Recta tangente a la circunferencia

Una línea tangente a un círculo en geometría euclidiana en el plano es una línea que tiene exactamente un punto común con el círculo. También es posible definir una tangente como la posición límite de una secante cuando sus puntos de intersección con un círculo se acercan infinitamente. Las líneas tangentes a los círculos son objeto de una serie de teoremas y juegan un papel importante en muchas construcciones y demostraciones geométricas .

Rectas tangentes a la misma circunferencia

La línea tangente t al círculo C interseca al círculo en un solo punto T . A modo de comparación, las líneas secantes intersecan el círculo en dos puntos, mientras que algunas líneas pueden no intersecar el círculo en absoluto. Esta propiedad de una recta tangente se conserva mediante muchas transformaciones geométricas , como la similitud , la rotación , la traslación , la inversión y la proyección cartográfica . Técnicamente hablando, estas transformaciones no cambian la estructura de incidencia de las líneas tangentes y los círculos, incluso si las líneas y los círculos mismos se deforman.

El radio del círculo dibujado a través del punto tangente es perpendicular a la línea tangente. Por el contrario, la perpendicular al radio en el punto final (en el círculo) es la tangente de la línea. El círculo junto con la recta tangente tienen simetría axial con respecto al radio (hacia el punto de contacto).

Ninguna línea tangente puede pasar por un punto dentro del círculo, ya que cualquier línea debe ser una secante. Al mismo tiempo, para cualquier punto fuera del círculo, se pueden construir dos líneas tangentes que lo atraviesen. La figura geométrica, formada por un círculo y dos rectas tangentes, también tiene simetría axial con respecto a la recta que une el punto P con el centro del círculo O (ver figura de la derecha). En este caso, los segmentos desde el punto P hasta los dos puntos tangentes tienen la misma longitud. Por el teorema del grado de un punto, el cuadrado de la longitud del segmento al punto de contacto es igual al grado del punto P con respecto al círculo C. Esta potencia es igual al producto de las distancias del punto P a dos puntos de intersección de la circunferencia por cualquier secante que pase por P.

La recta tangente t y el punto tangente T tienen la propiedad de conjugarse entre sí; esta correspondencia se puede generalizar en la idea de un polo y un polar . La misma relación existe entre un punto P fuera del círculo y una línea secante que conecta dos puntos de contacto.

Si el punto P está fuera del círculo con centro en O, y si las líneas tangentes desde P tocan el círculo en los puntos T y S, entonces los ángulos ∠TPS y ∠TOS suman 180°.

Si la cuerda TM se traza desde el punto tangente T de la línea PT y ∠PTM ≤ 90°, entonces ∠PTM = (1/2)∠MOT.

Construcción geométrica

Es relativamente fácil construir una recta t tangente a la circunferencia en un punto T de la circunferencia. Para hacer esto, dibuja una línea a a través del centro del círculo O y el punto T. Entonces la línea t es perpendicular a la línea a . Una de las formas de construir una perpendicular es la siguiente (ver figura). Dibujamos un círculo con el mismo radio ( r ) centrado en el punto T , obtenemos el segundo punto G en la línea a , y el punto T se convierte en el punto medio del segmento OG. Dibujamos dos circunferencias de radio R > r con centros en los puntos O y G. La recta que pasa por los puntos de intersección de estas circunferencias será tangente.

Para construir una línea tangente a través del punto P al círculo C , puedes usar la propiedad del ángulo basado en el diámetro del círculo . Se dibuja un círculo con centro en el punto H , el medio del segmento OP, donde O es el centro del círculo C. Las intersecciones de T y T' son los puntos tangentes de las rectas que pasan por el punto P , ya que los ángulos ∠OTP y ∠OT'P se basan en el diámetro OP del círculo con centro en H .

El teorema del cuadrilátero circunscrito y los círculos inscritos

El cuadrilátero ABCD descrito es una figura cerrada con cuatro lados tangentes al círculo C . Por tanto, C es una circunferencia inscrita en el cuadrilátero ABCD. Por el teorema de Pitot , las sumas de los lados opuestos de cualquier cuadrilátero son iguales, es decir

\overline {AB}+\overline {CD}=\overline {BC}+\overline {DA}.

