Karatsuba, Anatoly Alekseevich

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Karatsuba Anatoly Alekseevich

Fecha de nacimiento

31 de enero de 1937

Lugar de nacimiento

Grozni

Fecha de muerte

28 de septiembre de 2008 (71 años)

Un lugar de muerte

Moscú , Rusia

País

URSS , Rusia

Esfera científica

matemáticas

Lugar de trabajo

MIAN , Universidad Estatal de Moscú

alma mater

Universidad Estatal de Moscú (Mekhmat)

Titulo academico

Doctor en Ciencias Físicas y Matemáticas

consejero científico

Korobov N. M.

Estudiantes

Voronin S. M. , Chubarikov V. N. ,

Arkhipov G. I.

Premios y premios

Premio para ellos. P. L. Chebyshev Academia de Ciencias de la URSS

Premio para ellos. IM Vinogradov RAS

Archivos multimedia en Wikimedia Commons

Anatoly Alekseevich Karatsuba (31 de enero de 1937 , Grozny - 28 de septiembre de 2008 , Moscú) - Matemático soviético y ruso . Creador del primer método rápido en la historia de las matemáticas: el método de multiplicación de números grandes [1] [2] ( multiplicación de Karatsuba ).

Estudia y trabaja

Anatoly Karatsuba estudió en 1944-1954 en la escuela secundaria masculina No. 6 en la ciudad de Grozny y se graduó con una medalla de plata. Ya en sus primeros años mostró habilidades excepcionales para las matemáticas, resolviendo problemas en los grados inferiores que se les daban a los estudiantes de secundaria en un círculo matemático.

En 1959 se graduó en la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú. Lomonosov . En 1962, se convirtió en candidato de ciencias físicas y matemáticas con una tesis "Sumas trigonométricas racionales de una forma especial y sus aplicaciones" (supervisor - N. M. Korobov ), y comenzó a trabajar en la facultad de la Universidad Estatal de Moscú. En 1966 defendió su tesis doctoral "Método de sumas trigonométricas y teoremas del valor medio" y se convirtió en investigador en el Instituto de Matemáticas de la Academia de Ciencias de la URSS (MIAN).

Desde 1983, ha sido un destacado especialista en el campo de la teoría de números en la URSS y Rusia, y jefe del Departamento de Teoría de Números (establecido en 1983 ) en el Instituto de Logros de Moscú, Profesor del Departamento de Teoría de Números de Moscú. Universidad Estatal desde 1970 y Profesor del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad Estatal de Moscú (establecida en 1962 ) desde 1980 . Sus intereses de investigación incluyeron sumas trigonométricas e integrales , la función zeta de Riemann , caracteres de Dirichlet , máquina de estado , algoritmos eficientes .

AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO. Karatsuba supervisó a 15 estudiantes de doctorado; siete de ellos se convirtieron más tarde en doctores en ciencias. Tiene premios y títulos estatales.

Premios y títulos

1981 : Premio P. L. Chebyshev de la Academia de Ciencias de la URSS
4 de junio de 1999 : Científico de Honor de la Federación Rusa
2001 : Premio I. M. Vinogradov de la Academia Rusa de Ciencias

Primeros trabajos en informática

Como estudiante en la Universidad Estatal de Moscú. Lomonosov, A. A. Karatsuba participó en el trabajo del seminario de A. N. Kolmogorov y encontró soluciones a dos problemas planteados por Kolmogorov, lo que impulsó el desarrollo de la teoría de los autómatas y marcó el comienzo de una nueva dirección en las matemáticas: la teoría de los algoritmos rápidos. .

Autómatas

En el artículo de Edward Moore "Experimentos especulativos sobre máquinas secuenciales" [3] , un autómata (o máquina) se define como un dispositivo que tiene estados, símbolos de entrada y símbolos de salida. Demostramos nueve teoremas sobre la estructura y experimentamos con . Estas máquinas más tarde se conocieron como autómatas de Moore . Al final del artículo, en el capítulo "Nuevos problemas", Moore formula el problema de mejorar las estimaciones obtenidas por él en los Teoremas 8 y 9: $(n;m;p)$ $S$ $norte$ $metro$ $pags$ $S$ $S$ $S$

Teorema 8 (Moore). Supongamos que se da una máquina arbitraria , tal que cada dos de sus estados se pueden distinguir entre sí, entonces hay un experimento de longitud que establece (encuentra) el estado al final de este experimento.

(n;m;p)

S

n(n-1)/2

S

En 1957, Karatsuba demostró dos teoremas que resolvieron completamente el problema de Moore de mejorar la estimación de la duración de un experimento en su Teorema 8 .

Teorema A (Karatsuba). Si hay una máquina, cada dos estados de los cuales se distinguen entre sí, entonces hay un experimento ramificado de longitud no mayor que , por medio del cual es posible establecer (encontrar) el estado al final del experimento.

S

(n;m;p)

(n-1)(n-2)/2+1

S

Teorema B (Karatsuba). Hay una máquina, cada dos estados de los cuales son mutuamente distinguibles, de modo que la duración del experimento más corto que establece el estado de la máquina al final del experimento es .

(n;m;p)

(n-1)(n-2)/2+1

Estos dos teoremas formaron la base del trabajo de cuarto año de Karatsuba "Sobre un problema en la teoría de los autómatas", que recibió una crítica encomiable (es decir, no muy alta) en la competencia de trabajos de estudiantes de la Facultad de Mecánica y Matemáticas. de la Universidad Estatal de Moscú. Lomonosov en 1958 . El artículo fue enviado por Karatsuba a Uspekhi matematicheskikh nauk en diciembre de 1958 y no se publicó hasta junio de 1960 [4] . Sin embargo, hasta ahora este resultado de Karatsuba, que luego se conoció como el teorema de Moore-Karatsuba, es el único resultado no lineal exacto (el único orden de evaluación no lineal exacto) tanto en la teoría de autómatas como en problemas similares en la teoría. de la complejidad computacional. [una]

Algoritmos Rápidos

Los algoritmos rápidos son una rama de las matemáticas computacionales que estudia los algoritmos para calcular una función determinada con una precisión determinada utilizando la menor cantidad posible de operaciones de bits. Supondremos que los números están escritos en el sistema numérico binario, cuyos signos 0 y 1 se denominan bits . La operación de un bit se define como escribir los caracteres 0, 1, más, menos, paréntesis; suma, resta y multiplicación de dos bits. Las primeras formulaciones de problemas sobre la complejidad de bits de los cálculos pertenecen a A. N. Kolmogorov . La complejidad de la multiplicación se define como el número de operaciones de bits suficientes para calcular el producto de números de dos dígitos utilizando este algoritmo. $Minnesota)$ $norte$

