Valor esperado

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La expectativa matemática es un concepto en la teoría de la probabilidad , lo que significa el valor promedio (ponderado por las probabilidades de los valores posibles) de una variable aleatoria [1] . En el caso de una variable aleatoria continua, la densidad de ponderación está implícita (ver más abajo para definiciones más rigurosas). La expectativa matemática de un vector aleatorio es igual a un vector cuyos componentes son iguales a las expectativas matemáticas de los componentes del vector aleatorio.

Indicado por [2] (por ejemplo, del inglés Expected value o del alemán Erwartungswert ); en la literatura en idioma ruso, también se encuentra una designación (posiblemente del valor medio inglés o Mittelwert alemán , y posiblemente de "expectativa matemática"). En estadística, la notación se usa a menudo . ${\ matemáticas {E}} [X]$ $M[X]$ $\mu$

Para una variable aleatoria que toma valores de solo 0 o 1, la expectativa matemática es igual a p , la probabilidad de "uno". La expectativa matemática de la suma de tales variables aleatorias es np , donde n es el número de tales variables aleatorias. En este caso, las probabilidades de aparición de un determinado número de unidades se calculan según la distribución binomial . Por lo tanto, en la literatura, lo más probable es que sea más fácil encontrar un registro que se aparee. la expectativa de la distribución binomial es np [3] .

Algunas variables aleatorias no tienen un valor esperado, como las variables aleatorias que tienen una distribución de Cauchy .

En la práctica, la esperanza matemática suele estimarse como la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria (media muestral, media muestral). Se demuestra que bajo ciertas condiciones débiles (en particular, si la muestra es aleatoria, es decir, las observaciones son independientes), la media muestral tiende al verdadero valor de la expectativa matemática de una variable aleatoria cuando el tamaño de la muestra (el número de observaciones, pruebas, mediciones) tiende al infinito.

Definición

Definición general en términos de la integral de Lebesgue

Sea dado un espacio de probabilidad y una variable aleatoria definida en él . Es decir, por definición, es una función medible . Si hay una integral de Lebesgue sobre el espacio , entonces se llama expectativa matemática o valor promedio (esperado) y se denota o . $(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})$ $X$ $X\colon\Omega\to\mathbb {R}$ $X$ $\Omega$ $M[X]$ ${\ matemáticas {E}} [X]$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega )\,\mathbb {P} (d\omega ).

Definición a través de la función de distribución de una variable aleatoria

Si es la función de distribución de una variable aleatoria, entonces su expectativa matemática viene dada por la integral de Lebesgue-Stieltjes : $F_{X}(x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}\!x\,dF_{X}(x)

, .

x\in \mathbb {R}

Definición de una variable aleatoria absolutamente continua (a través de la densidad de distribución)

La esperanza matemática de una variable aleatoria absolutamente continua , cuya distribución viene dada por la densidad , es igual a $f_{X}(x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}\!xf_{X}(x)\,dx

Definición de una variable aleatoria discreta

Si es una variable aleatoria discreta con distribución $X$

\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i}

. .

\sum \limits _{i=1}^{\infty}p_{i}=1

entonces se sigue directamente de la definición de la integral de Lebesgue que

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{\infty}x_{i}\,p_{i))

. La expectativa matemática de un valor entero

Si es una variable aleatoria entera positiva (un caso especial de una discreta) con una distribución de probabilidad $X$

{\displaystyle \mathbb {P} (X=j)=p_{j))

. . .

j=0,1,\dotsc

\sum \limits _{j=0}^{\infty}p_{j}=1

entonces su expectativa matemática se puede expresar en términos de la función generadora de la secuencia $\{Pi}\}$

P(s)=\sum_{{k=0}}^{\infty}\;p_{k}s^{k}

como el valor de la primera derivada en la unidad: . Si la esperanza matemática es infinita, entonces escribiremos $\mathbb {E} [X]=P'(1)$ $X$ $\lim _{{s\to 1}}P'(s)=\infty$ $P'(1)=\mathbb {E} [X]=\infty$

Ahora tomamos la función generadora de la secuencia de "colas" de la distribución $Q$ $\{q_{k}\}$

q_{k}=\mathbb {P} (X>k)=\sum _{j=k+1}^{\infty}{p_{j))

Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty}q_{k}s^{k}.