Esta conclusión se sigue de la igualdad de los segmentos de las tangentes de los vértices del cuadrilátero. Denotemos los puntos de contacto como P (sobre el segmento AB), Q (sobre el segmento BC), R (sobre el segmento CD) y S (sobre el segmento DA). Los segmentos de línea simétrica a los puntos de contacto de cada vértice del cuadrilátero ABCD son iguales, es decir, BP=BQ= b , CQ=CR= c , DR=DS= d y AS=AP= a . Pero cada lado del cuadrilátero consta de dos de esos segmentos

\overline {AB}+\overline {CD}=(a+b)+(c+d)=\overline {BC}+\overline {DA}=(b+c)+(d+a)

lo que prueba la afirmación.

Lo contrario también es cierto: se puede inscribir un círculo en cualquier cuadrilátero convexo en el que las sumas de las longitudes de los lados opuestos sean iguales. [una]

Este teorema y su inverso tienen varias aplicaciones. Por ejemplo, del teorema se sigue inmediatamente que un círculo no puede inscribirse en ningún rectángulo, a menos que sea un cuadrado , y también que un círculo puede inscribirse en cualquier rombo, aunque en el caso general un círculo no puede inscribirse en un paralelogramo . .

Rectas tangentes a dos circunferencias

Para dos círculos, en general hay cuatro líneas distintas tangentes a ambos círculos a menos que un círculo se encuentre en el otro, pero en casos degenerados puede haber cualquier número de tangentes de cero a cuatro. Estos casos se describen a continuación. De las cuatro rectas tangentes, dos son tangentes exteriores cuando las circunferencias están del mismo lado de la recta tangente. Para las otras dos líneas, tangentes internas, los círculos se encuentran en lados opuestos de la línea tangente. Las tangentes exteriores se cortan en el centro de la homotecia exterior , mientras que las tangentes interiores se cortan en el centro de la homotecia interior. Tanto el centro interior como el exterior de la homotecia se encuentran en una línea recta que pasa por los centros de los círculos, más cerca del centro del círculo más pequeño. Si dos círculos tienen los mismos radios, quedan las mismas cuatro tangentes, pero las rectas tangentes exteriores son paralelas y no hay un centro de homotecia exterior en el plano afín . En el plano proyectivo , el centro exterior de la homotecia se encuentra en el punto en el infinito correspondiente a la intersección de las líneas. [2]

Tangente externa

Las líneas rojas que conectan los puntos T 1 y T 3 , T 2 y T 4 son las tangentes externas de los dos círculos.

Tangente interna

Las tangentes internas son tangentes que cortan el segmento que conecta los centros de los círculos. Tenga en cuenta que las tangentes internas no existen en el caso de círculos que se intersecan.

Edificio

Las tangentes a dos círculos se pueden construir encontrando los centros de la homotecia, como se describió anteriormente, y luego construyendo tangentes a través de estos centros. También es posible construir líneas tangentes y puntos tangentes directamente, como se describe a continuación.

Geometría elemental

Sean O 1 y O 2 dos centros de dos círculos C 1 y C 2 y sean r 1 y r 2 sus radios , mientras que r 1 > r 2 . En otras palabras, el círculo C 1 será considerado el mayor de los dos círculos. Se pueden usar dos métodos diferentes para construir líneas tangentes externas e internas.

tangentes externas

Dibuja un nuevo círculo C 3 con radio r 1 − r 2 centrado en O 1 . Usando el método descrito arriba, dibuja dos líneas tangentes desde el punto O 2 a este nuevo círculo. Estas rectas son paralelas a las rectas tangentes deseadas, ya que esto corresponde a una disminución de los radios de ambos círculos C 1 y C 2 en el mismo número r 2 , por lo que el círculo C 2 se convierte en un punto. A través de dos puntos tangentes en el círculo C 3 se pueden trazar dos rayos desde el centro O 1 . Estos rayos se cruzan con C 1 en los puntos de contacto requeridos. Las tangentes deseadas son perpendiculares a estos rayos radiales y se pueden construir como se muestra arriba.

tangentes internas

Dibuja un nuevo círculo C 3 con radio r 1 + r 2 centrado en O 1 . Usando el método descrito arriba, dibuja dos líneas tangentes desde el punto O 2 a este nuevo círculo. Estas líneas son paralelas a las líneas tangentes deseadas, ya que esto corresponde a una disminución en el radio del círculo C 2 a cero con un aumento simultáneo en el radio C 1 por la misma constante r 2 . Se pueden dibujar dos rayos radiales desde el centro O 1 a través de puntos de contacto en C 3 . Estos rayos se cruzan con C 1 en los puntos de contacto requeridos. Las tangentes internas deseadas son perpendiculares a los rayos radiales e intersecan los rayos en los puntos encontrados, de modo que pueden construirse por el método anterior.

