Norma (matemáticas)

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Una norma es un funcional definido sobre un espacio vectorial y generalizando el concepto de longitud de un vector o el valor absoluto de un número .

Definición

Norma vectorial

Una norma en un espacio vectorial sobre un campo de números reales o complejos es un funcional con las siguientes propiedades: $V\$ $p\colon V\to \mathbb {R_{+}}$

$p(x)=0\Flecha derecha x=0_{V};$
$\para todo x,y\en V,p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$ ( desigualdad triangular );
$\forall \alpha \in \mathbb {C} ,\forall x\in V,p(\alpha \,x)=|\alpha |p(x).$

Estas condiciones son los axiomas de la norma .

Un espacio vectorial con una norma se denomina espacio normado y las condiciones (1–3) también se denominan axiomas de un espacio normado.

De los axiomas de la norma se sigue de manera obvia la propiedad de no negatividad de la norma:

$\forall x\in V,p(x)\geqslant 0$ .

En efecto, de la tercera propiedad se sigue: , y de la propiedad 2 - . $p(0_{V})=p(0\cdot 0_{V})=0\cdot p(0_{V})=0$ $\forall x\in V\colon 0=p(0_{V})=p(xx)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)$

Muy a menudo, la norma se denota en la forma :. En particular, es la norma de un elemento del espacio vectorial . $\|\cdot \|$ $\|x\|$ $X$ $\matemáticas {R}$

Un vector con norma unitaria se llama unitario o normalizado . ${\ estilo de visualización \ izquierda (\| x \ | = 1 \ derecha)}$

Cualquier vector distinto de cero puede normalizarse, es decir, dividirse por su propia norma: el vector tiene una norma unitaria. Desde un punto de vista geométrico, esto significa que tomamos un vector codireccional de longitud unitaria. $X$ ${\frac{x}{\|x\|}}$

Norma matricial

Una norma matricial es un número real que satisface las tres primeras de las siguientes condiciones: $A$ $\|A\|$

$\|A\|\geqslant 0$ , y solo para ; $\|A\|=0$ $A=0\$
$\|\alfa A\|=|\alfa |\cdot \|A\|$ , donde ; $\alpha \in \mathbb{R}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

Si también se cumple la cuarta propiedad, la norma se llama submultiplicativa . Se dice que una norma de matriz compuesta como una norma de operador está subordinada a la norma utilizada en espacios vectoriales. Obviamente, todas las normas de matrices subordinadas son submultiplicativas.

La norma matricial from se llama consistente con la norma vectorial from y la norma vectorial from si es verdadera: $\|\cdot \|_{{ab}}$ $K^{{m\veces n}}$ $\|\cdot \|_{{a}}$ $K^n$ $\|\cdot \|_{{b}}$ $K^{m}$

\|Ax\|_{b}\leqslant \|A\|_{{ab}}\|x\|_{a}

para todos $A\en K^{{m\veces n}},x\en K^{n}$

Operador norma

La norma del operador es el número , que se define de la siguiente manera: $A$

\|A\|=\sup _{{\|x\|=1}}\|Ax\|

, donde es un operador que actúa desde un espacio normado hacia un espacio normado .

A

L

k

Esta definición es equivalente a la siguiente:

\|A\|=\sup_{{x\neq 0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}

Propiedades de las normas del operador:

$\|A\|\geqslant 0$ , y solo para ; $\|A\|=0$ $A=0$
$\|\alfa A\|=|\alfa |\cdot \|A\|$ , donde ; $\alpha \in {\mathbb {R}}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

En el caso de dimensión finita , un operador en alguna base corresponde a una matriz, la matriz del operador. Si la norma sobre el(los) espacio(s) donde actúa el operador admite una de las expresiones estándar en la base, entonces las propiedades de la norma del operador repiten las propiedades similares de la norma matricial.

Propiedades de norma

$\|x\|-\|y\|\ \leqslant \|x\pm y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$
${{\bigl (}\|x\|-\|y\|{\bigr)}}^{2}\leqslant {\|x\pm y\|}^{2}\leqslant {{ \bigr (}\|x\|+\|y\|{\bigl)}}^{2}$
${\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|xy\|^{2}}{2\|x\|\|y\|}}\in [-1,1]$ [coseno del ángulo]
$\|0_{V}\|=\|xx\|=\|0x\|=0\cdot \|x\|=0$
$0=\|xx\|\leqslant \|x\|+\|-x\|=2\|x\|\Rightarrow \|x\|\geqslant 0$

Equivalencia de normas

Dos normas y sobre un espacio se llaman equivalentes si hay dos constantes positivas y tales que para cualquiera . Las normas equivalentes definen la misma topología en el espacio. En un espacio de dimensión finita, todas las normas son equivalentes [1] . $pags$ $q$ $V$ $C_{1}$ $C_{2}$ $x \en V$ $C_{1}p(x)\leqslant q(x)\leqslant C_{2}p(x)$

Ejemplos

Espacios lineales normados

Cualquier espacio pre-Hilbert puede considerarse normado , ya que el producto escalar genera una norma natural

\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle )),\quad x\in X.

Normas de Hölder de vectores -dimensionales (familia): , $norte$ $\|x\|_{p}={\left(\sum _{i}|x_{i}|^{p}\right)}^{\frac {1}{p))$

donde (normalmente se supone que es un número natural). En particular: $p\geqslant 1$

$\|x\|_{1}=\sum_{{i}}|x_{{i}}|$ , que también se denomina métrica L1 , norma $\ell _{1}$ o distancia de Manhattan . Para un vector, es la suma de los módulos de todos sus elementos.
$\|x\|_{2}={\raíz cuadrada {\sum _{{i}}|x_{{i}}|^{2}}}$ , que también se denomina métrica L2 , norma $\ell _{2}$ o norma euclidiana . Es la distancia geométrica entre dos puntos en un espacio multidimensional, calculada mediante el teorema de Pitágoras.
$\|x\|_{\infty}=\max |x_{{i}}|$ (este es un caso extremo ). $p\rightarrow\infty$

Las normas de funciones en el espacio de funciones continuas reales (o complejas) en el intervalo [0,1] : $C[0,1]$
- $\|f\|_{{C[0,1]}}=\sup _{{x\in [0,1]}}|f(x)|$ - en el sentido de esta norma, el espacio de funciones continuo sobre un segmento forma un
espacio lineal completo . No puede decirse lo mismo de los siguientes dos ejemplos de norma sobre este espacio, no obstante legítimos: $C[0,1]$
$\|f\|_{1}=\int \limits _{0}^{1}|f(t)|\,dt$
$\|f\|_{2}={\sqrt {\int \limits _{0}^{1}|f(t)|^{2}\,dt))$

De manera similar, podemos introducir normas para funciones vectoriales de dimensión finita de argumentos vectoriales de dimensión finita, reemplazando por , e integración sobre un segmento por integración sobre un dominio (el máximo en un segmento, en el caso correspondiente, es un máximo en un dominio ). $|f(x)|\$ $\|f(x)\|\$

"Norma L0"

Un caso especial es (L0-"norma"), definido como el número de elementos distintos de cero del vector. Estrictamente hablando, esto no es una norma, ya que el tercer axioma de la norma no se cumple. Básicamente, este tipo de "norma" se usa en problemas de codificación dispersa, en particular en la detección compresiva , donde necesita encontrar la representación más dispersa de un vector (con la mayor cantidad de ceros), es decir, con la norma - más pequeña. Con esta "norma" se puede determinar la distancia de Hamming . $\ell _{0}$ $\ell _{0}$

Algunos tipos de normas matriciales

Normas generadas : $\|A\|_{{p}}=\sup _{{\|x\|_{{p}}=1}}\|Ax\|_{{p}}$
- $pag=1$ : -norma, $metro$ $\|A\|_{m}=\max _{j}\sum _{i}|a_{{ij}}|$
- $pag=2$ ( Norma euclidiana ) y (matrices cuadradas), la norma subordinada de una matriz se denomina norma espectral . La norma espectral de una matriz es igual al mayor valor singular de la matriz o la raíz cuadrada del mayor valor propio de una matriz semidefinida positiva : , donde denota la matriz conjugada a la matriz . $m=n$ $A$ $A$ $A^{\daga}A$ $\left\|A\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{({\text{max))))(A^{\dagger }A)))$ $A^{\daga}$ $A$
- $p=\infty$ : -norma $yo$ $\|A\|_{l}=\max _{i}\sum _{j}|a_{{ij}}|$

Aquí , es la matriz conjugada a , y es la traza de la matriz .

A^{\daga}

A

{\ matemáticas {Tr}}

Elemento -sabio -norma ( ): $pags$ $p>0$ $\|A\|_{p}=\left(\sum _{i,j}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {1}{p))$
- Norma de Frobenius : . $\|A\|_{F}=\|A\|_{2}={\sqrt {\sum _{i,j}|a_{ij}|^{2))}={\ sqrt {\mathrm {Tr} \,A^{\dagger }A))$

Conceptos relacionados

Topología del espacio y la norma

La norma define una métrica sobre el espacio (en el sentido de una función de distancia de un espacio métrico ), generando así un espacio métrico, y por tanto una topología , cuya base son todo tipo de bolas abiertas, es decir, conjuntos de las formulario _ Los conceptos de convergencia definidos en el lenguaje de la topología de teoría de conjuntos en tal topología y definidos en el lenguaje de una norma coinciden. $B(x,r)=\{y\dos puntos \|xy\|<r\}$

Véase también

Notas

↑ M. Verbitsky. Curso de introducción a la topología. Problemas y Teoremas . Litros, 2018-12-20. - S. 163-164. — 346 pág.