Matemáticas

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Las matemáticas ( griego antiguo μᾰθημᾰτικά [1] < μάθημα "estudio; ciencia") es una ciencia exacta ( formal ) [2] que originalmente estudiaba las relaciones cuantitativas y las formas espaciales [3] . En un sentido más moderno, se trata de la ciencia de las relaciones entre objetos , de la que nada se sabe, salvo algunas propiedades que los describen, precisamente aquellas que se ponen como axiomas en la base de una u otra teoría matemática [4] .

Las matemáticas se han desarrollado históricamente sobre la base de las operaciones de contar, medir y describir la forma de los objetos [5] . Los objetos matemáticos se crean idealizando las propiedades de objetos reales u otros objetos matemáticos y escribiendo estas propiedades en un lenguaje formal .

Las matemáticas no pertenecen a las ciencias naturales , pero son muy utilizadas en ellas tanto para la formulación precisa de sus contenidos como para la obtención de nuevos resultados. Es una ciencia fundamental , que proporciona medios lingüísticos (comunes) a otras ciencias; así, revela su relación estructural y contribuye a encontrar las leyes más generales de la naturaleza [6] .

Información básica

Las propiedades idealizadas de los objetos en estudio se formulan como axiomas o se enumeran en la definición de los objetos matemáticos correspondientes. Luego, de acuerdo con estrictas reglas de inferencia, se deducen otras propiedades verdaderas ( teoremas ) de estas propiedades. Esta teoría en conjunto forma un modelo matemático del objeto bajo estudio. Así, inicialmente basadas en relaciones espaciales y cuantitativas, las matemáticas reciben relaciones más abstractas, cuyo estudio es también objeto de las matemáticas modernas [7] .

Tradicionalmente, las matemáticas se dividen en teóricas, que realizan un análisis en profundidad de las estructuras intramatemáticas, y aplicadas , que aportan sus modelos a otras ciencias y disciplinas de la ingeniería, y algunas de ellas ocupan una posición limítrofe con las matemáticas. En particular, la lógica formal puede considerarse tanto como parte de las ciencias filosóficas como parte de las ciencias matemáticas; mecánica , tanto física como matemática; informática , tecnología informática y algorítmica se refieren tanto a la ingeniería como a las ciencias matemáticas, etc.

Etimología

La palabra "matemáticas" proviene de otro griego. μάθημα , que significa "estudio, conocimiento, ciencia", etc. Griego. μαθηματικός , originalmente significando "receptivo, exitoso" [8] , más tarde - "relacionado con el estudio", luego convirtiéndose en "relacionado con las matemáticas". En particular, μαθηματικὴ τέχνη , en latín - ars mathematica , significa "el arte de las matemáticas". El término otro griego. μᾰθημᾰτικά en el sentido moderno de la palabra "matemáticas" ya se encuentra en los escritos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Según Fasmer , la palabra llegó al idioma ruso a través del polaco. matematyka , o a través de lat. matematica [9] .

En los textos en ruso, la palabra "matemáticas", o mathematica , se encuentra al menos desde el siglo XVII, por ejemplo, en "El libro de seleccionados brevemente sobre las nueve musas y las siete artes libres" de Nikolai Spafariy ( 1672) [10] .

Definiciones

Aristóteles definió las matemáticas como "la ciencia de la cantidad", y esta definición prevaleció hasta el siglo XVIII.

Una de las primeras definiciones del objeto de las matemáticas fue dada por Descartes [11] :

El campo de las matemáticas incluye sólo aquellas ciencias en las que se considera orden o medida, y no importa en absoluto si se trata de números, figuras, estrellas, sonidos o cualquier otra cosa en la que se busque esta medida. Por lo tanto, debe haber alguna ciencia general que explique todo lo relacionado con el orden y la medida, sin entrar en el estudio de ninguna materia particular, y esta ciencia debe ser llamada no por el extranjero, sino por el antiguo nombre ya común de Matemáticas Generales.

Texto original (lat.)[ mostrarocultar] …illa omnia tantum, in quibus ordo vel mensura examinatur, ad Mathesim referri, nec interesse utrum in numeris, vel figuris, vel astris, vel sonis, aliove quovis obiecto talis mensura quaerenda sit; ac proinde generalem quamdam esse debere scientiam, quae id omne explicet, quod circa ordinem et mensuram nulli speciali materiae addicta quaeri potest, eamdemque, non ascititio vocabulo, sed iam inveterato atque usu recepto, Mathesim universalim nominari [12] .