Esta función generadora está relacionada con la función definida anteriormente por la propiedad: at . De esto, según el teorema del valor medio , se sigue que la expectativa matemática es simplemente el valor de esta función en la unidad: $PD)$ $Q(s)={\frac{1-P(s)}{1-s}}$ $|s|<1$

\mathbb {E} [X]=P'(1)=Q(1)

Expectativa matemática de un vector aleatorio

Sea un vector aleatorio. Entonces por definición $X=(X_{1},\dots,X_{n})^{{\top }}\colon \Omega \to {\mathbb {R}}^{n}$

\mathbb {E} [X]=(\mathbb {E} [X_{1}],\dots ,\mathbb {E} [X_{n}])^{\top }

es decir, la expectativa matemática de un vector se determina componente por componente.

Esperanza matemática de la transformación de una variable aleatoria

Sea una función de Borel tal que la variable aleatoria tiene una expectativa matemática finita. Entonces la fórmula es válida para ello. $g\colon {\mathbb {R}}\a {\mathbb {R}}$ $Y = g(X)$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\sum \limits _{i=1}^{\infty}g(x_{i})p_{i},

si tiene una distribución discreta; $X$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x)f_{X}(x)\,dx ,

si tiene una distribución absolutamente continua. $X$

Si la distribución de una variable aleatoria general , entonces $\mathbb{P} ^{X}$ $X$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}\!g(x)\,\mathbb {P} ^{X }(dx).

En el caso especial cuando , la esperanza matemática se llama momento ésimo de la variable aleatoria. ${\ Displaystyle g(X)=X^{k))$ $\mathbb {E} [g(X)]=\mathbb {E} [X^{k}]$ $k$

Propiedades de la esperanza matemática

La expectativa matemática de un número (no un valor fijo aleatorio, constante) es el número mismo.

{\ estilo de visualización \ mathbb {E} [a] = a}

a\in {\matemáticas {R}}

es una constante;

La expectativa matemática es lineal [4] , es decir

\mathbb {E} [aX+bY]=a\mathbb {E} [X]+b\mathbb {E} [Y]

, donde son variables aleatorias con expectativa matemática finita y son constantes arbitrarias;

X,Y

a,b\en \mathbb{R}

En particular, la expectativa matemática de la suma (diferencia) de variables aleatorias es igual a la suma (respectivamente, la diferencia) de sus expectativas matemáticas.

La esperanza matemática conserva las desigualdades, es decir, si casi con certeza , y es una variable aleatoria con una esperanza matemática finita, entonces la esperanza matemática de la variable aleatoria también es finita, y además $0\leqslant X\leqslant Y$ $Y$ $X$

0\leqslant \mathbb {E} [X]\leqslant \mathbb {E} [Y]

La expectativa matemática no depende del comportamiento de la variable aleatoria ante el evento de probabilidad cero, es decir, si es casi seguro , entonces $X=Y$

\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [Y]

La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes o no correlacionadas [5] es igual al producto de sus expectativas matemáticas $X,Y$

\mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\cdot \mathbb {E} [Y]

Desigualdades de expectativas

Desigualdad de Markov : para una variable aleatoria no negativa definida en un espacio de probabilidad con una expectativa matemática finita , se cumple la siguiente desigualdad: ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+))$ $(\Omega,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {E} (X)}$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (X)}{a))

, donde .

a>0

Desigualdad de Jensen para la expectativa matemática de una función convexa de una variable aleatoria. Sea un espacio de probabilidad, sea una variable aleatoria definida en él, sea una función de Borel convexa , tal que , entonces $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $\varphi \colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $X,\varphi (X)\en L^{1}(\Omega,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$

\varphi (\mathbb {E} (X))\leqslant \mathbb {E} (\varphi (X))

Teoremas relacionados con la expectativa

Teorema de Levy sobre la convergencia monótona .
Teorema de convergencia mayorizado de Lebesgue : Sea una secuencia de variables aleatorias que convergen casi en todas partes : . Supongamos, además, que existe una variable aleatoria integrable tal que casi con seguridad. Entonces las variables aleatorias son integrables y $X_{n}\a X$ $Y$ $\forall n\in \mathbb{N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ $X_{n},\;X$