Multiplicando dos números de n dígitos en la forma habitual de la escuela "en una columna", tenemos un límite superior . En 1956, A. N. Kolmogorov planteó la hipótesis de que el límite inferior para cualquier método de multiplicación también es un valor de orden , es decir, es imposible calcular el producto de dos números de n dígitos más rápido que en las operaciones (la llamada "hipótesis "). La plausibilidad de la hipótesis fue indicada por el hecho de que durante todo el tiempo de la existencia de las matemáticas, en ese momento, la gente había multiplicado con orden de complejidad , y si hubiera habido un método de multiplicación más rápido, entonces probablemente ya habría sido fundar. $M(n)=O(n^{2})$ $Minnesota)$ $n^{2}$ $n^{2}$ $n^{2}$ $n^{2}$ $O(n^{2})$

En 1960, en la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú, bajo la dirección de A. N. Kolmogorov, comenzó a funcionar un seminario sobre cuestiones matemáticas de la cibernética, donde se formuló una "hipótesis" y se plantearon una serie de problemas para evaluar la complejidad . de otros cálculos similares. Anatoly Karatsuba, con la esperanza de obtener un límite inferior para , encontró un nuevo método para multiplicar dos números de n dígitos, ahora conocido como la multiplicación de Karatsuba , con una estimación de complejidad. $n^{2}$ $Minnesota)$

M(n)=O(n^{{\log _{2}3)))=O(n^{{1.58496\ldots }}),

y por lo tanto refutando la hipótesis $n^{2}$ , que informó a Kolmogorov después de la próxima reunión del seminario. En la próxima reunión del seminario, este método fue descrito por el mismo Kolmogorov, y el seminario cesó su trabajo. [5] El primer artículo que describe la multiplicación de Karatsuba fue preparado por el propio Kolmogorov, donde presentó dos resultados diferentes y no relacionados de dos de sus alumnos. [6] Aunque en el artículo Kolmogorov señaló claramente que un teorema (no relacionado con la multiplicación rápida) se debió a Yu. Ofman, y otro teorema (con la primera multiplicación rápida) se debió a A. Karatsube, esta publicación de dos autores confundió a los lectores durante mucho tiempo, quienes creían que ambos autores contribuyeron a la creación del método de multiplicación rápida, e incluso llamaron a este método por dos nombres. El método de Karatsuba se generalizó posteriormente al paradigma divide y vencerás , otros ejemplos importantes de los cuales son particiónbúsqueda binaria , el método de bisección , etc.

Posteriormente, sobre la base de esta idea de A. Karatsuba [5] [7] [8] , se construyeron una gran cantidad de algoritmos rápidos, de los cuales los más famosos son sus generalizaciones directas, como el método de multiplicación de Schoenhage-Strassen. [9] , el método de multiplicación de matrices de Strassen [10] y la transformada rápida de Fourier .

El matemático y filósofo francés Jean-Paul Delaye llamó [11] al método de multiplicación de Karatsuba "uno de los resultados más útiles de las matemáticas".

El algoritmo de Anatoly Karatsuba está implementado en casi todas las computadoras modernas, no solo a nivel de software, sino también a nivel de hardware.

Investigación básica

En su artículo “Sobre el trabajo matemático del profesor Karatsuba” [12] , dedicado al 60 aniversario de A. A. Karatsuba, sus alumnos G. I. Arkhipov y V. N. Chubarikov describen las características del trabajo científico de A. A. Karatsuba de la siguiente manera:

Cuando se presentan los trabajos de científicos notables, es natural destacar algunos rasgos característicos y sorprendentes de su trabajo. Tales características distintivas en la actividad científica del profesor Karatsuba son el ingenio combinatorio, la minuciosidad y una cierta integridad de los resultados.

Los principales estudios de A. A. Karatsuba están publicados en más de 160 artículos científicos y monografías. [13] [14] [15] [16]

Sumas trigonométricas e integrales trigonométricas

método p -adic

A. A. Karatsuba construyó un nuevo método -ádico en la teoría de las sumas trigonométricas. Las estimaciones obtenidas por él para las llamadas sumas de la forma $pags$ $L$

S=\sum_{{x=1}}^{P}e^{{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\dots a_{n}x^{n}/p )}},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,

condujo a nuevos límites para la serie cero -Dirichlet módulo igual a la potencia de un número primo, a la derivación de una fórmula asintótica para el número de comparación de Waring de la forma $L$

x_{1}^{{n}}+\puntos +x_{t}^{{n}}\equiv N{\pmod {p^{k}}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq n,\quad P<p^{k},

resolver el problema de distribución de partes fraccionarias de un polinomio con módulo de coeficientes enteros . A. A. Karatsuba fue el primero en implementar [18] el "principio de incrustación" de Euler-Vinogradov en la forma -ádica y construir un análogo -ádico de - los números de Vinogradov al estimar el número de soluciones de una comparación de tipo Waring. $p^{k}$ $pags$ $pags$ $tu$

Dejar

x_{1}^{{n}}+\dots +x_{t}^{{n}}\equiv N{\pmod {Q}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq t,\quad (1)

P^{r}\leq Q<P^{{r+1)),\quad 1\leq r\leq {\frac {1}{12)){\sqrt {n)),\quad Q=p ^{k},\quad k\geq 4(r+1)n,

donde es un número primo. A. A. Karatsuba demostró que en este caso para cualquier número natural existe tal que para cualquier número natural puede representarse en la forma (1) para , y para existe tal que la comparación (1) es indecidible. $pags$ $n \ geq 144$ $p_{0}=p_{0}(n)$ $p_{0}>p_{0}(n)$ $norte$ $t\geq 20r+1$ $t<r$ $norte$

Este nuevo enfoque, encontrado por A. A. Karatsuba, condujo a una nueva prueba -ádica del teorema del valor medio de I. M. Vinogradov, que juega un papel central en el método de sumas trigonométricas de Vinogradov. $pags$

Otro elemento del método -ádico de A. A. Karatsuba es la transición de sistemas de ecuaciones incompletos a sistemas completos debido al cambio local -ádico de incógnitas. [19] [20] $pags$ $pags$

Sea un número natural arbitrario, , y sea el entero definido por las desigualdades . Considere el sistema de ecuaciones $r$ $1\leq r\leq n$ $t$ $m_{t}\leq r\leq m_{{t+1}}$

{\begin{casos}x_{1}^{m_{1}}+\puntos +x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+\puntos +y_{k}^{m_{1}},\\\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots \\x_{1}^{m_{s}}+\dots +x_{k}^{m_{ s}}=y_{1}^{m_{s}}+\puntos +y_{k}^{m_{s}},\\x_{1}^{n}+\puntos +x_{k}^ {n}=y_{1}^{n}+\puntos +y_{k}^{n}.\end{casos}}

1\leq x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\leq P,\quad 1\leq m_{1}<m_{2}<\dots < m_{s}<m_{{s+1}}=n.

