Mapeo conforme

Un mapeo conforme es un mapeo continuo que conserva los ángulos entre las curvas y, por lo tanto, la forma de las figuras infinitesimales .

Definición

Un mapeo uno a uno de un dominio D en un dominio D * ( espacio euclidiano o variedad de Riemann ) se llama conforme ( del lat. conformis - similar) si, en una vecindad de cualquier punto D , el diferencial de esta transformación es el composición de una transformación ortogonal y una homotecia .

Este término proviene del análisis complejo , originalmente utilizado solo para mapeos conformes de regiones planas.

Si la orientación se conserva bajo un mapeo conforme , entonces se habla de un mapeo conforme del primer tipo ; si cambia a lo contrario, entonces se habla de un mapeo conforme del segundo tipo o un mapeo anticonforme .
Se dice que dos métricas en una variedad suave son conformemente equivalentes si existe una función suave tal que . En este caso, la función se llama factor conforme . $g,{\ tilde g}$ $METRO$ $\psi :M\to \mathbb{R}$ ${\tilde {g}}=e^{2\cdot\psi}g$ ${\ Displaystyle e ^ {\ psi}}$ ${\ tilde g}$

Un mapeo conforme conserva la forma de figuras infinitesimales;
Un mapeo conforme conserva los ángulos entre curvas en sus puntos de intersección ( propiedad de conservación de ángulos ).
- Esta propiedad también se puede tomar como la definición de un mapeo conforme.
Teorema de Riemann : cualquier dominio abierto simplemente conectado en el plano que no sea el plano completo admite una biyección conforme en el disco unitario.
Teorema de Liouville : cualquier aplicación conforme de un dominio del espacio euclidiano en puede representarse como una superposición de un número finito de inversiones . $\mathbb{R} ^{n}$ $n\geq 3$
La curvatura de Weil se conserva bajo un mapeo conforme, es decir, si y son tensores métricos conforme equivalentes , entonces ${\ tilde g}$ $gramo$ ${\tilde W}(X,Y)Z=W(X,Y)Z,$

donde y denotan los tensores de Weyl para y, respectivamente.

{\ tilde W}

W

{\ tilde g}

gramo

Las conexiones están relacionadas por la siguiente fórmula: ${\tilde {\nabla }}_{X}Y=\nabla_{X}Y+(X\psi ){\cdot }Y+(Y\psi ){\cdot }Xg(X,Y){ \cdot }\nabla \psi .$
Las curvaturas están relacionadas por la siguiente fórmula: $g({\tilde R}(X,Y)Y,X)=g(R(X,Y)Y,X)-$ $-Hess_{\psi }(X,X)-Hess_{\psi }(Y,Y)-|\nabla \psi |^{2}+(Y\psi )^{2}$

g(X,X)=g(Y,Y)=1,g(X,Y)=0,X\psi =0

Hess_{\psi}

\psi

En el caso bidimensional , la fórmula se puede escribir como ${\displaystyle |\nabla \psi |^{2}=(Y\psi )^{2))$

e^{2\cdot \psi }\cdot {\tilde {K}}=K-\triangle _{g}\psi

donde denota el laplaciano con respecto a .

{\ estilo de visualización \ triángulo _ {g}}

gramo

Para un par ortonormal de vectores y , la curvatura de la sección en la dirección se puede escribir de la siguiente manera: $X$ $Y$ ${\ estilo de visualización X \ cuña Y}$ ${\tilde {K}}_{X,Y}=f^{2}{\cdot }K_{X,Y}+f{\cdot }[Hess_{f}(X,X)+Hess_ {f}(Y,Y)]-|\nabla f|^{2},$

donde _

f=e^{{-\psi}}

Al calcular la curvatura escalar de una variedad Riemanniana bidimensional , es más conveniente escribir el factor conforme en la forma . En este caso: $norte$ ${\tilde {g}}=u^{\tfrac {4}{n-2}}{\cdot}g$ ${\tilde {Sc}}=\left({Sc}-{\frac {4(n-1)}{n-2}}{\cdot }\Delta u\right)\cdot u^{ \frac{n-2}{n+2}}$

El ejemplo más simple son las transformaciones de similitud , agotan todas las asignaciones conformes de todo el espacio euclidiano sobre sí mismo;
La inversión es un mapeo conforme del segundo tipo;
Cualquier función holomorfa cuya inversa también es holomorfa define un mapeo conforme del primer tipo del dominio correspondiente del plano complejo ;
Proyección estereográfica .

El mapeo conforme se utiliza en cartografía , electrostática para calcular la distribución de campos eléctricos [1] , mecánica continua ( hidromecánica y aeromecánica , dinámica de gases , teoría de la elasticidad , teoría de la plasticidad , etc.).

Aleshkov Yu. Z. Conferencias sobre la teoría de la función de una variable compleja, San Petersburgo: editorial de la Universidad Estatal de San Petersburgo, 1999;
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↑ Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (Alemán) // Archiv ftir Elektrotechnik. - 1923. - Bd. 12 _ — S. 1-15 . -doi : 10.1007/ BF01656573 .