Objeto inyectivo

Un objeto inyectivo es una generalización teórica de categorías del concepto de módulo inyectivo . El concepto dual es un objeto proyectivo .

Definición

Un objeto de categoría se llama inyectivo si para cualquier morfismo y cualquier monomorfismo existe un morfismo de extensión , es decir . $q$ $C$ ${\ estilo de visualización f: A \ a Q}$ $h:A\a B$ ${\ estilo de visualización g: B \ a Q}$ $F$ $g\circ h=f$

Caso Abeliano

La definición original de objeto inyectivo se dio para el caso abeliano (y sigue siendo la más importante). Si es una categoría abeliana , entonces su objeto se llama inyectivo si y sólo si el funtor Hom es exacto . $C$ $q$ ${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {C} (-, Q)}$

Muchos objetos inyectivos

Se dice que una categoría tiene suficientes objetos inyectivos si para cualquier objeto de la categoría existe un monomorfismo en un objeto inyectivo . $C$ $X$ $C$ ${\ estilo de visualización f: X \ a Q}$ $q$

Concha inyectiva

Un monomorfismo de categoría se llama esencial si, para cualquier morfismo , la composición es un monomorfismo sólo si es un monomorfismo. $gramo$ $C$ $F$ ${\ estilo de visualización f \ círculo g}$ $F$

Si es un monomorfismo esencial y el objeto es inyectivo, entonces se llama sobre inyectivo . El casco inyectivo es único hasta el isomorfismo no canónico. ${\ estilo de visualización f: X \ a G}$ $GRAMO$ $GRAMO$ $X$

Generalización

Sea una categoría — La clase de morfismos y . $\mathfrak{C}$ ${\ matemáticas {H}}$ $\mathfrak{C}$

Un objeto de categoría se llama -inyectivo si para cualquier morfismo y cada morfismo de la clase existe un morfismo para el cual . $q$ $\mathfrak{C}$ ${\ matemáticas {H}}$ ${\ estilo de visualización f: \ a Q}$ ${\ estilo de visualización h: \ a B}$ ${\ matemáticas {H}}$ ${\ estilo de visualización g: B \ a Q}$ $g\circ h=f$

Si es una clase de monomorfismo , entonces obtenemos la definición de módulos inyectivos. ${\ matemáticas {H}}$

Una categoría tiene bastantes objetos -inyectivos si, para cada objeto X de la categoría , hay un -morfismo de X a un objeto -inyectivo. $\mathfrak{C}$ ${\ matemáticas {H}}$ $\mathfrak{C}$ ${\ matemáticas {H}}$ ${\ matemáticas {H}}$

Ejemplos

En la categoría de grupos abelianos, los objetos inyectivos son grupos divisibles .

En la categoría de módulos , los objetos inyectivos son módulos inyectivos . Hay capas inyectivas en B y, como resultado, hay bastantes objetos inyectivos. $R-\mathrm {Modificación}$ $R-\mathrm {Modificación}$

En la categoría de espacios métricos y aplicaciones cortas , los objetos inyectivos con respecto a los monomorfismos extremos son espacios métricos inyectivos .

Los objetos inyectivos también se consideran en categorías más generales, por ejemplo, en las categorías de funtores o en las categorías de haces de módulos .

${\ matemáticas {H}}$ Se dice que un -morfismo g into es -esencial si, para cualquier morfismo f , la composición fg pertenece a la clase sólo si f pertenece a la clase . $\mathfrak{C}$ ${\ matemáticas {H}}$ ${\ matemáticas {H}}$ ${\ matemáticas {H}}$

Si g es un morfismo -esencial de X a un objeto -inyectivo G , entonces G se llama el casco H -inyectivo de X . ${\ matemáticas {H}}$ ${\ matemáticas {H}}$

Literatura

Jiri Rosicky . Inyectividad y categorías accesibles.
Charles A. Weibel. Introducción al Álgebra Homológica. — Prensa de la Universidad de Cambridge, 1994.