A. A. Karatsuba demostró que el número de soluciones de este sistema de ecuaciones para , satisface la estimación $yo_{k}$ $k\geq 6rn\log n$

I_{k}\ll P^{{2k-\delta }},\quad \delta =m_{1}+\dots +m_{t}+(s-t+1)r.

Para los sistemas incompletos de ecuaciones en los que las variables oscilan entre números con pequeños divisores primos, A. A. Karatsuba aplicó un desplazamiento multiplicativo de variables. Esto condujo a una estimación cualitativamente nueva de sumas trigonométricas y un nuevo teorema del valor medio para tales sistemas de ecuaciones.

Problema de Hua Lo-ken sobre el exponente de convergencia de la integral singular del problema de Terry

$pags$ El método -ádico de A. A. Karatsuba incluye métodos para estimar la medida de un conjunto de puntos con valores pequeños de funciones en términos de los valores de sus parámetros (coeficientes, etc.) y, a la inversa, estimar estos parámetros en términos de la medida del conjunto en métrica real y ádica. Este lado del método de A. A. Karatsuba se manifestó especialmente claramente en la evaluación de integrales trigonométricas, lo que condujo a la solución del problema de Hua Lo-ken . En 1979, A. A. Karatsuba, junto con sus alumnos G. I. Arkhipov y V. N. Chubarikov, resolvieron completamente [21] el problema de Hua Lo-ken, planteado en 1937 , que consistía en determinar el índice de convergencia de la integral: $pags$

\vartheta _{0}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int \limits_{{-\infty }}^{{+\infty }}{ \biggl |}\int \limits _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi i(\alpha _{{n}}x^{{n}}+\cdots +\alpha _{{1}}x)}}dx{\biggr |}^{{2k}}d\alpha_{{n}}\ldots d\alpha_{{1}},

donde es un número fijo. $n\geq 2$

En este caso, el índice de convergencia es un valor que converge y diverge en , donde es arbitrariamente pequeño. Se encontró que la integral converge en y diverge en . $\gama$ $\vartheta _{0}$ $2k>\gamma +\varepsilon$ $2k<\gamma -\varepsilon$ $\varepsilon >0$ $\vartheta _{{0}}$ $2k>{\tfrac{1}{2}}(n^{{2}}+n)+1$ $2k\leq {\tfrac{1}{2}}(n^{{2}}+n)+1$

Al mismo tiempo, se resolvió un problema similar para la integral

\vartheta _{1}=\int_{{-\infty}}^{{+\infty}}\cdots \int_{{-\infty}}^{{+\infty}}{\biggl |} \int _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\alpha _{m}x^{m}+\cdots + \alpha _{r}x^{r))}}dx{\biggr |}^{{2k}}d\alpha _{{n}}d\alpha _{{m}}\ldots d\alpha _ {{r}},

donde están los números enteros que satisfacen las condiciones $n,m,\ldots,r$

1\leq r<\ldots <m<n,\quad r+\ldots +m+n<{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).

A. A. Karatsuba y sus alumnos encontraron que la integral converge si y diverge si . $\vartheta _{1}$ $2k>n+m+\ldots+r$ $2k\leq n+m+\ldots+r$

Integrales y surgen en la solución del llamado problema de Terry (problema de Terry-Escott). A. A. Karatsuba y sus alumnos obtuvieron una serie de nuevos resultados relacionados con el análogo multidimensional del problema de Terry. En particular, establecieron que si es un polinomio en variables ( ) de la forma $\vartheta _{0}$ $\vartheta _{1}$ $F$ $r$ $r \ geq 2$

F(x_{{1}},\ldots,x_{{r}})\,=\,\sum \limits_{{\nu_{{1}}=0}}^{{n_{{1 }}}}\cdots \sum \limits _{{\nu _{{r}}=0}}^{{n_{{r}}}}\alpha (\nu _{{1}}),\ ldots ,\nu _{{r)))x_{{1}}^{{\nu _{{1}}}}\ldots x_{{r}}^{{\nu_{{r}}} } ,

con coeficiente libre cero, , es un vector -dimensional compuesto de coeficientes , entonces la integral $m=(n_{{1}}+1)\l puntos (n_{{r}}+1)-1$ ${\bar {\alfa}}$ $metro$ $F$

\vartheta _{{2}}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int \limits_{{-\infty }}^{{+\infty } }{\biggl |}\int \limits _{{0}}^{{1}}\cdots \int \limits _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi siF(x_ {{1)),\ldots,x_{{r))))}}dx_{{1}}\ldots dx_{{r}}{\biggr |}^{{2k}}d{\bar {\ alfa }}

converge para , donde es el mayor de los números . Este resultado, aunque no definitivo, dio lugar a una nueva dirección en la teoría de las integrales trigonométricas, relacionada con el refinamiento de los límites del índice de convergencia (I. A. Ikromov, M. A. Chakhkiev y otros). $2k>mn$ $norte$ $n_{1},\ldots,n_{r}$ $\vartheta _{2}$

Sumas trigonométricas múltiples

En 1966-1980, A. A. Karatsuba creó [22] [23] [14] (con la participación de sus alumnos G. I. Arkhipov y V. N. Chubarikov) la teoría de las sumas trigonométricas múltiples de H. Weyl , es decir, sumas de la forma

S=S(A)=\sum_{{x_{1}=1}}^{{P_{1}}}\puntos \sum_{{x_{r}=1}}^{{P_{r }}}e^{{2\pi siF(x_{1},\puntos,x_{r})}}

donde _ $F(x_{1},\puntos,x_{r})=\sum_{{t_{1}=1}}^{{n_{1}}}\puntos \sum_{{t_{r}= 1}}^{{n_{r}}}\alfa (t_{1},\puntos, t_{r})x_{1}^{{t_{1}}}\puntos x_{r}^{{ t_{r}}}$

$A$ es un conjunto de coeficientes reales . El punto central de esta teoría, así como la teoría de las sumas trigonométricas de I. M. Vinogradov, es el siguiente teorema del valor medio . $\alfa (t_{1},\puntos,t_{r})$

Sean números naturales, , . Sea, además , un cubo bidimensional en el espacio euclidiano de la forma

n_{1},\puntos,n_{r},P_{1},\puntos,P_{r}

P_{1}=\min(P_{1},\puntos,P_{r})

m=(n_{1}+1)\puntos (n_{r}+1)

\Omega

metro

0\leq \alpha (t_{1},\dots,t_{r})<1

. .

