Vibraciones pseudo-armónicas

La oscilación pseudoarmónica es un tipo de oscilación en la que la fuerza restauradora (la fuerza que tiende a devolver el cuerpo a un estado de equilibrio) no es lineal en la magnitud de la desviación. En otras palabras, se trata de vibraciones para las que la "flexibilidad" del sistema depende del desplazamiento.

La ecuación de oscilación

Forma general de la ecuación de oscilaciones pseudoarmónicas:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,x^{2},x^{3},\dots )

Si es posible despreciar todos los términos de F que no son lineales en x, entonces esta ecuación se convierte en una ecuación de oscilaciones armónicas .

Ejemplos

Un alambre elástico sin peso de longitud 2l está fijo en ambos extremos. Una carga de masa m está fija en el medio del alambre. En el momento inicial, la carga se retira de la posición de equilibrio una distancia a << l y se suelta sin velocidad inicial. La fuerza de tensión del alambre es P, su sección transversal es F y el módulo de Young es E. La ecuación de oscilación en este caso se escribirá como:

m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {2Px}{l}}-{\frac {EFx^{3}}{l^{ 3}}}

La solución a esta ecuación se puede representar como:

x=a\,\operatorname {cn} \left({\sqrt {\frac {2Pl+EFa^{2}}{ml^{3}}}}t\right)

Aquí el símbolo denota la función elíptica de Jacobi . El período de tales oscilaciones es igual a: ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {cn}}$

T=4{\sqrt {\frac {ml^{3}}{2Pl+EFa^{2}}}}K\left({\sqrt {\frac {EFa^{2}}{4Pl^ {2}+2EFa^{2}}}}\right)

Aquí K es la integral elíptica normal completa de primera clase

Véase también

vibraciones armónicas

Literatura

Yu.S. Ecuaciones diferenciales ordinarias de Sikorsky //M., URSS, 2005