En la época soviética, la definición de TSB [13] :464 dada por A. N. Kolmogorov se consideraba clásica :

Matemáticas... la ciencia de las relaciones cuantitativas y las formas espaciales del mundo real.

Esta es la definición de Engels [14] ; sin embargo, Kolmogorov explica además que todos los términos utilizados deben entenderse en el sentido más amplio y abstracto [13] :476,477 .

Formulación de Bourbaki [4] :

La esencia de las matemáticas... se presenta ahora como una doctrina de relaciones entre objetos, de la que nada se sabe, salvo ciertas propiedades que los describen -precisamente aquellas que se ponen como axiomas en la base de la teoría... Matemáticas es un conjunto de formas abstractas - estructuras matemáticas.

Hermann Weyl se mostró pesimista sobre la oportunidad de dar una definición generalmente aceptada del tema de las matemáticas:

La cuestión de los fundamentos de las matemáticas y de qué son las matemáticas en última instancia permanece abierta. No conocemos ninguna dirección que eventualmente nos permita encontrar una respuesta definitiva a esta pregunta, y si podemos siquiera esperar que tal respuesta "final" sea alguna vez recibida y aceptada por todos los matemáticos.

La "matematización" puede seguir siendo una de las manifestaciones de la actividad creadora humana, como la creación musical o la creatividad literaria, brillante y original, pero la previsión de sus destinos históricos no puede ser racionalizada ni objetiva [15] .

ramas de las matematicas

1. Las matemáticas como disciplina académica se subdividen en la Federación Rusa en matemáticas elementales , estudiadas en la escuela secundaria y formadas por las siguientes disciplinas:

aritmética
álgebra elemental
geometría elemental : planimetría y geometría sólida
teoría de funciones elementales y elementos de análisis

y matemáticas superiores , cursadas en especialidades no matemáticas de las universidades. Las disciplinas que componen las matemáticas superiores varían según la especialidad.

El plan de estudios en la especialidad de matemáticas [16] está formado por las siguientes disciplinas académicas:

Análisis matemático
Álgebra
Geometría analítica
Álgebra lineal y geometría
Matemáticas discretas
lógica matemática
Ecuaciones diferenciales
Geometría diferencial
Topología
Análisis funcional y ecuaciones integrales
Teoría de funciones de variable compleja
Ecuaciones diferenciales parciales (Métodos de física matemática se leen a los físicos en lugar de este curso )
Teoría de probabilidad
Estadísticas matemáticas
Teoría de los procesos aleatorios
Cálculo de variaciones y métodos de optimización
Métodos de cálculo, es decir, métodos numéricos
teoría de los números

2. Las matemáticas como especialidad de los científicos del Ministerio de Educación y Ciencia de la Federación Rusa [17] se dividen en especialidades:

Análisis real , complejo y funcional
Ecuaciones diferenciales , sistemas dinámicos y control óptimo
física matemática
Geometría y topología
Teoría de la probabilidad y estadística matemática
Lógica matemática , álgebra y teoría de números
Matemáticas Computacionales
Matemática Discreta y Cibernética Matemática

3. Para la sistematización de trabajos científicos se utiliza la sección "Matemáticas" [18] de la clasificación decimal universal (UDC).

4. La American Mathematical Society ( AMS ) ha desarrollado su propio estándar para clasificar las ramas de las matemáticas. Se llama Clasificación de Materias Matemáticas . Esta norma se actualiza periódicamente. La versión actual es MSC 2020 . La versión anterior es MSC 2010 .

Notación

Dado que las matemáticas se ocupan de estructuras extremadamente diversas y bastante complejas, su notación también es muy compleja. El sistema moderno de escritura de fórmulas se formó sobre la base de la tradición algebraica europea, así como las necesidades de las secciones posteriores de las matemáticas: análisis matemático , lógica matemática , teoría de conjuntos , etc. La geometría ha utilizado una representación visual (geométrica) desde el tiempo. inmemorial. Las notaciones gráficas complejas (como los diagramas conmutativos ) también son comunes en las matemáticas modernas y, a menudo, también se usa la notación basada en gráficos .