0\leq t_{1}\leq n_{1},\dots ,0\leq t_{r}\leq n_{r}

J=J(P_{1},\puntos,P_{r};n_{1},\puntos,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \puntos \int } }|S(A)|^{{2K}}dA

. Entonces para cualquiera y la cantidad satisface la estimación

\tau \geq 0

K\geq K_{{\tau}}=m\tau

j

J\leq K_{{\tau }}^{{2m\tau }}\varkappa ^{{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}}2^{{8m\varkappa \tau }}( P_{1}\puntos P_{r})^{{2K}}P^{{-\varkappa \Delta (\tau)}}

, donde , , , y los números naturales son tales que:

\varkappa =n_{1}\nu _{1}+\puntos +n_{r}\nu _{r}

\gamma \varkappa =1

\Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{{\tau }})

P=(P_{1}^{{n_{1}}}\puntos P_{r}^{{n_{r}}})^{{\gamma }}

\nu _{1},\puntos,\nu _{r}

-1<{\frac{P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0

, .

s=1,\puntos,r

El teorema del valor medio y el lema sobre la multiplicidad de intersección de paralelepípedos multidimensionales subyacen a la estimación de una suma trigonométrica múltiple obtenida por A. A. Karatsuba (el caso bidimensional fue obtenido por G. I. Arkhipov [24] ). Si denotamos por el mínimo común múltiplo de números con la condición , entonces para , tenemos la estimación $Q_0$ $q(t_{1},\puntos,t_{r})$ $t_{1}+\puntos t_{r}\geq 1$ $Q_{0}\geq P^{{1/6}}$

|S(A)|\leq (5n^{{2n}})^{{r\nu (Q_{0})}}(\tau (Q_{0}))^{{r-1}}P_ {1}\puntos P_{r}Q^{{-0.1\mu }}+2^{{8r}}(r\mu ^{{-1}})^{{r-1}}P_{1 }\puntos P_{r}P^{{-0.05\mu }}

donde es el número de divisores del número , y es el número de diferentes divisores primos del número . $\tau (Q)$ $q$ $\nu (Q)$ $q$

Una estimación de la función de Hardy en el problema de Waring

Aplicando la forma -ádica del método circular de Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov construido por él a estimaciones de sumas trigonométricas en las que la suma se realiza sobre números con pequeños divisores primos, A. A. Karatsuba obtuvo [25] una nueva estimación para el pozo -función de Hardy conocida en el problema de Waring (para ): $pags$ $G(n)$ $n \ geq 400$

G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.

Un análogo multidimensional del problema de Waring

En sus estudios posteriores sobre el problema de Waring, A. A. Karatsuba obtuvo [26] [27] la siguiente generalización bidimensional de este problema:

Considere el sistema de ecuaciones

x_{1}^{{ni}}y_{1}^{i}+\puntos +x_{k}^{{ni}}y_{k}^{i}=N_{i}

. .

i=0,1,\puntos,n

donde se dan enteros positivos que tienen el mismo orden de crecimiento, , y son desconocidos, pero también enteros positivos. Este sistema es solucionable si , y si , entonces existen tales que el sistema no tiene soluciones. $n_{yo}$ $N_{0}\a +\infty$ $x_{{\varkappa}},y_{{\varkappa}}$ $k>cn^{2}\log n$ $k<c_{1}n^{2}$ $n_{yo}$

El problema de Artin sobre la representación local del cero mediante la forma

En estudios sobre el problema de Artin sobre la representación -ádica de cero por una forma de grado arbitrario, los resultados de A. A. Karatsuba mostraron que en lugar de la ley de potencia asumida anteriormente, aumenta el número de variables para una representación no trivial de cero por un formulario, este número de variables debería crecer casi exponencialmente dependiendo del grado. A. A. Karatsuba junto con su alumno G. I. Arkhipov demostraron [28] que para cualquier número natural existe tal que para cualquier existe una forma de grado menor que , con coeficientes enteros, cuyo número de variables es , , $pags$ $r$ $n_{0}=n_{0}(r)$ $n\geq n_{0}$ $F(x_{1},\puntos,x_{k})$ $norte$ $k$ $k\geq 2^{u}$

u={\frac {n}{(\log _{2}n)(\log _{2}\log _{2}n)\dots \underbrace {(\log _{2}\dots \log _ {2}n)}_{r}\soporte {(\log _{2}\puntos \log _{2}n)^{3}}_{{r+1}}}}

y teniendo solo una representación trivial de cero en números 2-ádicos, y también obtuvo un resultado similar para un módulo primo impar arbitrario . $pags$

Estimaciones para sumas cortas de Kloosterman

A. A. Karatsuba creó [29] [30] [31] (1993-1999) un nuevo método para estimar sumas cortas de Kloosterman , es decir, sumas trigonométricas de la forma

\sum \limits _{{n\in A}}\exp {{\biggl (}2\pi i\,{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr )} },

donde recorre un conjunto de números coprimos con , el número de elementos en los que es significativamente menor que , y el símbolo denota el residuo inverso al módulo : . $norte$ $A$ $metro$ $\|A\|$ $metro$ $n^{{*}}$ $norte$ $metro$ $nn^{{*}}\equiv 1(\mod m)$

Hasta principios de la década de 1990. Se conocían estimaciones de este tipo principalmente para sumas en las que se excedía el número de términos ( G. D. Kloosterman , I. M. Vinogradov , G. Salie, L. Karlitz , S. Uchiyama, A. Weil ). La excepción fueron los módulos especiales de la forma , donde es un número primo fijo y el exponente aumenta indefinidamente (este caso fue estudiado por A. G. Postnikov por el método de I. M. Vinogradov ). El método de Karatsuba permite estimar sumas de Kloosterman cuyo número de términos no exceda , y en algunos casos incluso , donde es un número fijo arbitrariamente pequeño. El último artículo de A. A. Karatsuba sobre este tema [32] se publicó después de su muerte. ${\ sqrt {m))$ $m=p^{{\alfa}}$ $pags$ $\alfa$ $m^{{\ varepsilon}}$ $\exp {\{(\ln m)^{{2/3+\varepsilon}}\}}$ $\varepsilon >0$

