Antiderivada

Una antiderivada de una función (a veces llamada antiderivada o función primitiva ) es una función cuya derivada es . Este es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático de una variable real (también hay generalizaciones de este concepto para funciones complejas [1] ). $f(x)$ $f(x)$

Definición

Una antiderivada para una función dada se llama [2] una función cuya derivada es (sobre todo el dominio de definición ), es decir, . Encontrar la antiderivada es una operación inversa a la diferenciación : esta última encuentra su derivada con respecto a una función dada, y habiendo encontrado la antiderivada, nosotros, por el contrario, determinamos la función original con una derivada dada. $f(x)$ $F(x)$ $F$ $F$ $F'(x)=f(x)$

Las antiderivadas son importantes porque te permiten calcular ciertas integrales . Si es la antiderivada de una función continua integrable , entonces: $F$ $F$

\int\limits_a^bf(x)\, dx = F(b) - F(a).

Esta relación se llama fórmula de Newton-Leibniz .

Técnicamente, encontrar la antiderivada es calcular la integral indefinida para , y el proceso en sí se llama integración . Para la aplicación de esta teoría a la geometría, vea cálculo integral . $f(x)$

Ejemplo: la función es antiderivada para porque $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ ${\ estilo de visualización f (x) = x ^ {2},}$ $F'(x)=f(x).$

Ambigüedad

Si es una antiderivada de , entonces cualquier función que se obtenga sumando la constante : también es una antiderivada de . Así, si una función tiene antiderivada, entonces se incluye en toda la familia de antiderivadas [2] , que se llama integral indefinida y se escribe como integral sin límites: $F$ $F$ $F$ $G(x) = F(x) + C$ $F$ ${\ estilo de visualización F (x) + C,}$ $f(x)$

\int f(x)\, dx

Lo contrario también es cierto: si es la antiderivada de , y la función está definida en algún intervalo , entonces cada antiderivada difiere de por una constante: siempre existe un número tal que para todo . Las gráficas de tales antiderivadas se desplazan verticalmente entre sí, y su posición depende del valor. El número se llama constante de integración . $F$ $F$ $F$ $GRAMO$ $F$ $C$ $G(x) = F(x) + C$ $X$ $C.$ $C$

Por ejemplo, la familia de antiderivadas de una función tiene la forma: , donde es cualquier número. $x^{2}$ $F(x)={\frac{x^{3}}{3}}+C$ $C$

Si el dominio de una función no es un intervalo continuo, entonces sus antiderivadas no tienen por qué diferir en una constante [3] . Así, por ejemplo, la función no existe en cero, por lo que su dominio de definición consta de dos intervalos: y En consecuencia, en estos intervalos se obtienen dos familias independientes de antiderivadas: , donde es una constante en y, en general, otra constante en : $F$ ${\ estilo de visualización {\ frac {1} {x ^ {2}}}}$ $x>0$ ${\ estilo de visualización x <0.}$ $-{\frac {1}{x}}+{\sombrero {C}}$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {C}}}$ $x>0$ $x<0$

{\hat {C}}(x)=\left\{{\begin{aligned}C_{1},{\text{ if }}x<0\\C_{2},{\text{ si }}x>0\end{alineado}}\right.

Existencia

Cada función continua tiene una antiderivada , una de las cuales se representa como una integral de con un límite superior variable: $F$ $F$ $F$

F(x) = \int\limits_a^xf(t)\,dt.

También hay funciones no continuas (discontinuas) que tienen una antiderivada. Por ejemplo, c no es continua en , pero tiene una antiderivada con . Para funciones acotadas discontinuas, es conveniente usar la integral de Lebesgue más general en lugar de la integral de Riemann . Las condiciones necesarias para la existencia de la antiderivada son que la función pertenezca a la primera clase de Baire y que se cumpla para ella la propiedad de Darboux [2] . $f(x) = 2x\sen\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$ $f(0) = 0$ $x=0$ $F(x) = x^2 sen\frac{1}{x}$ $F(0) = 0$ $F$

Muchas antiderivadas, aunque existen, no se pueden expresar en términos de funciones elementales (es decir, en términos de polinomios , funciones exponenciales , logaritmos , funciones trigonométricas , funciones trigonométricas inversas y combinaciones de estas). Por ejemplo:

\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\, dx

Para tales funciones, la integral de las mismas, si existe, puede calcularse aproximadamente mediante integración numérica .

Propiedades antiderivadas

La antiderivada de la suma de funciones es igual a la suma de las antiderivadas de los términos.
La antiderivada del producto de una constante y una función es igual al producto de una constante y la antiderivada de una función.
Todas las funciones que son continuas en un intervalo tienen una antiderivada y una integral de Riemann . Sin embargo, en el caso general, la existencia de una antiderivada y la integrabilidad de una función no están relacionadas [4] :
- La función de signo (sgn) es integrable de Riemann pero no tiene antiderivada (debido a la discontinuidad en cero).
- La función (supongamos también ) tiene una derivada finita en el segmento , por lo tanto, la función tiene una antiderivada (es decir, ), pero no se limita a y, por lo tanto, no es integrable de Riemann. ${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin {\frac {1}{x^{2))))$ $f(0)=0$ $[-1,1]$ ${\ estilo de visualización g (x);}$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $[-1,1]$

Técnica de integración

Encontrar antiderivadas es mucho más difícil que encontrar derivadas. Hay varios métodos para esto:

la linealidad de la integración hace posible dividir integrales complejas en partes,
integración por sustitución , a menudo aplicada junto con identidades trigonométricas o el logaritmo natural ,
integración por partes para operaciones con productos de funciones,
método de cadena inversa , un caso especial de integración por partes,
el método de integración de fracciones racionales le permite integrar cualquier función racional (fracciones con polinomios en el numerador y denominador),
Algoritmo de Risch : un algoritmo para integrar cualquier función elemental,
algunas integrales se pueden encontrar en las tablas, consulte Categoría: Listas de integrales .
cuando se integra varias veces, se puede usar una técnica adicional, para ver un ejemplo, consulte la integral doble y las coordenadas polares , el jacobiano y el teorema de Stokes .
Los sistemas de álgebra por computadora ayudan a automatizar algunas de las operaciones simbólicas anteriores (en particular, el algoritmo de Risch), lo cual es muy conveniente cuando los cálculos algebraicos se vuelven demasiado engorrosos.

Notas

↑ Antiderivadas de funciones de variables complejas . Consultado el 7 de mayo de 2019. Archivado desde el original el 7 de mayo de 2019. (indefinido)
↑ 1 2 3 Antiderivada // Enciclopedia Matemática (en 5 tomos). - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4. - S. 237.
↑ Shibinsky, 2007 , pág. 139-140.
↑ Gelbaum, B., Olmsted, J. Contraejemplos en análisis = Contraejemplos en análisis. - M. : LKI, 2007. - S. 57, 51. - 258 p. — ISBN 978-5-382-00046-6 .

Literatura

Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas superiores. - 12ª ed. - M. : Nauka, 1977. - 872 p.
Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral en tres volúmenes. - Ed. 6to. - M. : Nauka, 1966. - T. 2. - 800 p.
Shibinsky VM Ejemplos y contraejemplos en el curso del análisis matemático. Tutorial. - M. : Escuela Superior, 2007. - 543 p. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Enlaces

Wolfram Integrator: cálculo de integrales en línea usando Mathematica
Asistente matemático en la web - Computación simbólica en línea Archivado el 1 de diciembre de 2008 en Wayback Machine .
Calculadora de integrales en línea Archivado el 6 de enero de 2010 en Wayback Machine .