De hecho, esta es la misma construcción que para las tangentes externas, si asumimos que el radio del círculo más pequeño es negativo.

Geometría analítica

Sean círculos con centros c 1 = ( x 1 , y 1 ) y c 2 = ( x 2 , y 2 ) y radios r 1 y r 2 respectivamente. Deje que la línea tangente tenga una ecuación con normalización a 2 + b 2 = 1, luego la distancia desde los centros de los círculos a la línea se calcula mediante las fórmulas: $hacha+por+c=0,$

ax 1 + por 1 + c = r 1 y hacha 2 + por 2 + c = r 2 .

Restamos la primera ecuación de la segunda, obtenemos

un ∆ x + segundo ∆ y = ∆ r

donde Δ x \ u003d x 2 - x 1 , Δ y \ u003d y 2 - y 1 y Δ r \ u003d r 2 - r 1 .

Si es la distancia de c 1 a c 2 , podemos normalizar haciendo la sustitución X = Δ x / d , Y = Δ y / d y R = Δ r / d para simplificar las ecuaciones, lo que da las ecuaciones aX + bY = R y a 2 + b 2 = 1. Los resolvemos y obtenemos dos soluciones ( k = ±1) para dos rectas tangentes externas: $d={\raíz cuadrada {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}$

a = RX − kY √(1 − R 2 ) segundo = RY + kX √(1 − R 2 ) c = r 1 − ( eje 1 + por 1 )

Geométricamente, esto corresponde a calcular el ángulo que forman la tangente y la línea trazada por los centros, y luego se gira la línea del centavo para obtener la ecuación de la tangente. Se puede calcular un ángulo usando trigonometría a partir de un triángulo rectángulo cuyos vértices son el centro (exterior) de la homotecia, el centro del círculo y el punto de tangencia. La hipotenusa se encuentra en la línea central, el radio es el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo se encuentra en la tangente de la línea.

( X , Y ) es el vector unitario de c 1 a c 2 , mientras que R es , donde es el ángulo entre la línea central y la tangente. luego es igual (dependiendo del signo , que es equivalente a la dirección de rotación), y las ecuaciones anteriores son la rotación de ( X , Y ) usando la matriz de rotación $\ cos \ theta$ $\ theta$ $\sin \theta$ $\pm {\sqrt {1-R^{2}}}$ $\ theta$ $\pm\theta,$

{\begin{pmatrix}R&\mp {\sqrt {1-R^{2}}}\\\pm {\sqrt {1-R^{2}}}&R\end{pmatrix}}

k = 1 es la línea tangente a la derecha de los círculos vista desde c 1 en la dirección c 2 . k = −1 es la línea tangente a la derecha de los círculos vista desde c 2 en la dirección c 1 .

Todos los argumentos anteriores asumen que los radios de los círculos son positivos. Si r 1 es positivo y r 2 es negativo, entonces c 1 estará a la izquierda de cada línea y c 2 a la derecha, y las dos líneas tangentes se intersecarán. De esta manera, se pueden obtener las cuatro soluciones. El cambio de signo de ambos radios da lugar al intercambio de opciones k = 1 y k = −1.

Vectores

En el caso general, los puntos tangentes t 1 y t 2 para cualquiera de las cuatro rectas tangentes a circunferencias con centro en v 1 y v 2 y con radios r 1 y r 2 se obtienen resolviendo cuatro ecuaciones:

{\begin{alineado}(t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_ {2}-t_{1})&=0\\(t_{1}-v_{1})\cdot (t_{1}-v_{1})&=r_{1}^{2}\\ (t_{2}-v_{2})\cdot (t_{2}-v_{2})&=r_{2}^{2}\\\end{alineado}}

Estas ecuaciones expresan el hecho de que la recta tangente es perpendicular a los radios y los puntos tangentes se encuentran en los círculos correspondientes.

Estas cuatro ecuaciones cuadráticas con variables vectoriales bidimensionales generalmente dan cuatro pares de soluciones.

Casos degenerados

Dos círculos diferentes pueden tener, según la posición relativa, desde cero hasta cuatro rectas tangentes a ambos círculos. Las variantes se pueden clasificar por distancia entre centros y radios.

Si las circunferencias no se tocan ( ), que es la posición general , hay cuatro tangentes que tocan ambas circunferencias al mismo tiempo. $d>r_{1}+r_{2}$
Si las circunferencias están en contacto ( ) -tienen un punto de contacto externo- tienen dos tangentes comunes externas y una interna que pasa por el punto de contacto de las circunferencias. Esta recta tangente común tiene multiplicidad dos. $d=r_{1}+r_{2}$
Si las circunferencias se cortan en dos puntos ( ), no tienen tangentes comunes internas y tienen dos tangentes externas. $|r_{1}-r_{2}|<d<r_{1}+r_{2}$
Si las circunferencias se tocan desde el interior ( ) - hay un punto de contacto interno - no tienen tangentes comunes internas y hay una tangente externa común que pasa por el punto de contacto de las circunferencias, y esta recta tiene una multiplicidad de dos. $d=|r_{1}-r_{2}|$
Si una circunferencia está completamente dentro de la otra ( ), no tienen tangentes comunes, ya que toda tangente a la circunferencia interior será secante a la exterior. $d<|r_{1}-r_{2}|$

Finalmente, si las circunferencias coinciden, cualquier recta tangente a la misma circunferencia será tangente común.

Además, el concepto de recta tangente común puede extenderse al caso de circunferencias de radio negativo (que están formadas por los mismos puntos pero "al revés"). En este caso, si los radios tienen signos opuestos (un círculo tiene un radio positivo, el otro tiene un radio negativo), los centros exterior e interior de la homotecia se invierten y las tangentes comunes exterior e interior se invierten. Si los radios tienen el mismo signo (ambos radios son positivos o ambos son negativos), entonces los conceptos "externo" e "interno" tienen el significado habitual. $x^{2}+y^{2}=(-r)^{2},$

Se pueden definir tangentes comunes para círculos con radio cero. En este caso, un círculo con radio cero se trata como un punto doble y, por lo tanto, cualquier línea que pase por este punto lo corta con una multiplicidad dos. Si el círculo tiene un radio de cero, la línea tangente común es simplemente la línea tangente al círculo que pasa por el punto, pero esta línea se cuenta dos veces. Si ambos círculos tienen radio cero, entonces la recta tangente común es la recta que pasa por dos puntos, y esta recta tiene multiplicidad de cuatro.

Nótese que en estos casos degenerados, los centros externo e interno de la homotecia permanecen (el centro externo tiende al infinito si los radios son iguales), excepto cuando los círculos coinciden (en cuyo caso el centro externo no está definido), o cuando ambos los círculos tienen radio cero (en este caso no hay centro interior).

Aplicaciones

Problema de transmisión por correa

Las tangentes interna y externa son útiles para resolver el problema de la transmisión por correa , que consiste en calcular la longitud de la correa que encajaría perfectamente alrededor de las ruedas de transmisión. Si consideramos la correa como una curva matemática de espesor despreciable y si las ruedas de transmisión están exactamente en el mismo plano, el problema se reduce a sumar los segmentos tangentes con las correspondientes longitudes de arco. Si la correa se estira sobre las ruedas con una intersección, es necesario considerar las tangentes internas. Si la correa se estira sin cruzarse, es necesario considerar las tangentes externas. El último caso a veces se llama el problema de la polea .

Rectas tangentes a tres circunferencias: teorema de Monge

Para tres círculos C 1 , C 2 y C 3 hay tres pares de círculos ( C 1 C 2 , C 2 C 3 y C 1 C 3 ). Dado que cada par de círculos tiene dos centros de homotecia, obtenemos un total de seis centros de homotecia . Gaspard Monge demostró a principios del siglo XIX que estos seis puntos se encuentran en cuatro líneas y que tres puntos se encuentran en cada línea.

