Anillo simple (álgebra)

Un anillo simple es un anillo tal que y en no hay ideales de dos caras que no sean y . $R$ ${\displaystyle R^{2}\neq\{0\))$ $R$ $R$ $\{0\}$

Ejemplos y teoremas

Considere un anillo tal que , y el grupo aditivo tiene un orden primo. Entonces el anillo es simple, ya que no hay subgrupos propios en . $R$ ${\displaystyle R^{2}\neq\{0\))$ $\langle R,+\rangle$ $R$ $\langle R,+\rangle$
Cualquier campo es un simple anillo, ya que el campo no tiene ideales propios .
Un anillo conmutativo asociativo con identidad es un campo si y solo si es un anillo simple. $R$ $R$
Si es un campo, es un número natural , entonces el anillo de la matriz es simple. $PAGS$ $norte$ $\mathrm {Mat} (P,n)$

Teorema de Wedderburn

Sea un simple anillo con identidad y un mínimo ideal de izquierda. Entonces el anillo es isomorfo al anillo de todas las matrices de orden sobre algún anillo de división . En este caso , el cuerpo está definido de forma única y el cuerpo está definido hasta el isomorfismo. A la inversa, para cualquier cuerpo, un anillo es un simple anillo. $R$ $R$ $norte$ $norte$ $D$ $\mathrm {Mat} (D,n)$

Literatura

Herstein I. Anillos no conmutativos. — M.: Mir, 1972.
Jacobson N. Estructura de anillos. - M.: Editorial de literatura extranjera, 1961.
Glukhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Álgebra: libro de texto. En 2 vols.T.2.- M.: Helios ARV, 2003.