Cuento

El académico A. N. Kolmogorov propuso la siguiente estructura de la historia de las matemáticas:

El período del nacimiento de las matemáticas, durante el cual se acumuló una cantidad bastante grande de material fáctico;
El período de las matemáticas elementales, que comienza en los siglos VI - V antes de Cristo. mi. y finalizando a finales del siglo XVI (“El acervo de conceptos con que se ocupaban las matemáticas antes de principios del siglo XVII constituye hasta el día de hoy la base de las “matemáticas elementales” que se enseñan en las escuelas primarias y secundarias”);
El período de las matemáticas de las variables, que abarca los siglos XVII - XVIII , "que también puede llamarse convencionalmente el período de las 'matemáticas superiores'";
El período de las matemáticas modernas - matemáticas de los siglos XIX y XX , durante el cual los matemáticos tuvieron que "tratar conscientemente el proceso de ampliar el tema de la investigación matemática, fijándose la tarea de estudiar sistemáticamente los posibles tipos de relaciones cuantitativas y formas espaciales desde un punto de vista razonable". punto de vista general”.

El desarrollo de las matemáticas comenzó con el hecho de que el hombre empezó a utilizar abstracciones de cualquier nivel elevado. Abstracción simple: números ; comprender que dos manzanas y dos naranjas, a pesar de todas sus diferencias, tienen algo en común, a saber, ocupan ambas manos de una persona, es un logro cualitativo del pensamiento humano. Además de aprender a contar objetos concretos, los antiguos también entendieron cómo calcular cantidades abstractas, como el tiempo : días , estaciones , años . A partir de una cuenta elemental, la aritmética comenzó a desarrollarse naturalmente : suma , resta , multiplicación y división de números.

El desarrollo de las matemáticas se basa en la escritura y la capacidad de escribir números. Probablemente, los pueblos antiguos expresaron primero la cantidad dibujando líneas en el suelo o rascándolas en la madera. Los antiguos Incas , al no tener otro sistema de escritura, representaban y almacenaban datos numéricos mediante un complejo sistema de nudos de cuerda, los llamados quipu . Había muchos sistemas numéricos diferentes . Los primeros registros conocidos de números se encontraron en el Papiro de Ahmes , producido por los egipcios del Reino Medio . La civilización india desarrolló el sistema numérico decimal moderno , incorporando el concepto de cero .

Históricamente, las grandes disciplinas matemáticas surgieron bajo la influencia de la necesidad de realizar cálculos en el ámbito comercial, en la medición del terreno y para la predicción de fenómenos astronómicos y, posteriormente, para la resolución de nuevos problemas físicos. Cada una de estas áreas juega un papel importante en el amplio desarrollo de las matemáticas, que consiste en el estudio de estructuras , espacios y cambios.

filosofia de las matematicas

Objetivos y Métodos

Las matemáticas estudian los objetos imaginarios, ideales y las relaciones entre ellos utilizando un lenguaje formal. En general, los conceptos y teoremas matemáticos no corresponden necesariamente a nada en el mundo físico. La tarea principal de la sección de matemáticas aplicadas es crear un modelo matemático que sea lo suficientemente adecuado para el objeto real en estudio. La tarea del matemático teórico es proporcionar un conjunto suficiente de medios convenientes para lograr este objetivo.

El contenido de las matemáticas se puede definir como un sistema de modelos matemáticos y herramientas para su creación. El modelo de objetos no tiene en cuenta todas sus características, sino solo las más necesarias para los fines del estudio (idealizadas). Por ejemplo, cuando estudiamos las propiedades físicas de una naranja, podemos abstraernos de su color y sabor y representarla (aunque no con total precisión) como una bola. Si necesitamos entender cuántas naranjas obtenemos si sumamos dos y tres, entonces podemos abstraernos de la forma, dejando el modelo con una sola característica: la cantidad. La abstracción y el establecimiento de relaciones entre objetos en la forma más general es una de las direcciones principales de la creatividad matemática.

Otra dirección, junto con la abstracción, es la generalización . Por ejemplo, generalizando el concepto de " espacio " a un espacio de n-dimensiones. “ El espacio en es una ficción matemática. Sin embargo, un invento muy ingenioso, que ayuda a comprender matemáticamente fenómenos complejos $\mathbb{R} ^{n}$ $n>3$ ” [19] .

El estudio de los objetos intramatemáticos, por regla general, ocurre utilizando el método axiomático : primero, para los objetos en estudio, se formula una lista de conceptos básicos y axiomas , y luego se obtienen teoremas significativos de los axiomas utilizando reglas de inferencia , que juntos forman un modelo matemático.

Cimientos

La cuestión de la esencia y los fundamentos de las matemáticas ha sido discutida desde la época de Platón . Desde el siglo XX , ha habido un acuerdo comparativo sobre lo que debe considerarse una prueba matemática rigurosa , pero no ha habido acuerdo sobre lo que se considera verdadero en matemáticas. Esto da lugar a desacuerdos tanto en cuestiones de axiomática y la interconexión de las ramas de las matemáticas, y en la elección de los sistemas lógicos , que deben utilizarse en las demostraciones.

