Sección transversal de dispersión diferencial

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La sección transversal de dispersión diferencial es la relación entre el número de partículas dispersas por unidad de tiempo por elemento de ángulo sólido d W y la densidad de flujo de las partículas incidentes.

Dispersión clásica

Si consideramos el problema clásico , cuando una partícula se dispersa de una partícula objetivo inmóvil, generalmente se usa el sistema de coordenadas esféricas . En este caso, el objetivo se coloca en el origen de coordenadas, y z de este sistema de coordenadas coincide con el haz incidente. El ángulo θ es el ángulo de dispersión , medido entre el haz incidente y el haz dispersado, y φ es el ángulo azimutal .

El parámetro de impacto b es el desplazamiento perpendicular de la trayectoria de la partícula incidente, y la partícula saliente vuela en un ángulo θ . Para una interacción dada ( culombiana , magnética , gravitatoria , de contacto, etc.), el parámetro de impacto y el ángulo de dispersión tienen una cierta dependencia funcional uno a uno entre sí. Por lo general, el parámetro de impacto no se puede controlar ni medir de un evento a otro, y se supone que toma todos los valores posibles cuando se promedia sobre un conjunto de eventos de dispersión. El tamaño diferencial de la sección transversal es un elemento de área en el plano del parámetro de impacto, es decir, d σ = b d φ d b . El rango angular diferencial de una partícula dispersa en un ángulo θ es el elemento de ángulo sólido d Ω = sen θ d θ d φ . La sección transversal diferencial es el cociente de estas cantidades,dσ_ _dΩ_ _

Es una función del ángulo de dispersión (y por lo tanto también del parámetro de impacto) así como de otras cantidades observables como el momento de la partícula incidente. Siempre se supone que la sección transversal diferencial es positiva, incluso si los parámetros de impacto más altos generalmente causan menos deflexión. En situaciones cilíndricas simétricas (con respecto al eje del haz), el ángulo azimutal φ no cambia durante la dispersión y la sección transversal diferencial se puede escribir como

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )))=\int _{0}^{2\pi }{\frac {\mathrm {d } } \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \varphi

En otras situaciones en las que el proceso de dispersión no es azimutalmente simétrico, como cuando el haz o las partículas objetivo tienen momentos magnéticos orientados perpendicularmente al eje del haz, la sección transversal diferencial también debe expresarse en función del ángulo azimutal.

Cuando las partículas del flujo incidente F inc se dispersan desde un objetivo inamovible que consta de muchas partículas, la sección transversal diferencialdσ_ _dΩ_ _en un ángulo ( θ , φ ) está relacionado con el flujo de detección de partículas dispersas F out ( θ , φ ) en partículas por unidad de tiempo por la relación

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{nt\Delta \Omega }}{\frac {F_{\text{fuera}}(\theta ,\varphi )}{F_{\text{inc)))).

Aquí Δ Ω es el tamaño angular final del detector (unidades SI: sr ), n es la densidad numérica de las partículas objetivo (m −3 ) y t es el grosor del objetivo fijo (m). Esta fórmula asume que el objetivo es lo suficientemente delgado como para que cada partícula del haz interactúe como máximo con una partícula objetivo.

La sección transversal total σ se puede recuperar integrando la sección transversal diferencialdσ_ _dΩ_ _sobre el ángulo sólido completo ( 4π estereorradianes):

\sigma =\oint _{4\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\,\mathrm {d} \Omega =\int_{ 0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}\sin \theta \,\mathrm { d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .

Es común omitir la definición de "diferencial" cuando el tipo de sección transversal puede inferirse del contexto. En este caso, σ puede llamarse sección transversal integral o sección transversal total . El último término puede resultar confuso en contextos en los que están involucrados varios eventos, ya que "total" también puede referirse a la suma de las secciones transversales de todos los eventos.

La sección transversal diferencial es una cantidad extremadamente útil en muchos campos de la física, ya que su medición puede revelar una gran cantidad de información sobre la estructura interna de las partículas objetivo. Por ejemplo, la sección transversal diferencial de la dispersión de Rutherford era una prueba convincente de la existencia de un núcleo atómico. En lugar del ángulo sólido, el momento transferido puede usarse como la variable independiente de las secciones transversales diferenciales .

Las secciones transversales diferenciales para la dispersión inelástica contienen picos de resonancia que indican la creación de estados metaestables y contienen información sobre su energía y el tiempo de vida de los estados.

Dispersión cuántica

En el formalismo independiente del tiempo de la dispersión cuántica , la función de onda inicial (antes de la dispersión) se toma como una onda plana con un cierto momento k :

\phi _{-}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;e^{ikz},

donde z y r son coordenadas relativas entre el proyectil y el objetivo. La flecha indica que esto solo describe el comportamiento asintótico de la función de onda cuando el proyectil y el objetivo están demasiado separados para que la interacción tenga algún efecto.

Después de la dispersión, se espera que la función de onda tenga las siguientes asintóticas:

\phi _{+}(\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;f(\theta ,\phi ){\frac {e^{ ikr}}{r}},

donde f es una función de las coordenadas angulares, conocida como la amplitud de dispersión . Esta forma general es válida para cualquier interacción de conservación de energía de corto alcance. Esto no es cierto para las interacciones de largo alcance, por lo que existen dificultades adicionales cuando se trata de interacciones electromagnéticas.

La función de onda total del sistema se comporta asintóticamente como la suma de dos contribuciones

\phi (\mathbf {r} )\;{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\;\phi _{-}(\mathbf {r} )+\phi _{+ }(\mathbf {r} ).

La sección transversal diferencial está relacionada con la amplitud de dispersión por la fórmula:

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\theta ,\phi )={\bigl |}f(\theta ,\phi ){\bigr | }^{2}.

Lo cual tiene una interpretación simple como la densidad de probabilidad de encontrar un proyectil disperso en un ángulo dado.

Relación con la matriz S

Si las masas reducidas y los momentos del sistema que choca son iguales a m i , pi y m f , p f antes y después de la colisión, respectivamente, la sección transversal diferencial viene dada por

{\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}=\left(2\pi \right)^{4}m_{i}m_{f}{\frac {p_{f}}{p_{i}}}{\bigl |}T_{fi}{\bigr |}^{2},

La matriz T está definida por la fórmula

S_{fi}=\delta_{fi}-2\pi i\delta \left(E_{f}-E_{i}\right)\delta \left(\mathbf {p}_{i} -\mathbf {p} _{f}\right)T_{fi}

en términos de la matriz S. Aquí δ es la función delta de Dirac . El cálculo de la matriz S es el objetivo principal de la teoría de la dispersión .

Literatura

Bilen'kii S. M. Dispersión de micropartículas // Enciclopedia física : [en 5 volúmenes] / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Gran Enciclopedia Rusa , 1994. - V. 4: Poynting - Robertson - Serpentinas. - 704 pág. - 40.000 copias. - ISBN 5-85270-087-8 .