Varios aspectos del método de A. A. Karatsuba han encontrado aplicación para resolver los siguientes problemas de teoría analítica de números:

encontrar asintóticas para sumas de partes fraccionarias de la forma ${\sum_{{n\leq x}}}'{\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}},{\sum_{ {p\leq x}}}'{\biggl \{}{\frac {ap^{{*}}+bp}{m}}{\biggr \}},$

donde recorre enteros consecutivos con la condición , y recorre números primos que no dividen el módulo (A. A. Karatsuba);

norte

(n,m)=1

pags

metro

encontrar un límite inferior para el número de soluciones de desigualdades de la forma $\alpha <{\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}}\leq \beta$

en enteros , , coprimos con , (A. A. Karatsuba);

norte

1\leq n\leq x

metro

x<{\raíz cuadrada {m}}

precisión de la aproximación de un número real arbitrario de un segmento por partes fraccionarias de la forma $[0,1]$ ${\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}},$

donde , , (A. A. Karatsuba);

1\leq n\leq x

(n,m)=1

x<{\raíz cuadrada {m}}

refinamiento de la constante en la desigualdad de Brun-Titchmarsh $C$ $\pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q)))),$

donde es el número de primos que no exceden y pertenecen a una progresión aritmética ( J. Friedlander , G. Ivanets );

\pi (x;q,l)

pags

X

p\equiv l{\pmod {q}}

límite inferior para el mayor divisor primo de un producto de números de la forma: $n^{{3}}+2$ , ( D. R. Heath-Brown ); $N<n\leq 2N$

prueba de la infinidad de números primos de la forma ( J. Friedlander , G. Ivanets ); $a^{{2}}+b^{{4}}$

propiedades combinatorias de un conjunto de números , (A. A. Glibichuk). $n^{{*}}{\pmod {m}}$ $1\leq n\leq m^{{\varepsilon}}$

Función zeta de Riemann

La hipótesis de A. Selberg

En 1984, A. A. Karatsuba estableció [33] [34] [35] que para una condición fija con , suficientemente grande y , el intervalo contiene al menos ceros reales de la función zeta de Riemann . $\varepsilon$ $0<\varepsilon<0.001$ $T$ $H=T^{{a+\varepsilon}}$ $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ $(T,T+H)$ $cH\lnT$ $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2))+it{\Bigr)}$

Esta afirmación fue hecha en 1942 como una conjetura por A. Selberg [36] , quien mismo demostró su validez para el caso . Las estimaciones de A. Selberg y A. A. Karatsuba son inmejorables en orden de crecimiento para . $H\geq T^{{1/2+\varepsilon}}$ $T\a +\infty$

Distribución de ceros de la función zeta de Riemann en segmentos cortos de la línea crítica

A. A. Karatsuba también contribuyó con una serie de resultados sobre la distribución de ceros en intervalos "cortos" de la línea crítica [37] . Demostró que un análogo de la conjetura de Selberg es válido para “casi todos” los intervalos , , donde es un número positivo fijo arbitrariamente pequeño. A. A. Karatsuba desarrolló (1992) un nuevo enfoque para el estudio de los ceros de la función zeta de Riemann en intervalos "ultracortos" de la línea crítica, es decir, en intervalos cuya longitud crece más lentamente que cualquier grado, incluso arbitrariamente pequeño. . En particular, demostró que para cualquier número dado , con la condición, casi todos los intervalos contienen al menos ceros de la función . Esta estimación es muy cercana a la que se deriva de la hipótesis de Riemann . $\zeta (s)$ $(T,T+H]$ $H=T^{{\varepsilon))$ $\varepsilon$ $(T,T+H]$ $H$ $T$ $\varepsilon$ $\varepsilon_{1}$ $0<\varepsilon,\varepsilon_{{1}}<1$ $(T,T+H]$ $H\geq \exp {\{(\ln T)^{{\varepsilon}}\}}$ $H(\ln T)^{{1-\varepsilon_{{1}}}}$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr)}$

Ceros de combinaciones lineales de la serie el de Dirichlet

A. A. Karatsuba creó un nuevo método [38] [39] [40] para estudiar los ceros de funciones representables como combinaciones lineales de series de Dirichlet . El ejemplo más simple de una función de este tipo es la función Davenport - Heilbronn , definida por la igualdad $L$

f(s)={\tfrac {1}{2}}(1-i\kappa )L(s,\chi )+{\tfrac {1}{2}}(1\,+\,i\kappa )L(s,{\bar {\chi )))

donde es un carácter no principal módulo ( , , , , , para cualquier ), $\ chi$ $5$ $\chi(1)=1$ $\ chi (2) = yo$ $\chi (3)=-yo$ $\chi(4)=-1$ $\chi(5)=0$ $\chi (n+5)=\chi (n)$ $norte$

\kappa ={\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}-2}{{\sqrt {5}}-1}}.

Para la hipótesis de Riemann es incorrecta, sin embargo, la línea crítica contiene, sin embargo, anómalamente muchos ceros. $f$ $Re\ s={\tfrac {1}{2}}$

A. A. Karatsuba estableció (1989) que el intervalo , , contiene al menos $(T,T+H]$ $H=T^{{27/82+\varepsilon}}$

H(\ln T)^{{1/2}}e^{{-c{\sqrt {\ln \ln T))))

ceros de función . A. A. Karatsuba también obtuvo resultados similares para combinaciones lineales que contienen un número arbitrario (finito) de términos; el exponente se reemplaza por un número más pequeño dependiendo únicamente del tipo de combinación lineal. $f{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr)}$ ${\tfrac{1}{2))$ $\beta$

El límite cero de la función zeta y el problema multidimensional del divisor de Dirichlet

A. A. Karatsuba obtuvo un resultado fundamentalmente nuevo [41] en el problema multidimensional de los divisores de Dirichlet, que está relacionado con la búsqueda de soluciones para la desigualdad en números naturales para . Porque hay una fórmula asintótica de la forma $x\to +\infty$ $D_{{k}}(x)$ $x_{{1}}*\ldots *x_{{k}}\leq x$ $x_{{1}},\ldots,x_{{k}}$ $D_{{k}}(x)$

D_{{k}}(x)=xP_{{k-1}}(\ln x)+R_{{k}}(x)

en el que es un polinomio de grado th, cuyos coeficientes dependen de y se pueden encontrar explícitamente, y es un término residual, todas las estimaciones conocidas (antes de 1960) eran de la forma $P_{{k-1}}(u)$ $(k-1)$ $k$ $R_{{k}}(x)$

|R_{{k}}(x)|\leq x^{{1-\alpha (k)}}(c\ln x)^{{k}}

donde y son constantes positivas absolutas. $\alpha ={\frac{1}{ak+b}}$ $a B C$

A. A. Karatsuba obtuvo una estimación más precisa , en la que el valor tenía un orden de magnitud y disminuía mucho más lentamente que en estimaciones anteriores. La estimación de A. A. Karatsuba es uniforme en y ; en particular, la magnitud puede crecer a medida que crece (como alguna potencia del logaritmo ). (Un resultado similar pero más débil fue obtenido en 1960 por el matemático alemán H. E. Richert, cuyo trabajo permaneció desconocido para los matemáticos soviéticos hasta al menos mediados de la década de 1970). $R_{{k}}(x)$ $\ alfa (k)$ $k^{{-2/3}}$ $\ alfa (k)$ $X$ $k$ $k$ $X$ $X$