Líneas tangentes y billares

El sistema de línea tangente para apuntar la bola blanca utiliza una línea a través de la mitad de la señal para crear dos líneas tangentes desde la bola blanca en la dirección de la bola objetivo. Dos líneas tangentes y una línea que pasa por el medio de la bola blanca intersecan una línea que pasa por el medio de la bola objetivo y el centro de la tronera. Es necesario dirigir el golpe de modo que la posición final de la bola blanca (una bola imaginaria en la figura) toque la bola objetivo en el punto de contacto con una línea recta perpendicular a la dirección de la tronera (en la figura esta tangente está resaltado en verde).

El problema de Apolonio

Muchos casos especiales del problema de Apolonio usan la búsqueda de círculos que son tangentes a una o más líneas. En el más simple de estos casos, se construye un círculo que es tangente a tres líneas dadas (problema LLL ). El centro de cualquier círculo debe estar en la bisectriz del ángulo en el punto de intersección de cualquier par de estas líneas. Hay dos bisectrices en cada punto de intersección de las rectas. Las intersecciones de estas bisectrices dan los centros de los círculos que son la solución. En el caso general, hay cuatro círculos de este tipo para un triángulo formado por la intersección de tres líneas: un círculo inscrito y tres círculos excéntricos.

En general, el problema de Apolonio se puede reducir al problema más simple de construir un círculo tangente a un círculo y dos líneas paralelas (este es en sí mismo un caso especial de LLC ). Para ello, aumentamos proporcionalmente dos de estos tres círculos dados hasta que se tocan. La inversión sobre un círculo de radio adecuado centrado en el punto tangente transforma estos dos círculos en dos líneas paralelas y el tercer círculo en otro círculo. Por lo tanto, la solución se puede encontrar moviendo un círculo de radio constante entre dos líneas paralelas hasta obtener una tangencia con un tercer círculo transformado. La inversión inversa dará soluciones al problema original.

Generalizaciones

El concepto de línea tangente a uno o más círculos se puede generalizar de varias maneras. En primer lugar, la propiedad de emparejamiento de líneas tangentes y puntos tangentes se puede generalizar a un polo y una línea polar , cuando el polo puede estar en cualquier lugar, no necesariamente en un círculo. En segundo lugar, la unión de dos círculos es un caso especial ( reducible ) de una curva plana de cuarto grado , y las rectas tangentes externa e interna son tangentes a dos puntos de esta curva. En general, una curva plana de cuarto grado tiene 28 líneas rectas tangentes a ella dos veces.

La tercera generalización se aplica a círculos tangentes en lugar de líneas tangentes. La línea tangente se puede ver como un círculo tangente con un radio infinito. En particular, las rectas tangentes exteriores a dos circunferencias pueden considerarse como casos especiales de la familia de circunferencias tangentes por dentro o por fuera de ambas circunferencias, mientras que las rectas tangentes interiores pueden considerarse como casos especiales de la familia de circunferencias tangentes a una circunferencia por el interior y con el lado exterior del otro) [3] .

En la geometría de Möbius o geometría inversa , las líneas se consideran círculos centrados "en el infinito" y para cualquier línea y para cualquier círculo existe una transformación de Möbius que lleva una figura a otra. En la geometría de Möbius, la tangencia de una línea y un círculo se convierte en un caso especial de tangencia de dos círculos. Esta equivalencia se desarrolla más en Geometría esférica de Lie .

Notas

↑ Alexander Bogomolny, "¿Cuando un cuadrilátero es inscriptible?" en Cortar el nudo . Consultado el 17 de abril de 2015. Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2015. (indefinido)
↑ Paul Kunkel. Círculos tangentes . Whistlerralley.com. Consultado el 29 de septiembre de 2008. Archivado desde el original el 15 de agosto de 2019. (indefinido)
↑ Kunkel, 2007 , pág. 34–46.

Literatura

Pablo Kunkel. El problema de la tangencia de Apolonio: tres miradas // Boletín BSHM : Revista de la Sociedad Británica de Historia de las Matemáticas . - 2007. - T. 22 , núm. 1 . -doi : 10.1080/ 17498430601148911 .
David Fraivert. Propiedades de las tangentes a una circunferencia que forma puntos de Pascal en los lados de un cuadrilátero convexo // Forum Geometricorum. - 2017. - Vol. 17. - Pág. 223-243.
Shlomo Libeskind. Geometría euclidiana y transformacional: una investigación deductiva . — 2007.

Véase también

Enlaces

Weisstein, Eric W. Líneas tangentes a un círculo (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Líneas tangentes a dos círculos (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .