Vecindario

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Una vecindad de un punto es un conjunto que contiene el punto dado y está cerca (en cierto sentido) de él. En diferentes ramas de las matemáticas , este concepto se define de diferentes maneras.

Definiciones

Análisis matemático

Sea un número fijo arbitrario. $\varepsilon >0$

La vecindad de un punto en la recta real (a veces llamada vecindad) es el conjunto de puntos que son menores que , es decir, . $x_{0}$ $\varepsilon$ $x_{0}$ $\varepsilon$ $O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}$

En el caso multidimensional, la función de vecindad se realiza mediante una bola abierta centrada en el punto . $\varepsilon$ $x_{0}$

En un espacio de Banach, una vecindad centrada en un punto se llama conjunto . $(B,\|\cpunto\|)$ $x_{0}$ $A=\{x\en B:\|x-x_0\|<\varepsilon\}$

En un espacio métrico, una vecindad centrada en un punto se llama conjunto . $(M,\rho)$ $y$ $A=\{x\in M:\rho(x,y)<\varepsilon\}$

Topología general

Sea dado un espacio topológico , donde es un conjunto arbitrario y es una topología definida sobre . $(X,{\mathcal {T}})$ $X$ $\mathcal{T}$ $X$

Un conjunto se llama vecindad de un punto si existe un conjunto abierto tal que . $V\subconjunto X$ $x\en X$ $U\en \mathcal{T}$ $x \in U \subconjunto V$
De manera similar, una vecindad de un conjunto es un conjunto tal que existe un conjunto abierto para el cual . $M\subconjunto X$ $V\subconjunto X$ $U\en \mathcal{T}$ $M \subconjunto U \subconjunto V$

Notas

Las definiciones anteriores no requieren que un vecindario sea un conjunto abierto, sino solo que contenga un conjunto abierto . Algunos autores insisten en que cualquier barrio está abierto. [1] Entonces un entorno de un conjunto es cualquier conjunto abierto que lo contenga. Esta no es una diferencia fundamental para el desarrollo de más teoría topológica. Sin embargo, en cada caso es importante fijar la terminología. $V$ $tu$
Una vecindad de un conjunto de puntos es un conjunto tal que existe una vecindad de cualquier punto . $METRO$ $V$ $V$ $x\en M$

Ejemplo

Sea una línea real con topología estándar . Entonces es una vecindad abierta y es una vecindad cerrada del punto . $(-1.2)$ ${\ estilo de visualización [-1,2]}$ ${\ estilo de visualización 0}$

Variaciones y generalizaciones

Barrio perforado

Una vecindad perforada de un punto es una vecindad de un punto de la cual este punto está excluido.

Estrictamente hablando, una vecindad perforada no es una vecindad de un punto, porque según la definición de vecindad, una vecindad debe incluir el punto mismo.

Definición formal: Un conjunto se denomina vecindad pinchada (punctured Neighborhood) de un punto si $\punto{V}$ $x\en X$

\dot{V} = V \setminus \{x\},

donde esta el barrio . $V$ $X$

Véase también

Glosario de topología general

Notas

↑ Rudin, 1975 , pág. 13

Literatura

Enciclopedia Matemática. — M .: Enciclopedia soviética , 1984 . - T. 4.
W.Rudin. Análisis funcional. — M .: Mir , 1975 .