Además de los escépticos, se conocen los siguientes enfoques sobre este tema.

Enfoque de teoría de conjuntos

Se propone considerar todos los objetos matemáticos en el marco de la teoría de conjuntos, la mayoría de las veces con la axiomática de Zermelo-Fraenkel (aunque hay muchas otras que son equivalentes a ella). Este enfoque se ha considerado imperante desde mediados del siglo XX, sin embargo, en realidad, la mayoría de los trabajos matemáticos no se dan a la tarea de traducir sus enunciados estrictamente al lenguaje de la teoría de conjuntos, sino que operan con conceptos y hechos establecidos en algunas áreas. de las matemáticas Así, si se encuentra una contradicción en la teoría de conjuntos, esto no supondrá la invalidación de la mayoría de los resultados.

logicismo

Este enfoque asume una tipificación estricta de los objetos matemáticos. Muchas paradojas evitadas en la teoría de conjuntos solo mediante trucos especiales resultan ser imposibles en principio.

Formalismo

Este enfoque implica el estudio de sistemas formales basados en la lógica clásica .

intuicionismo

El intuicionismo presupone en el fundamento de las matemáticas la lógica intuicionista , que es más limitada en los medios de prueba (pero, como se cree, también más fiable). El intuicionismo rechaza la prueba por contradicción , muchas pruebas no constructivas se vuelven imposibles y muchos problemas en la teoría de conjuntos se vuelven sin sentido (no formalizables).

matemáticas constructivas

La matemática constructiva es una corriente de las matemáticas cercana al intuicionismo que estudia las construcciones constructivas.[ aclarar ] . Según el criterio de constructibilidad - " existir significa ser construido " [20] . El criterio de constructividad es un requisito más fuerte que el criterio de consistencia [21] .

Temas principales

número (número)

La sección principal que se ocupa de la abstracción de la cantidad es el álgebra . El concepto de "número" se originó originalmente a partir de representaciones aritméticas y se refería a los números naturales . Más tarde, con la ayuda del álgebra, se extendió gradualmente a números enteros , racionales , reales , complejos y otros.

1,\;2,\;\l puntos

enteros

0,\;1,\;-1,\;\l puntos

Números enteros

1,\;-1,\;{\frac {1}{2)),\;{\frac {2}{3)),\;0{,}12,\;\ldots

Numeros racionales

1,\;-1,\;{\frac {1}{2)),\;0{,}12,\;\pi ,\;{\sqrt {2)),\;\ldots

Numeros reales

-1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ ldots

1,\;i,\;j,\;k,\;\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\puntos

Números complejos

cuaterniones

Números - Números naturales - Números enteros - Números racionales - Números irracionales - Números algebraicos - Números trascendentales - Números reales - Números complejos - Números hipercomplejos - Cuaterniones - Octoniones - Sedeniones - Números hiperreales - Números surrealistas - p - Números ádicos - Constantes matemáticas - Nombres Números - Infinito - Bases

Sistemas numéricos
Conjuntos contables	Números naturales ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Enteros ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebraico ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Períodos Calculable Aritmética
Números reales y sus extensiones.	reales ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complejo ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaterniones ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Números de Cayley (octavas, octoniones) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedeniones ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniones Doble Hipercomplejo superrealista hipermaterial surrealista
Herramientas de extensión numérica	procedimiento de Cayley-Dixon teorema de frobenius teorema de Hurwitz
Otros sistemas numéricos	Numeros cardinales Números ordinales (transfinitos, ordinales) p-ádico Números sobrenaturales números de intervalo
ver también	números dobles Numeros irracionales numeros trascendentales haz de números bicuaternión

Transformaciones

Los fenómenos de transformaciones y cambios son considerados en la forma más general por análisis .

$36\div 9=4$			$\int 1_{S}\,d\mu =\mu (S)$
Aritmética	Cálculo diferencial e integral	Análisis vectorial	Análisis
${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y={\frac {d}{dx}}y+c$
Ecuaciones diferenciales	Sistemas dinámicos	Teoría del caos

Aritmética — Análisis vectorial — Análisis — Teoría de la medida — Ecuaciones diferenciales — Sistemas dinámicos — Teoría del caos

estructuras

Teoría de conjuntos - Álgebra lineal - Álgebra general (incluye, en particular, teoría de grupos , álgebra universal , teoría de categorías ) - Geometría algebraica - Teoría de números - Topología .

