Observador (sistemas dinámicos)

El observador de estado es un modelo conectado en paralelo al objeto de control y que recibe información continua sobre los cambios en la acción de control y el valor de control.

Cuando se usa un observador, no se agregan nuevos canales de información al sistema, solo se introduce un dispositivo correctivo en el controlador, como resultado de lo cual se forma un nuevo controlador que funciona en un sistema convencional de bucle único.

Clasificación de los observadores

Medición:
- Medidores de posición indirecta;
- Medidores de error de orientación (adaptativos);
Basado en modelos de proceso:
- no adaptativo
- Adaptado
Basado en el filtro de Kalman. [una]

Medidores de posición indirecta

Estos observadores se utilizan en unidades sin sensores. Para medir la posición del rotor, utilizan la falta de homogeneidad magnética de las propiedades del motor. Por ejemplo, la asimetría de los devanados o la heterogeneidad de la permeabilidad magnética.

Medidores de error de orientación

Estos observadores se utilizan en unidades sin sensores. Determinan la posición del sistema de coordenadas giratorio utilizando las señales internas del sistema de control, que dependen del error de su orientación. Se les puede llamar adaptativos, ya que reducen el error de orientación a cero. La posición del sistema de coordenadas de rotación se utiliza para estimar la velocidad del rotor.

Observadores basados en el filtro de Kalman

Este observador es una especie de filtro digital cuyo algoritmo se construye teniendo en cuenta las leyes de la estadística matemática. Le permite restaurar un parámetro desconocido, mientras minimiza la influencia de la interferencia en la medición de valores conocidos.

El observador basado en el filtro de Kalman se caracteriza por la complejidad del algoritmo computacional y teóricamente debería permitir obtener una alta precisión de observación. En la práctica, los parámetros del sistema no se conocen exactamente y, además, pueden cambiar y cambian durante el funcionamiento. Esto limita la precisión y el rango de uso del observador aparentemente ideal. [una]

Sistema

{\dot {q}}(t)=Fq(t)+Gy(t)+Hu(t)

(una)

{\ estilo de visualización z (t) = Kq (t) + Ly (t) + Mu (t)}

(2)

es un observador del sistema

{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)

(3) ,

{\ estilo de visualización y (t) = Cx (t)}

(4) ,

si para cada estado inicial del sistema (3)-(4) hay un estado inicial para el sistema (1)-(2), tal que la igualdad conduce a bajo todos los controles . ${\ estilo de visualización x (t_ {0})}$ $q_{0}$ ${\ Displaystyle q (t_ {0}) = q_ {0))$ ${\displaystyle z(t)=x(t),t\geq t_{0))$ ${\displaystyle u(t),t\geq t_{0))$

Aquí , son matrices de la dimensión correspondiente. ${\ estilo de visualización A, B, C, F, G, H, K, L, M}$

Si la dimensión es igual a la dimensión y el cumplimiento de la condición da para todos los controles , entonces el sistema (1) se denomina observador de orden completo para el sistema (3)-(4). $q(t)$ $x(t)$ ${\ estilo de visualización q (t_ {0}) = x (t_ {0})}$ ${\displaystyle q(t)=x(t),t\geq t_{0))$ ${\displaystyle u(t),t\geq t_{0))$

El conjunto de ecuaciones diferenciales (3) describe el cambio en el tiempo del estado de algún sistema. El vector dimensional , llamado vector de estado , describe el estado de este sistema en el tiempo . El vector dimensional describe las acciones de control sobre el sistema y se denomina vector de control o simplemente control . $norte$ $x(t)$ $t$ $r$ $Utah)$

$yo$ -vector dimensional es una combinación lineal de variables de estado del sistema (3) que podemos medir. Por lo general se llama variable observable . $y(t)$ ${\ estilo de visualización l<n}$ $y(t)$

Teorema 1 . El sistema (1) es un observador de orden completo para el sistema (3)-(4) si y solo si , , , donde es una matriz variable en el tiempo arbitraria de la dimensión correspondiente. Como resultado, los observadores de orden completo tienen la siguiente estructura: $F(t)=A(t)-K(t)C(t)$ ${\ Displaystyle G (t) = K (t)}$ ${\ estilo de visualización H (t) = B (t)}$ ${\ estilo de visualización K (t)}$

{\dot {q}}(t)=A(t)q(t)+B(t)u(t)+K(t)[y(t)-C(t)q(t) ]

(5) .

La matriz se llama matriz de ganancia del observador . El observador de orden total también se puede representar como ${\ estilo de visualización K (t)}$

{\dot {q}}(t)=[A(t)-K(t)C(t)]q(t)+B(t)u(t)+K(t)y(t )

de donde se sigue que la estabilidad del observador está determinada por el comportamiento de la matriz

A(t)-K(t)C(t)

En el caso de un sistema con parámetros constantes, cuando todas las matrices del enunciado del problema son constantes, incluida la matriz de ganancia , la estabilidad del observador se deriva del arreglo de los números característicos de la matriz , llamados polos del observador . El observador será estable si todos sus polos están ubicados en la mitad izquierda del plano complejo. $k$ $A-KC$

Teorema 2 . Consideremos el observador de orden completo (5) para el sistema (3)-(4). Error de recuperación

{\ estilo de visualización e (t) = x (t) -q (t)}

satisface la ecuación diferencial

{\dot {e}}(t)=\left[A(t)-K(t)C(t)\right]e(t)

El error de recuperación tiene la propiedad de que

{\ estilo de visualización e (t) \ a 0}

t\to\infty

para todos si y sólo si el observador es asintóticamente estable. ${\ estilo de visualización e (t_ {0})}$

Cuanto más alejados estén los polos del observador en la mitad izquierda del semiplano complejo, más rápido convergerá a cero el error de reconstrucción. Esto se logra aumentando la matriz de ganancia , pero esto aumenta la sensibilidad del observador al ruido de medición que puede estar presente en la variable observada . $k$ $y(t)$

Véase también

Notas

↑ 1 2 Kalachev Yu.N. Observadores de estado en una unidad de vector. - EFO, 2015. - P. 6. - 61 p.