decir, didímica y disminuida) [13] . En una obra posterior (“The New System of Theoretical Music”, 1726), llama pequeña a la coma reducida, distinguiéndola de la grande (es decir, didyme, ). La diferencia entre estas comunicaciones (correspondientes al cisma en la definición moderna ) Rameau llama la "semi-coma más pequeña" ( fr. Semi-Comma minime ) [14] . L. Euler en su "Experiencia de una nueva teoría de la música" (1739) llama al intervalo diasquismo, definiéndolo como la diferencia entre una pequeña diesa y una coma (didímica) [15] . $2048:2025$ $128:125$ $81:80$ $32805:32768$ $2048:2025$

La definición de cisma como intervalo aparece no más tarde del primer cuarto del siglo XIX [16] . Es aceptada en la actualidad, así como la definición de diasquismo de Euler, y fue fijada junto con ella en las tablas de intervalos musicales por G. Riemann [17] y A. J. Ellis [18] . La terminología definida por estas tablas constituye la base de la moderna [19] . $32805:32768$

Notas

↑ término J.-F. Rameau ("Tratado de Armonía", 1722).
↑ Dichos intervalos en afinación pura no son unísonos, es decir, consisten en sonidos de tonos realmente diferentes .
↑ Si los tres tercios mayores en la cadena especificada C-E-Gis-His son pitagóricos (es decir, iguales a ditons ), entonces el sonido resultante His será más alto que el sonido c por una coma pitagórica; si dos de estos tercios son pitagóricos, y uno es puro, entonces el sonido His será más alto que el sonido c por cisma.
↑ Aquí c-As y Ges-Eses son tercios mayores puros establecidos (5:4), y As-Ges y Eses-Deses son tonos enteros mayores (9:8).
↑ Es decir, el tritono real (un intervalo que consta de tres tonos) en la afinación pura es precisamente la cuarta aumentada, y no la quinta reducida. Al respecto, J.-F. Rameau y otros teóricos del siglo XVIII solían llamar al tritono cuarta aumentada, pero no quinta disminuida, mientras que en la actualidad (en relación con la adopción del temperamento igual ) ambos intervalos indicados se denominan “ tritonos ”.
↑ Boecio. De Institutione musica, liber III Archivado el 2 de febrero de 2011 en Wayback Machine )
↑ Traducción al ruso citada del libro: A. M. S. Boethius. Fundamentos de Música / Preparación del texto, traducción del latín y comentario de S. N. Lebedev . - M. : Centro de Publicaciones Científicas "Conservatorio de Moscú", 2012. - P. 137. - xl, 408 p. - ISBN 978-5-89598-276-1 . .
↑ Consulte, por ejemplo, los artículos schisma Archivado el 28 de septiembre de 2009 en Wayback Machine y diaschisma Archivado el 29 de septiembre de 2009 en Wayback Machine en Tonalsoft® Encyclopedia of Microtonal Music Theory Archivado el 29 de mayo de 2007 en Wayback Machine .
↑ Por ejemplo, Robert Fludd señala que el cisma y el diaschismo (en el sentido boecio estricto) no se pueden expresar usando "proporciones musicales", es decir, proporciones de números enteros: "Pro schismate autem, quod est dimidium Comatis, [Boethius] negat ipsum en proporción Musicam posse introducción; Similis etiam est impossibilitas introducendi Diaschisma sub iisde mproporcionibus " ( Utriusque cosmi metaphysica...(1617) Archivado el 12 de septiembre de 2014 en Wayback Machine , Vol. II, Tract. II, Pars II, Lib. III, Cap. II; pág. 186).
↑ La división del limma con la ayuda de la media aritmética también se encuentra en el propio Boecio ( Mus. IV.6 Copia de archivo del 13 de noviembre de 2009 en Wayback Machine ) en relación con la construcción de tetracordes de género enarmónico . El resultado de tal división son los intervalos 512: 499 y 499: 486 (el número 499 es la media aritmética de los números 512 y 486, cuya proporción 512: 486 = 256: 243 corresponde al limma), cada uno de que Boecio llama diesa , sin advertir en modo alguno su desigualdad formal, ni una posible conexión con el diasquismo, definido por él antes. Estos intervalos (512:499 y 499:486) se desvían del "medio límite exacto" ( ) en menos de 0,5878 centavos . $\sqrt{256/243}$
↑ F. Salinas. De Musica libri Septem, Liber II Archivado el 19 de junio de 2010 en Wayback Machine Cap. XVIII y XXIII.
↑ A. Werckmeister. Hodegus Curiosus (Guía musical), Cap. XXV.
↑ J.-P. Rameau. Traité de l'harmonie, TI, I.5 .
↑ J.-P. Rameau. Nouveau Systême de Musique Theorique Archivado el 20 de junio de 2010 en Wayback Machine , cap. tercero En este trabajo, Rameau define cinco tipos de "semicomunicaciones": el más pequeño, el pequeño, el mediano, el grande y el más grande ( fr. minime, mineur, moyen, majeur, maxime ).
↑ L. Euler. Tentamen novae theoriae musicae, 1739 Archivado el 19 de julio de 2010 en Wayback Machine . Gorra. VIII. El término "cisma" y actitud no aparecen en este trabajo. $32805:32768$
↑ Por ejemplo, se da en el diccionario musical de P. Lichtenthal ( P. Lichtenthal. Dizionario e bibliografia della musica . - Fontana, 1826. )
↑ En ruso por primera vez - en la edición del "Diccionario musical" de Riemann, editado por Yu. Engel. - M., Leipzig, 1901, págs. 955-960; Tabla de intervalos según Riemann Musiklexicon, en el libro. Yu. N. Kholopova "Harmony" Copia de archivo del 19 de septiembre de 2011 en Wayback Machine
↑ Véase la tabla de intervalos en el suplemento escrito por Ellis a la edición en inglés del libro de H. Helmholtz "La doctrina de las sensaciones auditivas como base fisiológica para la teoría de la música" ( H. Helmholtz. Sobre las sensaciones del tono como una base fisiológica para la teoría de la música, 1895 ), Con. 453.
↑ Al mismo tiempo, en el siglo XIX, la coma pitagórica a veces se llamaba "diasquismo" (por ejemplo, en el libro de R. Brown. [https://archive.org/details/elementsmusical00browgoog Elementos de la ciencia musical . - 1860. ]), y en la literatura según la afinación de instrumentos musicales (principalmente alemana) hasta mediados del siglo XX, como razón numérica para el diaschismo, se eligió a menudo, que difiere de la razón "matemáticamente correcta" pormenos de una centésima de centavo. La fracciónes la primera fracción coincidente para. $89:88$ $2048:2025$ $89:88$ $2048:2025$

