Procedimiento de Cayley-Dixon

El procedimiento de Cayley-Dixon ( procedimiento de duplicación ) es un procedimiento iterativo para construir álgebras sobre un campo (o sobre un anillo ), con la dimensión duplicándose en cada paso. El nombre de Arthur Cayley y Leonard Dixon .

Este procedimiento permite construir sucesivamente sus extensiones a partir de números reales: números complejos , cuaterniones , octoniones , sedeniones , etc. También se utiliza en el teorema de Hurwitz para encontrar todas las álgebras de división normadas . Entonces, según este teorema, los números reales, los números complejos , los cuaterniones y los octoniones son las únicas álgebras de división normadas (sobre el campo de los números reales).

Propiedades de las álgebras de Cayley-Dixon

Álgebra	Dimensión ( n )	Orden _	Propiedades de multiplicación				La ausencia de neutrales. cero divisores
Álgebra	Dimensión ( n )	Orden _	Conmutatividad _	Asociatividad _	Alternativa _	Asociatividad de potencia _	La ausencia de neutrales. cero divisores
Números reales ( ) $\matemáticas {R}$	una	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí
Números complejos ( ) $\matemáticas {C}$	2	No	Sí	Sí	Sí	Sí	Sí
Cuaterniones ( ) ${\ matemáticas {H}}$	cuatro	No	No	Sí	Sí	Sí	Sí
Octoniones ( ) ${\ matemáticas {O}}$	ocho	No	No	No	Sí	Sí	Sí
Sedeniones ( ) $\mathbb{S}$	dieciséis	No	No	No	No	Sí	No
	> 16	No	No	No	No	Sí	No

El número de simetrías de campo disminuye con cada aplicación del procedimiento de Cayley-Dixon: primero desaparece la ordenación , luego la conmutatividad de la multiplicación, luego la asociatividad de la multiplicación y finalmente la alternancia de la multiplicación (ver tabla). Pero al mismo tiempo, todas las álgebras conservan la potencia asociativa de la multiplicación y, por definición [1] , son unitarias y su multiplicación es distributiva con respecto a la suma .

En un sentido más general, el procedimiento de Cayley-Dixon toma cualquier álgebra con una involución en otra álgebra con una involución dos veces la dimensión [2] :45 .

Caso general

Si para algunos números hay conceptos: multiplicación , número conjugado y norma numérica como (ver álgebra de composición ), entonces estos conceptos también se pueden introducir para pares ordenados de números : $a$ $b$ ${\ estilo de visualización \ |a|^{2}=a{\bar {a}}}$ $(a, b)$

$(a,b)(c,d)=(ac-{\bar {d}}b,da+b{\bar {c}})$ - la ley de la multiplicación de pares,

${\overline {(a,b)))=({\bar {a)),-b)$ - par conjugado.

Propiedades

norma (extendida) de un par ordenado:

|(a,b)|^{2}=(a,b){\overline {(a,b)}}=(a,b)({\bar {a}},-b)= (a{\bar {a}}+b{\bar {b}},ba-ba)=(|a|^{2}+|b|^{2},0)=|a|^{2 }+|b|^{2}

— es igual a cero solo cuando a = b = 0 .

Si el álgebra original era un álgebra de división asociativa , entonces la división (extendida) se define como o , lo que significa que la propiedad anterior implica la ausencia de divisores de cero . ${\ estilo de visualización \ r / q}$ ${\displaystyle {\frac {r{\bar {q}}}{|q|^{2))))$ ${\displaystyle {\frac {{\bar {q}}r}{|q|^{2))))$

Si esto es cierto para los números, entonces lo es para los pares ordenados: $\ {\overline {ab}}={\bar {b}}\cdot {\bar {a)),$

{\overline {(a,b)(c,d)}}=({\bar {c}}{\bar {a}}-{\bar {b}}d,-da-b{ \bar {c)))=({\bar {c)),-d)({\bar {a)),-b)={\overline {(c,d)))\cdot {\overline { (a,b)}}.

Si el álgebra original es asociativa , entonces el álgebra extendida está normalizada , porque:

|rq|^{2}=(rq){\overline {(rq)))=(rq)({\bar {q)){\bar {r)))=r(q{\bar {q))){\bar {r}}=|r|^{2}\cdot |q|^{2}.

En el caso general, el resultado resulta ser un álgebra no asociativa.

Heredado

Si el álgebra original tiene una unidad , entonces (1, 0) es una unidad en el álgebra extendida.

