Espacio de estados (teoría de control)

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El espacio de estado es uno de los principales métodos para describir el comportamiento de un sistema dinámico en la teoría de control . El movimiento del sistema en el espacio de estados refleja el cambio en sus estados .

Definición

El espacio de estado se suele denominar espacio de fase de un sistema dinámico , y la trayectoria de movimiento del punto que representa en este espacio se denomina trayectoria de fase . [B:1] [B:2] [A:1]

En el espacio de estados, se crea un modelo de un sistema dinámico , que incluye un conjunto de variables de entrada, salida y estado , interconectadas por ecuaciones diferenciales de primer orden, que se escriben en forma matricial . A diferencia de la descripción de la función de transferencia y otros métodos de dominio de frecuencia, el espacio de estado le permite trabajar no solo con sistemas lineales y condiciones iniciales cero. Además, es relativamente fácil trabajar con sistemas MIMO en el espacio de estado .

Sistemas continuos lineales

Para el caso de un sistema lineal con entradas, salidas y variables de estado, la descripción es: $pags$ $q$ $norte$

\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t) \mathbf{x}(t) + B(t) \mathbf{u}(t)

\mathbf{y}(t) = C(t) \mathbf{x}(t) + D(t) \mathbf{u}(t)

dónde

x(t) \in \mathbb{R}^n

; ; ;

y(t) \in \mathbb{R}^q

u(t) \in \mathbb{R}^p

\operatorname{dim}[A(\cdot)] = n \times n

, , , , :

\operatorname{dim}[B(\cdot)] = n \times p

\operatorname{dim}[C(\cdot)] = q \times n

\operatorname{dim}[D(\cdot)] = q \times p

\dot{\mathbf{x}}(t) := {d\mathbf{x}(t) \over dt}

x(\cpunto)

es el vector de estado , cuyos elementos se denominan estados del sistema

y(\cdot)

es el vector de salida ,

tu(\cdot)

es el vector de control ,

A(\cdot)

es la matriz del sistema ,

B(\cdot)

es la matriz de control ,

C(\cdot)

es la matriz de salida,

D(\cdot)

es la matriz feedforward .

A menudo, la matriz es cero, lo que significa que no hay un feedforward explícito en el sistema . $D(\cdot)$

Sistemas discretos

Para sistemas discretos , el registro de ecuaciones en el espacio no se basa en ecuaciones diferenciales , sino en diferencias :

\mathbf{x}(nT + T) = A(nT) \mathbf{x}(nT) + B(nT) \mathbf{u}(nT)

\mathbf{y}(nT) = C(nT) \mathbf{x}(nT) + D(nT) \mathbf{u}(nT)

Sistemas no lineales

Un sistema dinámico no lineal de orden n se puede describir como un sistema de n ecuaciones de orden 1:

\punto x_1=f_1(x_1(t);\ldots,x_n(t),u_1(t),\ldots,u_m(t))

\vpuntos

\punto x_n=f_n(x_1(t);\ldots,x_n(t),u_1(t),\ldots,u_m(t))

o en una forma más compacta:

\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{f}(t, \mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))

\mathbf{y}(t) = \mathbf{h}(t, \mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))

La primera ecuación es la ecuación de estado , la segunda es la ecuación de salida .

Linealización

En algunos casos es posible linealizar la descripción del sistema dinámico para la vecindad del punto de operación . En estado estacionario , la siguiente expresión es válida para el punto de operación : $(\mathbf{\tilde x}, \mathbf{\tilde u})$ $(\mathbf{\tilde u}= constante)$ $\mathbf{\tilde x}= constante,$

\mathbf{\dot{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{\tilde x},\mathbf{\tilde u})=\mathbf{0}

Introduciendo la notación:

\delta\mathbf{u} = \mathbf{u}-\mathbf{\tilde u}

\delta\mathbf{x} = \mathbf{x}-\mathbf{\tilde x}

El desarrollo de la ecuación de estado en una serie de Taylor , limitada por los dos primeros términos, da la siguiente expresión: $\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))$

\mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t))\approx \mathbf{f}(\mathbf{\tilde x}(t),\mathbf{\tilde u} (t)) + \frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}} \delta \mathbf{x} + \frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{ u}} \delta \mathbf{u}

Al tomar derivadas parciales de la función vectorial con respecto al vector de variables de estado y al vector de acciones de entrada , se obtienen las matrices de Jacobi de los sistemas de funciones correspondientes : ${\ matemáticas {f}}$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{u}$

{\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots & \vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {x_{1)) }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {f} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix }{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{1}} }{\ delta \mathbf {u_{p)) }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {u_{1)) } }&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {f_{n)) }{\delta \mathbf {u_{p)) }}\end{bmatriz}}