La derivación de la estimación se basa en una serie de afirmaciones que son esencialmente equivalentes al teorema sobre el límite de ceros de la función zeta de Riemann obtenida por el método de I. M. Vinogradov , es decir, el teorema sobre lo que no tiene ceros en la región . $R_{{k}}(x)$ $\zeta (s)$

Re\ s\geq 1-{\frac {c}{(\ln |t|)^{{2/3}}(\ln \ln |t|)^{{1/3}}}},\ cuádruple|t|>10

A. A. Karatsuba estableció [42] [43] (2000) una relación inversa entre estimaciones de cantidades y comportamiento cerca de la línea recta . En particular, demostró que si es una función no creciente arbitraria con la condición , tal que para toda la estimación $R_{{k}}(x)$ $\zeta (s)$ $Re\s=1$ $\ alfa (y)$ $1/y\leq \alpha (y)\leq 1/2$ $k\geq 2$

|R_{{k}}(x)|\leq x^{{1-\alpha (k)}}(c\ln x)^{{k}}

entonces no tiene ceros en la región $\zeta (s)$

Re\ s\geq 1-c_{{1))\,{\frac {\alpha (\ln |t|)}{\ln \ln |t|}},\quad |t|\geq e^{ {2}}

( son constantes absolutas). $c,c_{{1}}$

Límites inferiores para el módulo máximo de la función zeta en pequeñas regiones de la banda crítica y en pequeños intervalos de la línea crítica

A. A. Karatsuba introdujo y estudió [44] [45] las funciones y definió las igualdades $F(T;H)$ $G(s_{{0}};\Delta)$

F(T;H)=\max _{{|tT|\leq H}}{\bigl |}\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}{ \bigr |},\quad G(s_{{0}};\Delta )=\max _{{|s-s_{{0}}|\leq \Delta }}|\zeta (s)|.

Aquí hay un número positivo suficientemente grande, , , , . Los límites inferiores de y muestran qué tan grandes (en valor absoluto) pueden tomar valores en segmentos cortos de la línea crítica o en pequeños vecindarios de puntos que se encuentran en la banda crítica . El caso había sido investigado anteriormente por Ramachandra; el caso donde es una constante suficientemente grande es trivial. $T$ $0<H\ll\ln \ln T$ $s_{{0}}=\sigma _{{0}}+iT$ ${\tfrac {1}{2}}\leq \sigma_{{0}}\leq 1$ $0<\Delta <{\tfrac{1}{3}}$ $F$ $GRAMO$ $\zeta (s)$ $0\leq Re\s\leq 1$ $H \ gg \ ln \ ln T$ $\Delta >c$ $C$

A. A. Karatsuba demostró, en particular, que si las cantidades y exceden algunas constantes suficientemente pequeñas, entonces las estimaciones $H$ $\Delta$

F(T;H)\geq T^{{-c_{{1}}}},\quad G(s_{{0}};\Delta )\geq T^{{-c_{{2}}} },

donde son algunas constantes absolutas. $c_{{1}},c_{{2}}$

Comportamiento del argumento de la función zeta en la línea crítica

A. A. Karatsuba obtuvo una serie de nuevos resultados [46] [47] sobre el comportamiento de la función , llamada argumento de la función zeta de Riemann en la línea crítica (aquí , el incremento de una rama continua arbitraria a lo largo de la línea quebrada que conecta los puntos y ). Entre ellos se encuentran teoremas sobre los valores medios de una función y su antiderivada sobre segmentos de la recta real, así como el teorema de que todo intervalo en contiene al menos $S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )))$ $\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr)))$ $\arg\zeta(s)$ $2.2+es$ ${\tfrac {1}{2}}+it$ $S t)$ $S_{{1}}(t)=\int _{{0}}^{{t}}S(u)du$ $(T,T+H]$ $H\geq T^{{27/82+\varepsilon}}$

H(\ln T)^{{1/3}}e^{{-c{\sqrt {\ln \ln T))))

puntos de cambio de signo de la función . Previamente, resultados similares fueron establecidos por A. Selberg para el caso . $S t)$ $H\geq T^{{1/2+\varepsilon}}$

Personajes de Dirichlet

Estimaciones para sumas cortas de caracteres en campos finitos

A fines de la década de 1960 A. A. Karatsuba, mientras estimaba sumas cortas de caracteres , creó [48] un nuevo método que hizo posible obtener estimaciones no triviales para sumas cortas de caracteres en campos finitos . Sea un entero fijo, sea un polinomio irreducible sobre el campo de los números racionales, sea la raíz de la ecuación , sea una extensión del campo , sea la base de , , , . Sea, además, un número primo suficientemente grande tal que sea módulo irreducible , un campo de Galois con base y un carácter de Dirichlet no principal del campo . Sea, finalmente, algunos números enteros no negativos, sea el conjunto de elementos del campo de Galois , $n\geq 2$ $F(x)=x^{{n}}+a_{{n-1}}x^{{n-1}}+\ldots +a_{{1}}x+a_{{0}}$ $\matemáticas {Q}$ $\ theta$ $F(\theta)=0$ ${\ matemáticas {Q}} (\ theta)$ $\matemáticas {Q}$ $\omega _{{1}},\ldots,\omega _{{n}}$ ${\ matemáticas {Q}} (\ theta)$ $\omega _{{1}}=1$ $\omega _{{2}}=\theta$ $\omega _{{3}}=\theta ^{{2}},\ldots,\omega_{{n}}=\theta ^{{n-1}}$ $pags$ $F(x)$ $pags$ ${\matemáticas {GF}}(p^{{n}})$ $\omega _{{1}},\omega _{{2}},\ldots,\omega _{{n}}$ $\ chi$ ${\matemáticas {GF}}(p^{{n}})$ $\nu _{{1}},\ldots,\nu _{{n}}$ $D(X)$ ${\ barra {x}}$ ${\matemáticas {GF}}(p^{{n}})$

{\bar {x}}=x_{{1}}\omega_{{1}}+\ldots +x_{{n}}\omega_{{n}}

tal que para cualquier , , se cumplen las siguientes desigualdades: $i$ $1\leq i\leq n$

