Cubierta

Una cobertura es un mapeo sobreyectivo continuo de un espacio conectado por caminos en un espacio conectado por caminos tal que cualquier punto tiene una vecindad cuya imagen inversa completa es la unión de áreas separadas por pares : $p:X\a Y$ $X$ $Y$ $y\en y$ $U\subconjunto Y$ $p^{{-1}}(T)$ $V_{k}\subconjunto X$

p^{{-1}}(U)=V_{1}\taza V_{2}\taza \puntos

además, en cada dominio, el mapeo es un homeomorfismo entre y . $V_{k}$ $p:\,V_{k}\a U$ $V_{k}$ $tu$

Formal definición

Un mapeo de un espacio conectado por caminos en un espacio conectado por caminos se llama cobertura si cualquier punto tiene un vecindario para el cual hay un homeomorfismo , donde es un espacio discreto tal que si denota una proyección natural, entonces $p:X\a Y$ $X$ $Y$ $y\en y$ $U\subconjunto Y$ $h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma$ $\Gama$ $\pi:U\times \Gamma\to U$

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h

Definiciones relacionadas

El espacio se llama base de la cubierta , y el espacio de la cubierta (o espacio de la cubierta ). $Y$ $X$
La imagen inversa de un punto se llama capa sobre el punto . $p^{{-1}}(y)$ $y\en y$ $y$
El número de áreas en la preimagen completa se denomina número de hojas . $V_{k}$ $p^{{-1}}(T)$
- Si este número es finito e igual a , entonces el revestimiento se llama
-en hojas . $norte$ $norte$

Una tapa se llama universal si para cualquier otra tapa existe una tapa tal que .

p\dos puntos {\tilde {Y}}\a Y

q\dos puntos X\a Y

s\colon {\tilde {Y}}\to X

p=q\circ s

Ejemplos

Denotemos el círculo unitario del plano complejo . $S^{1}$ $S^{1}=\{z\in {{\mathbb C}||z|=1}\}$
- $p:{{\mathbb R}}\to S^{1}$ , . $p:x\mapsto e^{{2\pi ix}}$
- $p:S^{1}\a S^{1}$ , , donde , . $p:z\mapsto z^{k}$ $k\neq 0$ $k\in {{\mathbb Z}}$

Propiedades

Los revestimientos son homeomorfismos locales.
Las cubiertas son un caso especial de paquetes localmente triviales . Se pueden considerar como fibraciones localmente triviales con una fibra discreta.
Todos los revestimientos dobles son regulares.
El cubrimiento universal es regular.

Conexión con el grupo fundamental

El recubrimiento se considera generalmente bajo el supuesto de que u es conexo y también localmente simplemente conexo . Bajo estos supuestos, se establece una conexión entre los grupos fundamentales y : si , entonces el homomorfismo inducido , se mapea isomorfamente a un subgrupo en y, cambiando el punto en , uno puede obtener exactamente todos los subgrupos de alguna clase de subgrupos conjugados. $X$ $Y$ $Y$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $p(x_{0})=y_{0}$ $p:\pi_{1}(X,x_{0})\a \pi_{1}(Y,y_{0})$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $x_{0}$ $p^{{-1}}(y_{0})$

Si esta clase consta de un subgrupo (es decir , un divisor normal ), entonces la cobertura se llama regular . En este caso surge una acción libre del grupo sobre , y resulta ser un mapeo factorial sobre el espacio de órbitas . En general, las acciones libres de grupos discretos son la fuente habitual de coberturas regulares (sobre el espacio de la órbita, aunque no todas estas acciones definen una cobertura, el espacio de la órbita puede resultar inseparable), pero esto es cierto para grupos finitos. Esta acción se genera al generar bucles: si un bucle , , está asociado con una ruta única para la cual y , entonces el punto dependerá solo de la clase de este bucle en y sobre el punto . Así, un elemento de corresponde a una permutación de puntos en . Esta permutación no tiene puntos fijos y depende continuamente del punto . Esto define un homeomorfismo que conmuta con . $H$ $H$ $G=\pi _{1}(Y,y_{0})/H$ $X$ $pags$ $Y$ $q:[0,1]\a Y$ $q(0)=q(1)=y_{0}$ ${\tilde q}:[0,1]\a X$ ${\tilde q}(0)=x_{0}$ $p{\tilde q}=q$ ${\tilde q}(1)$ $GRAMO$ $x_{0}$ $GRAMO$ $p^{{-1}}(y_{0})$ $y_0$ $X$ $pags$

En el caso general, esta construcción define sólo una permutación en , es decir, hay una acción sobre , llamada monodromía del revestimiento . Un caso especial de una cubierta regular es la cubierta universal para la cual o, de manera equivalente, X está simplemente conectado. $p^{{-1}}(y_{0})$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$ $p^{{-1}}(y_{0})$ $G=\pi_{1}(Y,y_{0})$

En general, para cada grupo se construye únicamente una cubierta para la cual existe una imagen . $H\subconjunto \pi _{1}(Y,y_{0})$ $p:X\a Y$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $H$

Para cualquier mapeo de un espacio conectado por caminos a un levantamiento a un mapeo existe si y solo si la imagen se encuentra en . Existe una relación de orden parcial entre coberturas (una cobertura de una cobertura es una cobertura), que es dual a la inclusión de subgrupos en . En particular, la cobertura universal es el único elemento máximo. $F$ $(Z,z_{0})$ $(Y,y_{0})$ ${\tilde f}:(Z,z_{0})\to (X,x_{0})$ $f(\pi _{1}(Z,z_{0}))$ $H$ $Y$ $\pi_{1}(Y,y_{0})$

Literatura

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometría moderna. Métodos y aplicaciones. — M.: Nauka, 1986.
Boltyansky VG , Efremovich VA Topología visual . - M .: Nauka, 1982. - (Biblioteca "Quantum", número 21).