Si en el álgebra original cada elemento de la forma x + x * o x x * se asocia y conmuta con todos los elementos, entonces también lo es el álgebra extendida. En particular, cualquier elemento genera un *-álgebra conmutativa , lo que implica la propiedad de asociatividad de las potencias .

Debilitado

Si el álgebra original es conmutativa y la conjugación es idéntica , entonces el álgebra extendida es conmutativa.
Si el álgebra original es conmutativa y asociativa , entonces el álgebra extendida es asociativa.
Si el álgebra original es asociativa, y en el álgebra original cada elemento de la forma x + x * o x x * conmuta con todos los elementos, entonces el álgebra extendida es alternativa .

Usando el ejemplo de los números, uno puede rastrear cómo el campo C (un *-álgebra con conjugación no trivial) se obtiene del campo R con conjugación idéntica , a partir del cual se obtiene un *-álgebra ( cuerpo ) H no conmutativo , de donde se obtiene un álgebra O no asociativa , pero alternativa y normalizada, de modo que sin divisores de cero. Más álgebras tendrán divisores de cero, ya que la multiplicación ya no será compatible con la norma.

Aplicaciones

Números complejos

El procedimiento de Cayley-Dixon corresponde a la definición de números complejos como pares ordenados de números reales.

Cuaterniones

Un cuaternión arbitrario se puede representar como o, de manera equivalente, donde son números complejos , ya que es válido tanto para números complejos como para cuaterniones, y . $\q=a+bi+cj+dk$ $\ q=(a+bi)+(c+di)j$ $\ q=z_{1}+z_{2}\cdot j,\quad z_{1}=a+b\cdot i,\quad z_{2}=c+d\cdot i,$ $\z_{1},z_{2}$ $\ i^{2}=-1$ $k=i\cdot j$

Tomemos un cuaternión más Multiplicando y expandiendo los paréntesis (porque la multiplicación de cuaterniones es asociativa ), obtenemos: ${\ estilo de visualización \ r = w_ {1} + w_ {2} j.}$

{\ estilo de visualización \ qr = (z_{1}+z_{2}j)(w_{1}+w_{2}j)=z_{1}w_{1}+z_{1}w_{2}j+ z_ {2}jw_{1}+z_{2}jw_{2}j.}

Entonces, reordenando los factores , obtenemos: $\zj=j{\bar {z)),\;zw=wz,$ $\ qr=(z_{1}w_{1}-{\bar {w_{2))}z_{2})+(w_{2}z_{1}+z_{2}{\bar { w_{1}}})j.$

Por lo tanto, los cuaterniones se pueden definir como expresiones de la forma , satisfaciendo la fórmula de multiplicación anterior. Esta fórmula es interesante porque amplía la fórmula de multiplicación para números puramente complejos (es decir, cuaterniones con ). $\z_{1}+z_{2}\cdot j$ ${\ estilo de visualización z_ {2} = w_ {2} = 0}$

Generalizaciones

Las fórmulas anteriores construyen sistemas hipercomplejos cuando la " unidad imaginaria de extensión" tiene un cuadrado igual a " −1 ". Pero al crear pares, el cuadrado de la nueva "unidad imaginaria" se puede tomar [3] como "+1" o incluso "0" y también se puede cambiar la ley (extendida) de la multiplicación de pares (ver Álgebra de Clifford ). Es cierto que entonces la norma y las conjugaciones (de varios tipos) deben construirse de manera más difícil, y también pueden surgir divisores de cero no triviales.

Notas

↑ Kantor I. L., Solodovnikov A. S. Números hipercomplejos . - Moscú: Nauka , 1973. - S. 33-34. — 144 pág. (Ruso)
↑ Schafer, Richard D. (1995), Una introducción a las álgebras no asociativas , Publicaciones de Dover , ISBN 0-486-68813-5 , < https://archive.org/details/introductiontono0000scha >
↑ Alberto, Abraham Adrián . Formas cuadráticas que permiten la composición. Anales de Matemáticas. Segunda serie, vol. 43, págs. 161-177

Enlaces

Dickson, LE (1919), Sobre los cuaterniones y su generalización y la historia del teorema de los ocho cuadrados , Annals of Mathematics , Segunda serie (Annals of Mathematics). — T. 20 (3): 155–171, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/1967865
HyperJeff esbozando la historia de los números hipercomplejos 1996–2006
ILLINOIS. Kantor, A. S. Solodovnikov. números hipercomplejos. - Moscú, "Nauka". — 1973.
EA Karataev “Números hipercomplejos. clasificador"

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