Pantalla multivalor
El mapeo multivaluado es un tipo de concepto matemático de mapeo ( función ). Sean y sean conjuntos arbitrarios, y sea la colección de todos los subconjuntos del conjunto . Un mapeo multivaluado de un conjunto a es cualquier mapeo.
Por lo general , el dominio de un mapeo multivaluado es el subconjunto , y el dominio de los valores es el espacio que consiste en subconjuntos compactos no vacíos del conjunto , es decir










- Ejemplo 1. Sea . Al asignar un segmento a cada valor , obtenemos un mapeo de múltiples valores


![{\ estilo de visualización [-|x|,\,|x|],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9e49698ce5ce9c2fa313936378c3ecb265b287)

- Ejemplo 2. Sea una función continua. Poniendo y asignando a cada valor un conjunto, obtenemos un mapeo multivaluado
![{\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de6d0d4c98d4ca7ad937c772dc3e3e914b062f5)
![{\displaystyle X=[\min f,+\infty]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83d5f574f03e84662bb41dd257624f3e549f489f)
![{\ estilo de visualización Y = [0,1].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced91ca92ca3d05fdd7a42ace0a36eee390abc34)

![{\displaystyle M(x)=\{y\in [0,1]:f(y)\leq x\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6a92eb5a27cd37f5c19277f482b5fea5a93883)

Las asignaciones multivaluadas encuentran aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas: análisis no suave y convexo, teoría de ecuaciones diferenciales, teoría de control , teoría de juegos y economía matemática .
Definiciones y propiedades relacionadas
- El espacio es métrico con la métrica de Hausdorff . Esto nos permite introducir la noción de un mapeo continuo de valores fijos.

- Considerando para cada una la función soporte del conjunto, obtenemos una función real de dos argumentos: y , donde el asterisco significa el espacio dual .




- Un mapeo de valores fijos es continuo si y solo si su función de soporte es variable continua para cada fijo .




- Se dice que un mapeo multivaluado es medible si su función de soporte es medible con respecto a la variable para cada fijo .


- Una rama inequívoca o un selector de mapeo multivaluado es una función tal que para cualquier




- Lema de Filippov : cada mapeo medible de valores establecidos tiene un selector medible. El lema de Filippov tiene numerosas aplicaciones. En particular, permite establecer la existencia de un control óptimo para una amplia clase de problemas en la teoría de sistemas controlados .
- Una aplicación con valores de conjunto se denomina semicontinua superior (por inclusión) en un punto si para cualquier vecindad del conjunto (denotado por ) existe tal vecindad del punto (denotemos con ) que para cualquier aplicación con valores de conjunto es llamada semicontinua superior (por inclusión) si es semicontinua superior en cada punto Una aplicación multivaluada continua (definida por la métrica de Hausdorff) es semicontinua superior.










- Teorema de Kakutani : Sea un subconjunto no vacío, compacto, convexo y un mapeo de valores establecidosque tiene conjuntos compactos y convexos como sus valores y es semicontinuo superior por inclusión. Entonces, el mapeotiene un punto fijo, es decir, el teorema de Kakutani tiene numerosas aplicaciones en la teoría de juegos . En particular, puede usarse para probar fácilmente un resultado fundamental de la teoría de juegos, el teorema de Nash sobre la existencia de un equilibrio en un juego no cooperativo.




Véase también
Literatura
- Borisovich Yu. G., Gelman B. D., Myshkis A. D., Obukhovskiy V. V. Introducción a la teoría de aplicaciones multivaluadas e inclusiones diferenciales, — Cualquier edición.
- Blagodatskikh V. I. Introducción al Control Óptimo, Escuela Superior, Moscú, 2001.
- Blagodatskikh V. I., Filippov A. F. Inclusiones diferenciales y control óptimo , — Tr. MIAN, volumen 169 (1985).
- Ioffe A. D., Tikhomirov V. M. Teoría de problemas extremos, Fizmatlit, Moscú, 1974.
- Pshenichny B. N. Análisis convexo y problemas extremos, Nauka, Moscú, 1980.
- Vorobyov N. N. Fundamentos de la teoría de juegos. Juegos no cooperativos, Nauka, Moscú, 1984.