Oscilador paramétrico

Un oscilador paramétrico es un oscilador cuyos parámetros pueden cambiar en un área determinada.

Un oscilador paramétrico pertenece a la clase de sistemas oscilatorios no cerrados, en los que una acción externa se reduce a un cambio en sus parámetros a lo largo del tiempo. Los cambios en los parámetros, como la frecuencia de oscilación natural ω o el factor de amortiguamiento β, provocan un cambio en la dinámica de todo el sistema.

Un ejemplo bien conocido de un oscilador paramétrico es un niño en un columpio, donde una altura del centro de masa que cambia periódicamente significa un cambio periódico en el momento de inercia, lo que conduce a un aumento en la amplitud de oscilación del columpio [3, pág. . 157]. Otro ejemplo de un oscilador paramétrico mecánico es un péndulo físico, cuyo punto de suspensión realiza un movimiento periódico dado en la dirección vertical, o un péndulo matemático, cuya longitud del hilo puede cambiar periódicamente.

Un ejemplo ampliamente utilizado de un oscilador paramétrico en la práctica es el oscilador paramétrico utilizado en muchas áreas. Cambiar periódicamente la capacitancia del diodo usando un circuito especial llamado "bomba" conduce a las oscilaciones clásicas de un oscilador paramétrico varactor . Los osciladores paramétricos se han desarrollado como amplificadores de bajo ruido que son particularmente efectivos en el rango de frecuencia de radio y microondas. Dado que las resistencias no activas (óhmicas), pero reactivas, cambian periódicamente, el ruido térmico en tales generadores es mínimo. En la electrónica de microondas, una guía de ondas / YAG basada en un oscilador paramétrico funciona de la misma manera. Para excitar las oscilaciones paramétricas en el sistema, los diseñadores cambian periódicamente el parámetro del sistema. Otra clase de dispositivos que utilizan a menudo el método de oscilaciones paramétricas son los convertidores de frecuencia, en particular, los convertidores de frecuencias de audio a radio. Por ejemplo, un oscilador paramétrico óptico convierte una onda láser de entrada en dos ondas de salida de frecuencia más baja (ωs, ωi). El concepto de resonancia paramétrica está estrechamente relacionado con el oscilador paramétrico.

La resonancia paramétrica es un aumento en la amplitud de las oscilaciones como resultado de la excitación paramétrica. La excitación paramétrica difiere de la resonancia clásica, ya que se crea como resultado de un cambio temporal en los parámetros del sistema y está asociada con su estabilidad y estabilidad .

Matemáticas

Los parámetros de un oscilador unidimensional que se mueve con fricción son su masa , coeficiente elástico y coeficiente de amortiguamiento . Si estos coeficientes dependen del tiempo y , entonces la ecuación de movimiento tiene la forma $metro$ $k$ $\beta$ ${\ estilo de visualización m = m (t), k = k (t), \ beta = \ beta (t)}$

{\frac {d}{dt}}(m{\dot {x}})+\beta {\dot {x}}+kx=0,

$(una)$

Cambiemos la variable tiempo → , donde , lo que lleva la ecuación (1) a la forma $t$ $\tau$ $d\tau=dt/m(t)$

{\frac {d^{2}x}{d\tau^{2}}}+\beta {\frac {dx}{d\tau}}+kmx=0,

$(2)$

Hagamos otra sustitución → : $x(\tau)$ ${\ estilo de visualización q (\ tau)}$

q(\tau )=\exp ^{B(\tau )}x(\tau ),B(\tau )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\ tau }\beta (\xi )d\xi ,

$(3)$

Esto eliminará el término de amortiguamiento:

{\frac {d^{2}q}{d\tau ^{2}}}+\delta ^{2}(\tau )q=0,\delta ^{2}(\tau )= km-{\frac {\dot {\beta }}{2}}-{\frac {\beta ^{2}}{4}},

$(cuatro)$

Por lo tanto, de hecho, sin pérdida de generalidad, en lugar de la Ec. (1), es suficiente considerar una ecuación de movimiento de la forma

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega ^{2}(t)x=0,

${\ estilo de visualización (5)}$

que se obtendría de la ecuación (1) con . $m=constante$

Curiosamente, en contraste con el caso de una frecuencia constante , la solución analítica de la ecuación (5) no se conoce en forma general. En el caso particular de una dependencia periódica , la ecuación (5) es la ecuación de Hill , y en el caso de una dependencia armónica , es un caso especial de la ecuación de Mathieu . La ecuación (5) se estudia mejor en el caso en que la frecuencia de oscilación cambia armónicamente con respecto a algún valor constante. $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}$ ${\ estilo de visualización \ omega (t)}$ ${\ estilo de visualización \ omega (t)}$

1. Considere el caso cuando , es decir, la ecuación (5) tiene la forma $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega_{0}+\varepsilon)t]$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega_{0}^{2}[1+h\cos(\omega_{0}+\varepsilon) t]x=0,

