Ecuación de Kolmogorov-Chapman

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La ecuación de Kolmogorov - Chapman para una familia de operadores lineales continuos de un parámetro en un espacio vectorial topológico expresa la propiedad del semigrupo : $\mathbf {P} (t),\;t>0$

\mathbf {P} (t+s)=\mathbf {P} (t)\mathbf {P} (s).

La mayoría de las veces, este término se usa en la teoría de los procesos aleatorios homogéneos de Markov , donde es un operador que transforma la distribución de probabilidad en el momento inicial en la distribución de probabilidad en el momento ( ). $\mathbf {P} (t),\;t\geq 0$ $t$ $\mathbf {P} (0)=\mathbf {1}$

Para procesos no homogéneos se consideran familias de operadores de dos parámetros que transforman la distribución de probabilidad en un momento del tiempo en una distribución de probabilidad en un momento del tiempo, para ellos la ecuación de Kolmogorov-Chapman tiene la forma $\mathbf {P} (t,h),\;h>t>0$ ${\ estilo de visualización t> 0}$ $h>t>0.$

\mathbf {P} (t,s)=\mathbf {P} (t,h)\mathbf {P} (h,s),\;s>h>t>0.

Para sistemas con tiempo discreto, los parámetros toman valores naturales . ${\ estilo de visualización t, h, s}$

Ecuaciones directas e inversas de Kolmogorov

Derivando formalmente la ecuación de Kolmogorov-Chapman con respecto a , obtenemos la ecuación de Kolmogorov directa : $s$ $s=0$

{\frac{d{\mathbf {P}}(t)}{dt}}={\mathbf {P}}(t){\mathbf {Q}},

dónde

\mathbf {Q} =\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {P} (h)-\mathbf {1} {h)).

Derivando formalmente la ecuación de Kolmogorov-Chapman con respecto a , obtenemos la ecuación inversa de Kolmogorov $t$ $t=0$

{\frac {d{\mathbf {P}}(t)}{dt}}={\mathbf {Q}}{\mathbf {P}}(t).

Debe enfatizarse que para espacios de dimensión infinita , el operador ya no es necesariamente continuo y no puede definirse en todas partes, por ejemplo, para ser un operador diferencial en el espacio de distribuciones. ${\ matemáticas {Q}}$

Ejemplos

Considere procesos aleatorios homogéneos de Markov en los que el operador de probabilidades de transición viene dado por la densidad de transición : la probabilidad de transición de una región a otra en el tiempo es . La ecuación de Kolmogorov-Chapman para densidades tiene la forma: ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ matemáticas {P}} (t)$ ${\ estilo de visualización p (t, x, y)}$ $tu$ $W$ $t$ $\int \limits _{U}dx\,\int \limits _{V}dy\,p(t,x,y)$

p(t+s,x,y)=\int \limits_{\mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)p(s,z,y)\,dz.

En , la densidad de transición tiende a la función δ (en el sentido del límite débil de las funciones generalizadas ): . Esto significa que Sea un límite (también una función generalizada) ${\ estilo de visualización t> 0, \, t \ a 0}$ ${\ estilo de visualización p (t, x, y)}$ $\lim _{t\to 0}p(t,x,y)=\delta (xy)$ $\lim _{t\to 0}\mathbf {P} (t)=\mathbf {1} .$

q(x,y)=\lim _{h\to 0}{\frac {p(h,x,y)-\delta (xy)}{h)).

Entonces el operador actúa sobre funciones definidas en as y la ecuación directa de Kolmogorov toma la forma ${\ matemáticas {Q}}$ $f(x)$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n},}$ $(\mathbf {Q} f)(x)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}q(x,y)f(y)\,dy,$

{\frac {\parcial p(t,x,y)}{\parcial t))=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n))p(t,x,z)q (z,y)\,dz,

y la ecuación inversa de Kolmogorov

{\frac {\parcial p(t,x,y)}{\parcial t))=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n))q(x,z)p(t ,z,y)\,dz.

Sea el operador un operador diferencial de segundo orden con coeficientes continuos: ${\ matemáticas {Q}}$

(\mathbf {Q} f)={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a^{ij}(x){\frac {\parcial ^{2}f} {\parcial x^{i}\parcial x^{j))}+\sum_{j}b^{j}(x){\frac {\parcial f}{\parcial x^{j))} .

(esto significa que hay una combinación lineal de primera y segunda derivada con coeficientes continuos). La matriz es simétrica. Sea definida positiva en todo punto ( difusión ). La ecuación directa de Kolmogorov tiene la forma ${\ estilo de visualización q (x, y)}$ ${\ estilo de visualización \ delta (xy)}$ ${\ estilo de visualización a^{ij}}$

{\frac {\parcial p(t,x,y)}{\parcial t))={\frac {1}{2))\sum _{i,j}{\frac {\parcial ^ {2}}{\y parcial^{i}\y parcial^{j}}}(a^{ij}(y)p(t,x,y))-\sum_{j}{\frac { \parcial {\parcial y^{j}}}(b^{j}(y)p(t,x,y)).

Esta ecuación se llama ecuación de Fokker-Planck . El vector en la literatura física se llama vector de deriva, y la matriz es el tensor de difusión .. La ecuación inversa de Kolmogorov en este caso ${\ estilo de visualización b^{j}}$ ${\ estilo de visualización a^{ij}}$

{\frac {\parcial p(t,x,y)}{\parcial t))={\frac {1}{2))\sum _{i,j}a^{ij}(x ){\frac {\parcial ^{2}}{\parcial x^{i}\parcial x^{j}}}p(t,x,y)+\sum _{j}b^{j}( x){\frac {\parcial }{\parcial x^{j))}p(t,x,y).

Véase también

Literatura

A. D. Wentzel ', Un curso de teoría de procesos aleatorios. — M.: Nauka, 1996. — 400 p.

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