\nu _{{i}}<x_{{i}}<\nu _{{i}}+X

A. A. Karatsuba demostró que para cualquier fijo , y arbitrario con la condición $k$ $k\geq n+1$ $X$

p^{{{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4k}}}}\leq X\leq p^{{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4k}}}}

evaluación justa:

{\biggl |}\sum \limits _{({\bar {x}}\in D(X)))\chi ({\bar {x}}){\biggr |}\leq c{\Bigl ( }X^{{1-{\frac {1}{k))))p^{({\frac {1}{4k))+{\frac {1}{4k^{{2)))) }}{\Bigr )}^{{\!\!n}}(\ln p)^{{\gamma }}),

donde , y la constante depende solo de y la base . $\gamma ={\frac{1}{k}}(2^{{n+1}}-1)$ $C$ $norte$ $\omega _{{1}},\ldots,\omega _{{n}}$

Estimaciones de sumas lineales de caracteres en términos de números primos desplazados

A. A. Karatsuba desarrolló una serie de nuevos trucos, cuyo uso, junto con el método de I. M. Vinogradov para estimar sumas con números primos, le permitió en 1970 obtener [49] [50] una estimación de la suma de valores de un no- carácter principal módulo un número primo en una secuencia de números primos desplazados, es decir, una estimación de la forma $q$

{\biggl |}\sum \limits _{{p\leq N}}\chi (p+k){\biggr |}\leq cNq^{{-{\frac {\varepsilon ^{{2}}} {1024}}}},

donde es un número entero con la condición , es un número fijo arbitrariamente pequeño , y la constante depende solo de . $k$ $k\no \equiv 0{\pmod {q}}$ $\varepsilon$ $N\geq q^{{1/2+\varepsilon}}$ $C$ $\varepsilon$

Esta afirmación es un refuerzo significativo de la estimación de I. M. Vinogradov, que no es trivial para . $N\geq q^{{3/4+\varepsilon}}$

En 1971, en la Conferencia Internacional de Teoría de Números dedicada al 80 aniversario del nacimiento de I. M. Vinogradov , el académico Yu. V. Linnik señaló lo siguiente:

Muy importantes son los estudios de I. M. Vinogradov en el campo de la asintótica de los caracteres de Dirichlet en primos desplazados , que dieron una disminución de la ley de potencia en comparación con ya en , donde está el módulo del carácter. Esta estimación es de fundamental importancia, ya que supera en profundidad lo que da la aplicación directa de la hipótesis de Riemann ampliada , y, aparentemente, en este sentido está la verdad, más profunda que la hipótesis indicada (si la hipótesis es correcta). Recientemente, A. A. Karatsuba logró mejorar esta estimación. $\sum \limits _{{p\leq N}}\chi (p+k)$ $norte$ $N\geq q^{{3/4+\varepsilon}}$ $\varepsilon >0$ $q$

Este resultado fue trasladado por A. A. Karatsuba al caso en que los números primos siguen una progresión aritmética, cuya diferencia aumenta con el módulo . $pags$ $q$

Estimaciones para sumas de caracteres en polinomios con argumento simple

A. A. Karatsuba [48] [51] obtuvo una serie de estimaciones para las sumas de los caracteres de Dirichlet de polinomios de segundo grado para el caso en que el argumento del polinomio recorre una secuencia corta de números primos consecutivos. Sea, por ejemplo, un número primo suficientemente grande , donde y son números enteros que satisfacen la condición , y denotamos el símbolo de Legendre , entonces para cualquier condición fija y para la suma , $q$ $f(x)=(xa)(xb)$ $a$ $b$ $ab(ab)\no \equiv 0{\pmod {q}}$ $\left({\frac{n}{q}}\right)$ $\varepsilon$ $0<\varepsilon <{\tfrac{1}{2}}$ $N>q^{{3/4+\varepsilon}}$ $S_{{N}}$

S_{{N}}=\sum \limits_{{p\leq N}}{\biggl (}{\frac {f(p)}{q}}{\biggr )},

evaluación justa:

|S_{{N}}|\leq c\pi (N)q^{{-{\frac {\varepsilon^{{2}}}{100}}}}

(aquí, los primos sucesivos se ejecutan, el número de primos no excede , y es una constante que depende solo de ). $pags$ $\alfiler)$ $norte$ $C$ $\varepsilon$

A. A. Karatsuba también obtuvo una estimación similar para el caso en que recorre una secuencia de números primos pertenecientes a una progresión aritmética, cuya diferencia puede crecer con el módulo . $pags$ $q$

A. A. Karatsuba conjeturó que una estimación no trivial de la suma de , "pequeño" en comparación con , sigue siendo válida incluso si la reemplazamos con un polinomio arbitrario de grado th, que no es un módulo cuadrado . Esta hipótesis aún no ha sido probada. $S_{{N}}$ $norte$ $q$ $f(x)$ $norte$ $q$

Límites inferiores para sumas de caracteres en polinomios

A. A. Karatsuba construyó [52] una secuencia infinita de primos y una secuencia de polinomios de grado con coeficientes enteros tal que no es un módulo cuadrado perfecto , $pags$ $f(x)$ $norte$ $f(x)$ $pags$

{\frac {4(p-1)}{\ln p}}\leq n\leq {\frac {8(p-1)}{\ln p)),

y los que

\sum \limits _{{x=1}}^{{p}}\left({\frac {f(x)}{p}}\right)=p.

En otras palabras, para cualquier valor resulta ser un módulo de residuo cuadrático . Este resultado muestra que la estimación de A. Weyl $X$ $f(x)$ $pags$

{\biggl |}\sum \limits _{{x=1}}^{{p}}\left({\frac {f(x)}{p}}\right){\biggr |}\leq ( n-1){\sqrt{p))

uno no puede mejorar demasiado y reemplazar el lado derecho de la última desigualdad, digamos, con el valor , donde es una constante absoluta. $C{\raíz cuadrada {n}}{\raíz cuadrada {p}}$ $C$

Sumas de caracteres en secuencias aditivas

A. A. Karatsuba propuso un nuevo método [53] [54] que permite encontrar estimaciones muy precisas para las sumas de valores de caracteres no principales de Dirichlet en secuencias aditivas, es decir, en secuencias que consisten en números de la forma , donde las variables e independientemente unas de otras ejecutan, respectivamente, unos conjuntos y . $x+y$ $X$ $y$ $A$ $B$

El ejemplo más llamativo de resultados de este tipo es la siguiente afirmación, que encuentra aplicación en la resolución de una amplia clase de problemas relacionados con la suma de los valores de los caracteres de Dirichlet. Sea un número fijo arbitrariamente pequeño , sea un número primo suficientemente grande y sea un módulo de carácter no principal . Sean, además, subconjuntos arbitrarios del sistema completo de residuos módulo , satisfaciendo sólo las condiciones , . Entonces se realiza la siguiente estimación: $\varepsilon$ $0<\varepsilon <{\tfrac{1}{2}}$ $q$ $\ chi$ $q$ $A$ $B$ $q$ $\|A\|>q^{{\varepsilon))$ $\|B\|>q^{{1/2+\varepsilon}}$

{\biggl |}\sum \limits_{{x\in A}}\sum \limits_{{y\in B}}\chi (x+y){\biggr |}\leq c\|A\ |\cdot \|B\|q^{{-{\frac {\varepsilon ^{{2}}}{20}}}},\quad c=c(\varepsilon )>0.