${\ estilo de visualización (6)}$

Donde está la frecuencia de las oscilaciones armónicas naturales, la amplitud de las variaciones de frecuencia armónica , constante es una pequeña variación de frecuencia. Por un cambio propio en el origen del tiempo, la constante h puede elegirse positiva, por lo tanto, sin pérdida de generalidad, supondremos que . En lugar de resolver la Ec. (6), planteemos una pregunta más modesta: ¿a qué valores del parámetro , ocurre un fuerte aumento en la amplitud de las oscilaciones, es decir, la solución aumenta indefinidamente? Se puede demostrar [1] que esto sucede cuando $\omega_{0}$ ${\ estilo de visualización h \ ll 1}$ ${\displaystyle \varepsilon \ll \omega _{0))$ ${\ estilo de visualización h> 0}$ $\varepsilon$ $x(t)$

-{\frac {5}{24}}<{\frac {\varepsilon}{h^{2}\omega_{0}}}<{\frac {1}{24}},

${\ estilo de visualización (7)}$

2. Considere el caso cuando , es decir, la ecuación (5) tiene la forma $\omega ^{2}(t)=\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega_{0}+\varepsilon)t]$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(2\omega _{0}+\varepsilon )t]x=0,

${\ estilo de visualización (8)}$

En otras palabras, el cambio armónico de vibraciones libres ocurre con una frecuencia . En este caso, la resonancia paramétrica, hasta los términos , ocurre cuando $y=2\omega_{0}+\varepsilon$ ${\ estilo de visualización h ^ {2}}$

-{\frac {1}{32}}h-{\frac {1}{2}}<{\frac {\varepsilon}{h\omega _{0}}}<-{\frac { 1}{32}}h+{\frac{1}{2}},

${\ estilo de visualización (9)}$

En particular, indicamos las condiciones de resonancia paramétrica para pequeñas oscilaciones de un péndulo matemático con un punto de suspensión que oscila en posición vertical, para las cuales las ecuaciones de oscilación tienen la forma

{\ddot {\phi }}+\omega _{0}^{2}[1+{\frac {4a}{l}}\cos(2\omega _{0}+\varepsilon)t ]\fi =0,

$(diez)$

donde , y . En el caso de que y restringiéndonos al desarrollo de primer orden en , obtenemos que $\omega _{0}^{2}={\frac {g}{l))$ $h={\frac{4a}{l))$ ${\ Displaystyle a\ ll l}$ $h$

-{\frac {2a{\sqrt {g}}}{l^{\frac {3}{2}}}}<\varepsilon <{\frac {2a{\sqrt {g}}}{ l^{\frac{3}{2)))),

${\ estilo de visualización (11)}$

El hecho de que la resonancia paramétrica se produzca en las proximidades de la frecuencia de las oscilaciones libres y su valor duplicado no es casual. Se puede demostrar (ver, por ejemplo, [2]) que en el caso de la ecuación ${\displaystyle \omega =\omega _{0))$ ${\ estilo de visualización \ omega = 2 \ omega _ {0}}$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}[1+h\cos(\omega t)]x=0,

${\ estilo de visualización (12)}$

La resonancia paramétrica ocurre cuando

\omega ={\frac {2\omega _{0}}{n}},n=1,2,...,

${\ estilo de visualización (13)}$

La resonancia principal ocurre al doble de la frecuencia natural del péndulo armónico , y el ancho de la resonancia es igual a . También es importante que en presencia de fricción (ver ecuación (2)), en la ecuación $\omega_{0}$ $h\omega _{0}$

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+3\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}[1+ h\cos(\omega t)]x=0,

${\ estilo de visualización (14)}$

El fenómeno de la resonancia paramétrica tiene lugar no para cualquiera , sino sólo para aquéllos . Así, en presencia de rozamiento ${\ estilo de visualización h \ ll 1}$ ${\displaystyle h>{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2))))$

{\frac {4\gamma }{\omega _{0}^{2}-\gamma }}<h\ll 1,

${\ estilo de visualización (15)}$

lo que permite potenciar o debilitar el fenómeno de la resonancia paramétrica mediante una elección adecuada de los parámetros , y , según la necesidad práctica. $\gama$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {0}}$ $h$

Enlaces

Un ejemplo de inestabilidad paramétrica [1]

Oscilador paramétrico browniano [2]

Literatura

[1] L. D. Landau y E. M. Lifshits. Curso de física teórica I. Mecánica. Moscú. La ciencia. 1973 pág. 103-109

[2] A. M. Fedorchenko. Mecánica teórica. 1975. Kyiv. Escuela de posgrado. 516 pág.

[3] K. Magnus. Oscilaciones: Introducción al estudio de los sistemas oscilatorios. 1982. Moscú. Mundo. 304 pág.