Del mismo modo para la función de salida:

{\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {x} }}={\begin{bmatrix}{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {x_{n}} }}\\\vdots &\ddots & \vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {x_{1)) }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {x_{n)) }}\end{bmatrix}}\quad {\frac {\delta \mathbf {h} }{\delta \mathbf {u} }}={\begin{bmatrix }{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\delta \mathbf {u_{1}} }}&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{1}} }{\ delta \mathbf {u_{p)) }}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {u_{1)) } }&\cdots &{\frac {\delta \mathbf {h_{q)) }{\delta \mathbf {u_{p)) }}\end{bmatriz}}

Teniendo en cuenta , la descripción linealizada del sistema dinámico en las proximidades del punto de operación tomará la forma: $\delta \mathbf{\dot x}=\mathbf{\dot x}-\mathbf{\dot \tilde x}=\mathbf{\dot x}$

$\mathbf{\punto x}$	$=\mathbf{A}\delta \mathbf{x}+\mathbf{B} \delta \mathbf{u}$
$\delta \mathbf{y}$	$=\mathbf{C}\delta \mathbf{x}+\mathbf{D} \delta \mathbf{u}$

dónde

\mathbf{A}=\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}}\quad \mathbf{B}=\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf {u}}\quad \mathbf{C}=\frac{\delta \mathbf{h}}{\delta \mathbf{x}}\quad \mathbf{D}=\frac{\delta \mathbf{h} }{\delta \mathbf{u))

Ejemplos

El modelo de espacio de estado para el péndulo

El péndulo es un sistema no lineal libre clásico . Matemáticamente, el movimiento del péndulo se describe mediante la siguiente relación:

ml{\ddot {\theta }}(t)=-mg\sin \theta (t)-kl{\dot {\theta }}(t)

dónde

$\ theta (t)$ es el ángulo de desviación del péndulo.
$metro$ es la masa reducida del péndulo
$gramo$ - aceleración de la gravedad
$k$ — coeficiente de fricción en el cojinete de suspensión
$yo$ - longitud de suspensión del péndulo

En este caso, las ecuaciones en el espacio de estado se verán así:

\dot{x_1}(t) = x_2(t)

\dot{x_2}(t) = - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{m}{x_2}(t)

dónde

$x_{1}(t):=\theta(t)$ - ángulo de desviación del péndulo
$x_2(t) :=\dot{x_1}(t)$ es la velocidad angular del péndulo
$\punto{x_2}(t) :=\ddot{x_1}(t)$ es la aceleración angular del péndulo

Escribiendo las ecuaciones de estado en forma general:

\dot{\mathbf{x}}(t) = \left( \begin{matriz} \dot{x_1}(t) \\ \dot{x_2}(t) \end{matriz} \right) = \mathbf {f}(t, x(t)) = \left( \begin{matriz} x_2(t) \\ - \frac{g}{l}\sin{x_1}(t) - \frac{k}{ m}{x_2}(t) \end{matriz} \right)

Linealización del modelo del péndulo

La matriz del sistema linealizado para el modelo de péndulo en la vecindad del punto de equilibrio tiene la forma: $\left(\tilde x_1=0 \right)$

\frac{\delta \mathbf{f}}{\delta \mathbf{x}} = \left( \begin{matrix} 0&\ 1 \\ -\frac{g}{l}\cos{\tilde x_1} &\ - \frac{k}{m} \end{matriz} \right) = \left( \begin{matriz} 0&\ 1 \\ -\frac{g}{l}&\ - \frac{k} {m} \end{matriz} \right)

En ausencia de fricción en la suspensión ( k = 0 ) obtenemos la ecuación de movimiento de un péndulo matemático :

\ddot x = -\frac{g}{l}x

Véase también

Teoría de control
espacio de fase
Criterio de estabilidad en el espacio de estados
espacio conceptual
sistema de referencia
control modal

Literatura

Libros

↑ Andronov A. A. , Leontovich E. A. , Gordon I. M. , Mayer A. G. Teoría de las bifurcaciones de sistemas dinámicos en un plano. - M. : Nauka, 1967.
↑ Andronov A. A. , Witt A. A. , Khaikin S. E. Teoría de las oscilaciones. - 2ª ed., revisada. y corregido.- M. : Nauka, 1981. - 918 p.

Artículos

↑ Feigin M.I. Manifestación de los efectos de la memoria de bifurcación en el comportamiento de un sistema dinámico // Soros Educational Journal : Journal. - 2001. - T. 7 , N º 3 . - S. 121-127 . Archivado desde el original el 30 de noviembre de 2007. (Ruso)

Enlaces

Ecuaciones diferenciales iniciales de ATS