Planos paralelos

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Definición

Clásico

Dos planos se llaman paralelos si no tienen puntos comunes. (A veces los planos coincidentes también se consideran paralelos, lo que simplifica la formulación de algunos teoremas).

Analítica

Si los planos y son paralelos, entonces los vectores normales y son colineales (y viceversa). Por lo tanto, la condición $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ $A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$ ${\ estilo de visualización N_ {1} (A_ {1}, B_ {1}, C_ {1})}$ ${\ estilo de visualización N_ {2} (A_ {2}, B_ {2}, C_ {2})}$

${\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1 }}}$ [1] es una condición necesaria y suficiente para el paralelismo o coincidencia de planos.

Propiedades

Si dos planos paralelos son cortados por un tercero, entonces las líneas de su intersección son paralelas;
Por un punto exterior a un plano dado es posible trazar un plano paralelo al dado, y además uno solo;
Los segmentos de rectas paralelas limitados por dos planos paralelos son iguales;
Dos ángulos con lados respectivamente paralelos e igualmente dirigidos son iguales y se encuentran en planos paralelos.

Característica

Si el plano α es paralelo a cada una de las dos rectas que se cortan en el otro plano β, entonces estos planos son paralelos.

Ejemplos

Los planos y son paralelos porque . ${\ estilo de visualización 2x-3y-4z+11=0}$ ${\ estilo de visualización -4x+6y+8z+36=0}$ ${\ fracción {-4}{2}}={\ fracción {6}{-3}}={\ fracción {8}{-4}}$
Los planos y no son paralelos, ya que , y . ${\ estilo de visualización 2x-3z-12 = 0 (A_ {1} = 2, B_ {1} = 0, C_ {1} = -3)}$ ${\ estilo de visualización 4x+4y-6z+7=0(A_{2}=4,B_{2}=4,C_{2}=-6)}$ $B_{1}=0$ $B_{2}\neq 0$

Nota

Si no solo los coeficientes en las coordenadas, sino también los términos libres son proporcionales, es decir, si [2] entonces los planos coinciden. Entonces las ecuaciones representan el mismo plano. ${\ fracción {A_{2}}{A_{1}}}={\ fracción {B_{2}}{B_{1}}}={\ fracción {C_{2}}{C_{1}}} ={\ fracción {D_{2}}{D_{1}}},$ ${\ estilo de visualización 3x+7y+5z+4=0}$ ${\ estilo de visualización 6x+14y+10z+8=0}$

Notas

↑ en . Si , entonces . Del mismo modo para o . ${\ estilo de visualización A_ {1}, B_ {1}, C_ {1} \ neq 0}$ $A_{1}=0$ $A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}$ ${\ estilo de visualización B_ {1} = 0}$ ${\ estilo de visualización C_ {1} = 0}$
↑ en . Si , entonces . Del mismo modo para o . $A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}\neq 0$ $A_{1}=0$ $A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}} {D_{1}}}$ $B_{1}=0,C_{1}=0$ $D_{1}=0$