Literatura

Volkonsky, A. Fundamentos del temperamento. - M .: Compositor, 1998. - ISBN 5-85285-184-1 .
Kholopov, Yu. N. Armonía. Curso teórico. - M. : Música, 1988. ; 2do agregar. ed., San Petersburgo, 2003.
Werkmeister, Andreas. Musicae Mathematicae Hodegus Curiosus oder Richtiger Musicalischer Weg-Weiser (Guía musical). — Fráncfort u. Leipzig (Quedlinburg): jue. P. Calvisio , 1687 _ _
Rameau, Jean Philippe. Traité de l'harmonie réduite à ses principes naturels (Tratado de armonía). — París , 1722. _ _ _ _
Euler, Leonardo. Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae (Tractatus de musica) . - Petropol.: típ. Academia Sci, 1739. Traducción al ruso: Euler, Leonard. Experiencia de una nueva teoría de la música, claramente enunciada de acuerdo con los principios inmutables de la armonía / transl. de lat. N. A. Almazova. - San Petersburgo: Ros. académico Ciencias, San Petersburgo. científico centro, editorial Néstor-Historia, 2007. - ISBN 978-598187-202-0 .
Riemann Musiklexikon, in vier Bänden und einem Ergänzungsband (12te Aufl.) / herausg. v. W. Gurlitt, C. Dahlhaus, H. H. Eggebrecht. —Schott, 1995.

Enlaces

diccionarios y enciclopedias	gran ruso Musical Riemann

Intervalos musicales
Simple	Prima Segundo Tercero Cuarto de galón Quinta Sexto Séptimo Octava
Compuesto	nona Décima undécima duodecima Terzdecima cuarta décima quinta décima
Microintervalos	Cisma diasquismo Coma Diez Centavo Milioctava
Especial	Tono completo Semitono Lima apotoma Deatón medio ditón Tritón Quinto lobo