Operador Fredholm

Un operador de Fredholm , o un operador de Noether , es un operador lineal entre espacios vectoriales (generalmente de dimensión infinita) cuyo núcleo y conúcleo son de dimensión finita. En otras palabras, sean X, Y espacios vectoriales. Un operador se llama Fredholm si $T:X\a Y$

${\mathrm {dim}}\,\ker T<\infty$ ,
${\mathrm {dim}}\;{\mathrm {coker}}\,T<\infty$ .

Un operador entre espacios de dimensión finita es siempre Fredholm.

Por lo general, el concepto se considera para espacios de Banach y se supone que el operador está acotado.

También se debe tener en cuenta que, en virtud de su definición, un operador de Fredholm siempre es normalmente resoluble .

Índice de operadores de Fredholm

Para tales operadores, el concepto de índice de operador tiene sentido :

{\mathrm {ind}}\,T={\mathrm {dim}}\,\ker T-{\mathrm {dim}}\;{\mathrm {coker}}\,T

Además, para cada uno concretamente dado , existe un operador de Fredholm con índice n. $n\in {\matemáticas {Z}}$

Transformaciones de operadores de Fredholm

El adjunto al operador Fredholm también es Fredholm: . Además, existe una relación uno a uno entre los índices de estos operadores: $T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\Leftrightarrow T^{{'}}\in {\mathcal {N}}(Y^{{'}},\;X^{{ ')))$ ${\mathrm {ind}}\,T^{{'}}=-{\mathrm {ind}}\,T$
La composición de los operadores de Fredholm es un operador de Fredholm, y su índice es ( teorema de Atkinson ) ${\mathrm {ind}}\,TS={\mathrm {ind}}\,T+{\mathrm {ind}}\,S$
La perturbación compacta conserva la propiedad de Fredholm y el índice del operador: $T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;S\in {\mathcal {K}}(X,\;Y)\Rightarrow T+S\in {\mathcal {N} }(X,\;Y),\;{\mathrm {ind}}\,(T+S)={\mathrm {ind}}\,T$
La propiedad de Fredholm y el índice también se conservan bajo perturbaciones acotadas suficientemente pequeñas, es decir, . En otras palabras, el conjunto es abierto en el conjunto de operadores acotados. $\forall T\in {\mathcal {N}}(X,\;Y)\;\existe \varepsilon :\,\forall S\in {\mathcal {B}}(X,\;Y),\| S\|\leqslant \varepsilon \Rightarrow T+S\in {\mathcal {N}}(X,\;Y),\;{\mathrm {ind}}\,(T+S)={\mathrm { ind}}\,T$ ${\mathcal {N}}(X,\;Y)$ ${\mathcal {B}}(X,\;Y)$

Teorema de Fredholm

K\in {\mathcal {K}}(X,\;X)\Rightarrow ({\mathrm {I_{X}}}-K)

es Fredholm (aquí está el operador de identidad en X).

{\mathrm {I_{X))}

Criterios para ser Fredholmian

Criterio de Noether: T es Fredholm si, si y sólo si T es casi invertible , es decir, tiene un operador casi inverso.
Criterio de Nikolsky: T es Fredholm si y sólo si T es descomponible en una suma S+K, donde S es invertible y K es compacto . O, lo que es lo mismo: , donde es el conjunto de operadores lineales reversibles . ${\mathcal {N}}(X,\;Y)={\mathrm {Inv}}(X,\;Y)\,+\,{\mathcal {K}}(X,\;Y)$ ${\mathrm {Inv}}(X,\;Y)$

Literatura

Kutateladze S. S. Fundamentos del análisis funcional. - 3ra ed. - Novosibirsk: Editorial del Instituto de Matemáticas, 2000. - 336 p. — ISBN 5-86134-074-9 . .