Matriz cero

Una matriz cero es una matriz cuyo tamaño todos los elementos son iguales a cero . Se denota como o o [1] ${\ estilo de visualización m \ veces n,}$ $Z$ $O$ ${\ Displaystyle O_ {m, n}}$

$Z={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix))$

Signos

La matriz cero, y solo ella, tiene rango 0.

Esto significa que solo una matriz nula tiene la propiedad de producir una columna nula cuando se multiplica por la derecha por cualquier vector columna, y de manera similar cuando se multiplica por un vector fila por la izquierda.

Otra consecuencia de este hecho es la nulidad de todas las matrices m × 0 y 0 × n , debido a que el rango de una matriz m × n no excede min( m , n ).

Propiedades

El producto de una matriz cero por cualquier número es igual a sí mismo:

a\,Z=Z.

La suma de una matriz y una matriz cero del mismo tamaño es igual a la matriz original : $A$ $A$

A+Z=A,\;\;\;Z+A=A.

La diferencia de una matriz y una matriz cero del mismo tamaño es igual a la matriz original : $A$ $A$

AZ=A.

El producto de la matriz de tamaño por la matriz de tamaño cero es igual a la matriz de tamaño cero $A$ ${\ estilo de visualización l \ veces m,}$ ${\ estilo de visualización m \ veces n,}$ ${\ estilo de visualización l \ veces n:}$

A\cdot Z=Z.

La matriz cuadrada cero n × n at es degenerada y, en consecuencia, su determinante es igual a cero: $n\geqslant 1$ ${\ estilo de visualización \ izquierda | Z \ derecha | = 0.}$ Por lo tanto, tal matriz no tiene inversa .

La matriz cuadrada cero es simétrica , y, en consecuencia, su matriz transpuesta es igual a sí misma:

Z^{T}=Z.

La matriz cuadrada cero también es sesgada simétrica :

Z^{T}=-Z\,(=Z).

Solo la matriz cero es simétrica y asimétrica al mismo tiempo.

Los dos últimos puntos son verdaderos textualmente también con respecto a ser hermitianos y sesgados en el campo de los números complejos.

La matriz cuadrada cero es una matriz triangular superior , triangular inferior y diagonal .

Una matriz cuadrada cero es una matriz escalar , y por lo tanto se permuta con cualquier matriz cuadrada del mismo tamaño:

ZA=AZ=Z

Todas las propiedades anteriores de la matriz cero son, de una forma u otra, consecuencia del hecho de que la matriz cero es un elemento neutro aditivo (coloquialmente: cero) del espacio lineal de matrices de su tamaño, lo que significa que ella (y sólo ella) pertenece a cualquier subespacio lineal . Pues a la vez el cero del álgebra de matrices, si la matriz es cuadrada.

A pesar de esto, la matriz cero también tiene una propiedad no trivial con respecto a los divisores distintos de cero . De hecho, hay tantas como quieras, al menos a la derecha, incluso a la izquierda, pero la definición exacta de “tantas como quieras” depende del espacio de matrices de qué tamaño estemos buscando. a ellos. Pares de matrices distintas de cero M de tamaño m × l y N de tamaño l × n tales que existen si y solo si . Para la existencia de l \u003d 0, ya no es suficiente por la razón de que entre las matrices de tamaño tanto m × 0 como 0 × n , no hay ninguna distinta de cero (ver arriba ). Y para una explicación de la inexistencia de divisores con l = 1, ver el artículo producto tensorial . Por lo tanto, en el álgebra de matrices n × n sobre cualquier campo , hay divisores de cero si y solo si . Lo cual, sin embargo, no es sorprendente si observamos cómo se organizan tales álgebras para n = 1 y n = 0. ${\ Displaystyle NM = Z_ {m \ veces n}}$ ${\ estilo de visualización l \ geqslant 2}$ $n\geqslant 2$

Notas

↑ Fundamentos de álgebra lineal, 1975 , p. once.

Literatura

Maltsev AI Fundamentos de álgebra lineal. — M .: Nauka, 1975. — 400 p.

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro