La belleza de las matemáticas.

La belleza de las matemáticas  es la percepción de las matemáticas como un objeto de placer estético , similar a la música y la poesía.

Una visión correcta de las matemáticas revela no sólo la verdad, sino también una belleza impecable, fría y severa, como una escultura, desprendida de las debilidades humanas, desprovista de los trucos pretenciosos de la pintura y la música, la cristalidad montañosa y la perfección estricta del gran arte. El verdadero sabor del placer, el deleite, la liberación del caparazón humano mortal: todos estos son los criterios para la perfección más alta, que las matemáticas poseen junto con la poesía.

Texto original  (inglés)[ mostrarocultar] Las matemáticas, bien vistas, poseen no sólo la verdad, sino una belleza suprema, una belleza fría y austera, como la de la escultura, sin apelar a ninguna parte de nuestra naturaleza más débil, sin los adornos espléndidos de la pintura o la música, pero sublimemente pura y capaz. de una perfección severa como sólo el arte más grande puede mostrar. El verdadero espíritu de deleite, la exaltación, el sentido de ser más que un hombre, que es la piedra de toque de la más alta excelencia, se encuentra tanto en las matemáticas como en la poesía. – Bertrand Russell [1]

La belleza del método

Los matemáticos a menudo se refieren a un método elegante de prueba como si tuviera una o más de las siguientes propiedades:

En busca de una prueba elegante, los matemáticos utilizan una amplia variedad de formas de resolver un problema, ya que la primera prueba encontrada no es necesariamente la mejor. El poseedor del récord por el número de pruebas (varios cientos) es probablemente el teorema de Pitágoras . [2] Otro teorema bien conocido probado de muchas maneras es la ley de reciprocidad cuadrática , para la cual solo Carl Friedrich Gauss publicó 8 demostraciones basadas en ideas completamente diferentes. A diferencia de una elegante, una prueba lógicamente correcta que utiliza cálculos que consumen mucho tiempo, métodos súper complicados, enfoques tradicionales, una gran cantidad de axiomas o pruebas de otros teoremas se llama tosca o torpe .

La identidad de Euler

Algunos matemáticos [3] consideran hermoso resolver un problema que establece una conexión entre áreas de las matemáticas que antes se consideraban no relacionadas. Tal resultado a menudo se denomina profundo . Uno de los ejemplos más famosos es la identidad de Euler : [4]

Este es un caso especial de la fórmula de Euler, llamada por el físico Richard Feynman "nuestro tesoro" y "la fórmula más notable de las matemáticas". [5] El Teorema de la Modularidad , por el cual Andrew Wiles y Robert Langlands recibieron el Premio Wolf , establece una importante relación entre las curvas elípticas y las formas modulares. La conjetura de la luz de la luna monstruosa vincula el grupo Monstruo finito simple con funciones modulares a través de la teoría de cuerdas  , un resultado por el cual Richard Borcherds recibió el Premio Fields .

Un resultado profundo es también la revelación de aspectos inesperados de las estructuras matemáticas. Por ejemplo, el Teorema Egregium de Gauss , el teorema fundamental de la teoría de superficies, establece una conexión entre un fenómeno local ( curvatura ) y uno global ( área ). En particular, el área de un triángulo sobre una superficie curva es proporcional a su exceso , y el coeficiente de proporcionalidad está determinado por la curvatura. Otro ejemplo es el teorema fundamental del análisis (y sus variantes vectoriales, incluido el teorema de Green y el teorema de Stokes ).

Lo contrario de un resultado profundo es uno trivial . Estos incluyen resultados que se derivan directamente de otros resultados conocidos o se aplican solo a objetos específicos, como el conjunto vacío . Sin embargo, hay casos en los que la formulación del teorema puede ser lo suficientemente original como para considerarse profunda, incluso si su demostración es bastante obvia.

En The Mathematician's Apology, Godfrey Hardy sugiere que una hermosa prueba o resultado debe tener " sorpresa combinada con inmutabilidad y economía ". [6] La sorpresa fue un elemento clave en muchos de los resultados matemáticos de Srinivasa Ramanujan .

El matemático italiano Gian-Carlo Rota, sin embargo, no reconoce la sorpresa como una condición suficiente para la belleza, citando el siguiente contraejemplo:

Muchos teoremas matemáticos resultaron ser inesperados después de su publicación; por ejemplo, hace unos veinte años (en 1957 - aprox.) la prueba de la existencia de estructuras diferenciables no equivalentes sobre esferas de gran dimensión parecía inesperada, pero a nadie se le hubiera ocurrido llamar bello a este hecho ni entonces ni ahora . . [7]

M. I. Monastyrsky escribe con ligera ironía:

Es muy difícil encontrar inventos en el pasado que sean similares a las impresionantes construcciones de Milnor de varias estructuras diferenciales en una esfera de siete dimensiones... La prueba inicial de Milnor no fue muy constructiva, pero E. Brieskorn demostró que tales estructuras pueden describirse en una forma muy visual y hermosa. [ocho]

Esta diferencia de opinión ilustra tanto la subjetividad de la percepción de la belleza matemática como su conexión con el resultado: la prueba de la existencia de esferas exóticas es menos impresionante que la implementación de sus modelos.