\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n})=\mathbb {E} (X)

Identidad de Wald : para variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica , donde es una variable aleatoria entera positiva independiente de , siempre que y tenga una expectativa matemática finita, se cumplirá la siguiente igualdad: ${\ estilo de visualización X_ {1},..., X_ {N}}$ $norte$ $X_{yo}$ $X_{yo}$ $norte$

\mathbb {E} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\mathbb {E} (N)\mathbb {E} (X)

La expectativa matemática de una variable aleatoria es igual al valor de la primera derivada de su función generadora de momentos en el punto 0: $X$ $Gu)$

\mathbb {E} (X)=G'(0)

Ejemplos

Deje que la variable aleatoria tenga una distribución uniforme discreta , es decir, entonces su expectativa matemática $\mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n)),\;i=1,\ldots,n.$

\mathbb {E} [X]={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}

es igual a la media aritmética de todos los valores recibidos.

Deje que una variable aleatoria tenga una distribución uniforme continua en el intervalo , donde . Entonces su densidad tiene la forma y la expectativa matemática es igual a $[a,b]$ $a<b$ $f_{X}(x)={\frac {1}{ba}}\mathbf {1} _{[a,b]}(x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{a}^{b}\!{\frac {x}{ba}}\,dx={\frac {a+b}{2 }}

Deje que la variable aleatoria tenga la distribución estándar de Cauchy . Después $X$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx=\infty

es decir, la esperanza matemática no está definida. $X$

Véase también

Notas

↑ " Enciclopedia Matemática " / Editor Jefe I. M. Vinogradov. - M. : "Enciclopedia soviética", 1979. - 1104 p. - (51 [03] M34). - 148.800 ejemplares.
↑ A. N. Shiryaev. 1 // "Probabilidad". - M. : MTSNMO, 2007. - 968 p. - ISBN 978-5-94057-036-3 , 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.
↑ VE Gmurman. La segunda parte. variables aleatorias. -> Capítulo 4. Variables aleatorias discretas. -> Párrafo 3. // [ http://elenagavrile.narod.ru/ms/gmurman.pdf UNA GUÍA PARA RESOLVER PROBLEMAS EN TEORÍA DE LA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA MATEMÁTICA]. - 1979. - S. 63. - 400 p. Archivado el 21 de enero de 2022 en Wayback Machine .
↑ Pytiev Yu. P. , Shishmarev I. A., Teoría de la probabilidad, estadística matemática y elementos de la teoría de la posibilidad para físicos. - M .: Facultad de Física de la Universidad Estatal de Moscú, 2010.
↑ Teoría de la probabilidad: 10.2. Teoremas sobre Características Numéricas . sernam.ru. Consultado el 10 de enero de 2018. Archivado desde el original el 10 de enero de 2018. (indefinido)

Literatura

Feller W. Capítulo XI. valores enteros. Funciones generadoras // Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones = Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, Volumen I segunda edición / Traducido del inglés. R. L. Dobrushin, A. A. Yushkevich, S. A. Molchanov Ed. E. B. Dynkina con prefacio de A. N. Kolmogorov. - 2ª ed. - M. : Mir, 1964. - S. 270-272.

Enlaces

Esperanza matemática y sus propiedades en http://www.toehelp.ru

diccionarios y enciclopedias	gran ruso Gran soviet (1 ed.) Britannica (en línea) Ucrania moderna
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4152930-3

Significar
Matemáticas	Potencia media ( ponderada ) Significado armonico ponderado significado geometrico ponderado Promedio ponderado media cuadrática cúbico promedio media móvil Media aritmético-geométrica Función Media media de Kolmogorov
Geometría	centro geométrico Baricentro
Teoría de la probabilidad y estadística matemática	Media Winsorizada muestra promedio Valor esperado Mediana Moda Desviación Estándar Media truncada expectativa condicional
Tecnologías de la información	medoide método de k-mediana
teoremas	Primer teorema de la media Segundo teorema de la media Desigualdad sobre la media aritmética, geométrica y armónica
Otro	Métricas del centro de distribución