El método de A. A. Karatsuba permite obtener estimaciones no triviales de sumas de este tipo y en algunos casos, cuando las condiciones anteriores en los conjuntos y son reemplazadas por otras, por ejemplo: , $A$ $B$ $\|A\|>q^{{\varepsilon))$ ${\sqrt {\|A\|}}\cdot \|B\|>q^{{1/2+\varepsilon }}.$

En el caso de que y sean conjuntos de números primos de segmentos , respectivamente, y , , existe una estimación de la forma: $A$ $B$ $(1,X]$ $(1,Y]$ $X\geqq^{{1/4+\varepsilon}}$ $Y\geqq^{{1/4+\varepsilon}}$

{\biggl |}\sum \limits _{{p\leq X}}\sum \limits _{{p'\leq Y}}\chi (p+p'){\biggr |}\leq c\pi (X)\pi (Y)q^{{-c_{{1}}\varepsilon^{{2}}}},

donde es el número de números primos que no excede , , y es una constante absoluta. $\ pi (Z)$ $Z$ $c=c(\varepsilon)>0$ $c_{{1}}$

Distribución de residuos de energía y raíces primitivas en secuencias dispersas

A. A. Karatsuba obtuvo [55] [56] (2000) estimaciones no triviales para las sumas de valores de los caracteres de Dirichlet “con pesos”, es decir, sumas de términos de la forma , donde es función del argumento natural. Las estimaciones de este tipo se utilizan para resolver una amplia gama de problemas en teoría de números relacionados con la distribución de residuos de potencia (no residuos), así como raíces primitivas en varias secuencias. $\ chi (n) f (n)$ $f(n)$

Sea un número entero, sea un número primo suficientemente grande, , , , donde , y sea, finalmente, $k\geq 2$ $q$ $(a,q)=1$ $|a|\leq {\sqrt {q}}$ $N\geq q^{{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2(k+1)}}+\varepsilon}}$ $0<\varepsilon <\min {\{0.01,{\tfrac {2}{3(k+1)}}\}}$

D_{{k}}(x)=\sum \limits_{{x_{{1}}*\ldots *x_{{k}}\leq x}}1=\sum \limits_{{n\leq x}}\tau _{{k}}(n)

(para la expresión asintótica de ver más arriba, en la sección dedicada al problema multidimensional de los divisores de Dirichlet). Para sumas y cantidades extendidas a valores para los cuales los números son residuos cuadráticos (respectivamente, no residuos) módulo , A. A. Karatsuba obtuvo fórmulas asintóticas de la forma $D_{{k}}(x)$ $V_{{1}}(x)$ $V_{{2}}(x)$ $\tau _{{k}}(n)$ $n \ leq x$ $(n+a)$ $q$

V_{{1}}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{{k}}(x)+O{\bigl (}xq^{{-0.01\varepsilon ^{{2}} }}{\bigr )},\quad V_{{2}}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{{k}}(x)+O{\bigl (}xq^{{ -0.01\varepsilon^{{2)))){\bigr)}

De manera similar, para la suma de los valores tomados de todos , para los cuales es un módulo raíz primitivo , obtenemos una expresión asintótica de la forma $V(x)$ $\tau _{{k}}(n)$ $n \ leq x$ $(n+a)$ $q$

V(x)=\left(1-{\frac {1}{p_{{1))))\right)\ldots \left(1-{\frac {1}{p_{{s)))) \right)D_{{k))(x)+O{\bigl (}xq^{{-0.01\varepsilon ^{{2)))){\bigr )}

donde son todos los divisores primos de . $p_{{1}},\ldots,p_{{s}}$ $q-1$

El método desarrollado por A. A. Karatsuba también fue aplicado por él a problemas sobre la distribución de residuos de potencia (no residuos) en secuencias de números primos desplazados , números de la forma , etc. $p+a$ $x^{{2}}+y^{{2}}+a$

Obras de los últimos años

En los últimos años, además de la investigación en el campo de la teoría de números (ver Efecto Karatsuba [57] [58] ), estuvo involucrado en algunos problemas de física teórica [59] , incluso en el campo de la teoría cuántica de campos . Aplicando su teorema ATS y algunos otros enfoques teóricos de números, obtuvo nuevos resultados [60] [61] en el modelo de Jaynes-Cummings en óptica cuántica .

Familia y aficiones

Su esposa es compañera de clase en la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú Diana Vasilievna Senchenko (nacida en 1936), profesora asociada del Departamento de Métodos Matemáticos de Análisis Económico de la Facultad de Economía de la Universidad Estatal de Moscú . Hija Ekaterina (nacida en 1963) - Doctora en Ciencias Físicas y Matemáticas, Investigadora Principal del Centro de Cómputo. A. A. Dorodnitsyna RAS [62] .

Anatoly Karatsuba se dedicó a los deportes toda su vida: en sus primeros años, levantamiento de pesas y lucha libre, luego montañismo, [63] escalada en roca, espeleología y turismo de montaña. Pasó los muros de Crimea de Ai-Petri , Kush-Kai , Opolznevoy, Foros y muchos otros, participó en expediciones espeleológicas a las cuevas de Anakopia (Nuevo Athos) , Kaskadnaya, Nazarovskaya.

Once veces subió a una altura de más de 7000 metros, conquistando los picos.

pico del comunismo (el pico más alto de la URSS) en 1977 y en 1985;
Pico Lenin en 1968 y 1979;
pico Korzhenevskaya en 1980, 1982, 1983, 1985, 1986, 1988 y 1991,

Cuatro veces conquistó Elbrus . Realizó viajes en las montañas del Cáucaso , el Pamir y, especialmente en los últimos años de su vida, el Tien Shan en el Kyrgyz Ala-Too , Zailiysky Alatau , Terskey y Kungei Ala-Too .

Véase también

Notas

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Arkhipov G. I. , Chubarikov V. N. Anatoly Alekseevich Karatsuba

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