El sentimiento de la belleza

El interés por las matemáticas puras , a diferencia de la investigación empírica, se observa en muchas civilizaciones , incluida la antigua Grecia , donde " las matemáticas se practicaban por su belleza " [9] . Sin embargo, la belleza matemática también se puede sentir fuera de las matemáticas puras. Por ejemplo, los físicos obtienen placer estético de la teoría general de la relatividad de Einstein , que Paul Dirac explicó por su " gran belleza matemática " [10] .

Podemos sentir la belleza de las matemáticas cuando tratamos con objetos del mundo físico formulados en términos abstractos. . No era raro que los matemáticos desarrollaran una nueva área de las matemáticas que al principio no tenía una aplicación práctica, pero con el tiempo, los físicos notaron que estos cálculos matemáticos abstractos reflejaban los resultados de sus observaciones. Por ejemplo, la teoría de grupos , desarrollada a principios del siglo XIX, cuyo único propósito era poder resolver ecuaciones polinómicas , demostró ser la forma más adecuada de categorizar las partículas elementales, los componentes básicos de la materia. Lo mismo sucedió con la teoría de nudos , donde el nudo era considerado únicamente como un objeto matemático, pero posteriormente hizo aportes significativos a la teoría de cuerdas y la teoría de la gravedad cuántica de bucles .

Obtener placer de la manipulación de números y símbolos requiere una cierta implicación en la búsqueda de las matemáticas, por lo que cualquier sociedad tecnológica que utilice esta herramienta extremadamente útil inevitablemente descubre su aspecto estético. La observación pasiva desde el exterior no permite apreciar todo el poder de la belleza matemática, ya que sus destinatarios no son la audiencia o el espectador en su sentido clásico [11] . Bertrand Russell llamó dura a la belleza de las matemáticas.

Manifestaciones de la belleza en las matemáticas

Francis Hutcheson , en An Inquiry into the Origin of Our Ideas of Beauty and Virtue in Two Treatises (1725), distinguió las siguientes características de la belleza estética de las matemáticas:

Posibles explicaciones de la belleza de las matemáticas

Pal Erdős creía que cuando la solución a un problema era correcta, pero le parecía fea, poco elegante y concisa, solía decir: “Bien, pero busquemos la prueba del Libro” (es decir, del ideal, Colección platónica de todos los resultados matemáticos, conocidos y desconocidos) [13] . Así, todo está escrito en el Libro y los matemáticos sólo lo leen. Los seguidores de Erdős, Martin Aigner y Günther Ziegler, publicaron un libro [14] , que tuvo tres reimpresiones en cinco años y fue traducido a varios idiomas, incluido el ruso.

Belleza y filosofía

Algunos matemáticos opinan que los logros de su ciencia pueden llamarse más correctamente no una invención, sino un descubrimiento, que, en su significado, está más cerca de encontrar:

No encontrarás un explorador, un poeta, un artista, un músico que no diga que encontró listo su descubrimiento, poema o pintura, que vinieron de afuera y no fueron creados por él conscientemente desde adentro.

Texto original  (inglés)[ mostrarocultar] No hay descubridor científico, ni poeta, ni pintor, ni músico, que no les diga que encontró listo su descubrimiento, poema o imagen, que le llegó desde afuera y que no lo creó conscientemente desde adentro. . — William Kingston Clifford , de una conferencia en la Royal Institution sobre "Algunas condiciones para el desarrollo del pensamiento"

Además, los matemáticos que tienen un punto de vista similar creen que los resultados matemáticos detallados y precisos pueden considerarse verdaderos, independientemente de la estructura del Universo en el que vivimos. Por ejemplo, argumentan que la teoría de los números naturales se justifica de tal manera que no requiere fundamentalmente un contexto específico de consideración. Los más radicales atribuyen la verdad absoluta a la belleza matemática, gravitando así hacia el misticismo.

Los pitagóricos creían en la realidad literal de los números. Por lo tanto, el descubrimiento de los números irracionales se volvió aún más sorprendente para ellos, ya que percibieron la posibilidad de una relación entre dos números naturales como evidencia de la imperfección de la naturaleza y era inexpresable: alogos (la cosmovisión pitagórica no decía nada sobre los límites de sucesiones infinitas de la razón de números naturales). Desde un punto de vista moderno, tal enfoque místico, que asumía la unidad e inseparabilidad de los números y los objetos geométricos, puede llamarse numerología .