Relaciones espaciales

Los fundamentos de las relaciones espaciales son considerados por la geometría . La trigonometría considera las propiedades de las funciones trigonométricas . El estudio de los objetos geométricos a través del análisis matemático se ocupa de la geometría diferencial . Las propiedades de los espacios que permanecen inalterables bajo deformaciones continuas y el fenómeno mismo de la continuidad son estudiados por la topología .


Geometría	Trigonometría	Geometría diferencial	Topología	fractales	teoría de la medida

Geometría - Trigonometría - Geometría algebraica - Topología - Geometría diferencial - Topología algebraica - Álgebra lineal - Fractales - Teoría de la medida .

Matemáticas discretas

Las matemáticas discretas incluyen medios para estudiar objetos que solo pueden tomar valores separados (discretos) (es decir, objetos que no pueden cambiar suavemente) [22] .

$\forall x(P(x)\Rightarrow P(x'))$
lógica matemática	teoría de la computabilidad	Criptografía	Teoría de grafos

Combinatoria - Teoría de Conjuntos - Teoría de Redes - Lógica Matemática - Teoría de Computabilidad - Criptografía - Teoría de Sistemas Funcionales - Teoría de Grafos - Teoría de Algoritmos - Cálculo Lógico - Informática .

Premios

El premio más prestigioso por logros en matemáticas, a veces denominado "Premio Nobel para matemáticos", es la Medalla Fields , fundada en 1924 y otorgada cada cuatro años, junto con un premio en efectivo de 15.000 dólares canadienses . En la ceremonia de apertura del Congreso Internacional de Matemáticos, se anuncian los nombres de los ganadores de cuatro premios por logros en matemáticas:

Premio Campos.
Premio Nevanlinna , desde 1982
Premio Gauss , desde 2006.
Premio Chern , desde 2010.

Además, desde 2010, en la ceremonia de clausura del congreso se entrega el Premio Lilavati a la divulgación de las matemáticas.

En 2000, el Clay Mathematical Institute anunció una lista de siete problemas matemáticos , cada uno con un premio de $1 millón [23] .

Códigos en los sistemas de clasificación del conocimiento

CDU 51
Rubricador estatal de información científica y técnica (GRNTI) (a partir de 2001): 27 [24]
BBK V1 o 22.1
Clasificación de materias matemáticas

Servicios en línea

Hay una gran cantidad de sitios que brindan servicios para cálculos matemáticos. La mayoría de ellos están en inglés [25] .

Software

El software matemático es multifacético:

Paquetes enfocados a la digitación de textos matemáticos y su posterior maquetación ( TeX ).
Paquetes enfocados a la resolución de problemas matemáticos, modelado numérico y trazado ( GNU Octave , Maple , Mathcad , MATLAB , Scilab ).
hojas de calculo
Programas o paquetes de software separados que utilizan activamente métodos matemáticos ( calculadoras , archivadores, protocolos de cifrado/descifrado, sistemas de reconocimiento de imágenes, codificación de audio y video).

software matemático
Cálculos simbólicos	Axioma brecha arce Mathcad Matemática Máxima Reducir Sabio Estudio de matemáticas Yacas
Cálculos numéricos	Fityk FreeMat GAUSS Octava GNU gnuplot gretl julia diagrama de laboratorio LabVIEW Parcela Mágica MATLAB Origen QtiPlot R SciDAVis Scilab gráfico sigma habla fácil VisSim

Sistemas de álgebra computacional
Propiedad	administrador de panel de clase matemáticas en vivo Magma arce Mathcad Matemática MuPAD TI Interactivo!
Libre	Axioma Cacao brecha GiNaC Macaulay2 matemático Máxima axioma abierto PARI/GP Reducir Sabio SINGULAR simpatía xca Yacas
Gratis/shareware	Estudio de matemáticas Fermat KANT
No soportado	CAMAL Derivar macsima muMATEMÁTICAS

ver también

Congreso Internacional de Matemáticos
problemas matematicos abiertos
filosofia de las matematicas
(454) Mathesis es un asteroide llamado así por las matemáticas.

divulgadores de la ciencia

notas

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Bobrov S. P. bicornio mágico . - M. : Literatura infantil, 1967. - 496 p.
Dudeney G. E. Canterbury rompecabezas; 200 rompecabezas famosos del mundo; Quinientos veinte rompecabezas.
Carroll L. Historia con nudos; juego de logica
Townsend Charles Barry. Rompecabezas de estrellas; Los rompecabezas más divertidos; Los rompecabezas más difíciles de revistas antiguas.
Perelman Ya. I. Matemáticas entretenidas.

Enlaces

diccionarios y enciclopedias

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