En la filosofía de Platón , había dos mundos: el mundo de las cosas en el que vivimos, y el mundo de las ideas que son necesarias para la existencia del mundo real. El mundo de las ideas también incluía las ideas matemáticas.

El matemático húngaro Pal Erdős creía en la existencia de un libro imaginario en el que Dios registraba todas las demostraciones matemáticas más hermosas. Y cuando Erdős quiso expresar admiración por la prueba, exclamó: "¡Oh, esto es del Libro!"

El filósofo francés del siglo XX Alain Badiou argumenta que la ontología es de naturaleza matemática, ya que las matemáticas pueden concebir una multitud como tal, y el ser es una pluralidad impermanente.

Muy a menudo, los filósofos naturales y otros científicos que hacen un uso extensivo del método matemático han llegado a conclusiones infundadas sobre la conexión entre la belleza y la verdad, que posteriormente resultan ser erróneas. Por ejemplo, en una etapa de su vida, Johannes Kepler creía que las proporciones de las órbitas de los planetas del sistema solar conocidas en su época, estaban establecidas por Dios de acuerdo con la disposición concéntrica de los cinco sólidos platónicos de tal manera que cada una de las órbitas se ubicaba simultáneamente en una esfera descrita por un poliedro e inscrita como Siguiente.

Belleza y teoría matemática de la información

En la década de 1970, Abram Mol y Frieder Nake analizaron la relación entre la belleza, el procesamiento de la información y la teoría de la información. En la década de 1990, Jurgen Schmidhuber formuló una teoría matemática que depende del observador y su visión subjetiva de la belleza, basada en la teoría de la información algorítmica: los objetos más bellos entre los que parecen comparables al sujeto tienen descripciones algorítmicas cortas (es decir, complejidad de Kolmogorov ) , y se refieren a lo que el observador ya sabe. Al mismo tiempo, Schmidhuber traza una línea clara entre lo bello y lo interesante. Este último corresponde a la primera derivada de la belleza subjetivamente percibida: el observador está constantemente tratando de aumentar la previsibilidad y comprimir los datos observados, revelando patrones tales como repetición y simetría, autosimilitud fractal. Sin embargo, siempre que el proceso de aprendizaje del observador permita una mejor compresión de datos, es decir, la observación actual se puede describir en menos bits que la anterior, y el período de tiempo en el que el observador está interesado corresponde a la tasa de éxito de la compresión y es proporcional a la del observador. propia recompensa por su curiosidad, estamos hablando de interesante, no hermoso.

Véase también

Notas

  1. ↑ Russel, Bertrand . El estudio de las matemáticas // Misticismo y lógica: y otros ensayos . - Longman , 1919. - S. 60.
  2. ↑ Elisha Scott Loomis recopiló más de 360 ​​pruebas en su libro La hipótesis de Pitágoras ( ISBN 0-873-53036-5 ).
  3. ↑ Rota (1997), La fenomenología de la belleza matemática , p. 173 
  4. ↑ Gallagher, James . Matemáticas: por qué el cerebro ve las matemáticas como belleza  (13 de febrero de 2014). Archivado desde el original el 28 de enero de 2021. Consultado el 13 de febrero de 2014.
  5. ↑ Feynman, Richard P. The Feynman Lectures on Physics. - Addison-Wesley , 1977. - T. I. - S. 22-10. — ISBN 0-201-02010-6 .
  6. ↑ Hardy, GH 18 // La disculpa de un matemático.
  7. ↑ Rota (1997), La fenomenología de la belleza matemática , p. 172 
  8. ↑ Monastyrsky (2001), Algunas tendencias en matemáticas modernas y la medalla Fields 
  9. ↑ Lang, pág. 3
  10. ↑ Chandrasekhar, pág. 148
  11. ↑ Philips, George. Prefacio // Las matemáticas no son un deporte para espectadores. - Springer Science + Business Media , 2005. - ISBN 0-387-25528-1 .
  12. ↑ L. I. Lurie . Educación matemática en el espacio de la experiencia estética // Educación y Ciencia (Noticias de la Rama Ural de la Academia Rusa de Educación). - 2006. - Nº 6 (42). — A partir de 120.
  13. ↑ N is a number (película sobre Erdős con subtítulos en ruso . Consultado el 2 de octubre de 2017. Archivado el 22 de enero de 2021.
  14. ↑ Aigner M., Ziegler G. Evidencia del libro. La mejor evidencia desde la época de Euclides hasta nuestros días. M.: Mir, 2006. 256 p., il. ISBN 5-03-003690-3

Literatura

Enlaces