Distancia

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Distancia , en un sentido amplio, el grado (medida) de la distancia de los objetos entre sí.

La distancia es un concepto fundamental de la geometría . El término suele utilizarse en otras ciencias y disciplinas: astronomía , geografía , geodesia , navegación y otras. En varias disciplinas, como término, tiene una definición diferente, que se presenta a continuación.

Distancia en matemáticas

Distancia en álgebra

El contenido del término "distancia" en álgebra está relacionado con el concepto de métrica y espacio métrico .

Un conjunto X se llama espacio métrico si tal aplicación, llamada métrica, X² en un conjunto de números no negativos se da tal que para cualquier elemento a, b, c del conjunto X los siguientes axiomas, llamados de Fréchet axiomas, mantenga :

1) , además, la igualdad se satisface si y sólo si los elementos ayb son iguales; ${\ estilo de visualización \ rho (a; b) \ geq 0}$

2) ; ${\ estilo de visualización \ rho (a; b) = \ rho (b; a)}$

3) . ${\ estilo de visualización \ rho (a; b) \ leq \ rho (a; c) + \ rho (c; b)}$

Para el tercer axioma, un caso especial es la desigualdad triangular .

Distancia en el conjunto de los números reales Introducción de métricas

Para el conjunto de todos los números reales, los matemáticos consideran que la distancia del número a al número b es el número . ${\ estilo de visualización | ab |}$

Es fácil ver que el conjunto de números reales con una métrica dada es un espacio métrico.

Prueba

La primera condición se cumple, ya que el módulo de cualquier número real de la definición es un número no negativo, además, el módulo del número es igual a cero si y solo si la expresión bajo el módulo es igual a cero, por lo que, si se satisface la igualdad, entonces los números son iguales.

La segunda propiedad es verdadera, ya que de las propiedades del módulo numérico: . $|ab|=|ba|$

La tercera propiedad se cumple, ya que la propiedad misma es equivalente a , pero , y el módulo de la suma siempre no excede la suma de los módulos. $|ab|\leq |ac|+|cb|$ ${\ estilo de visualización (ac) + (cb) = ab}$

Distancia en el conjunto de pares de números reales

De las principales métricas en el conjunto de pares de números reales (y en interpretación gráfica, el conjunto de todos los puntos del plano), se distinguen dos: la métrica de Descartes y la métrica de Euclides .

La métrica de Descartes Introducción de métricas

Para el conjunto de pares de números reales, se da la métrica de Descartes:

$\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|$ .

Asegurémonos de que el conjunto de pares de números reales (R²) con la métrica de Descartes introducida es un espacio métrico.

Prueba

La primera propiedad obviamente se cumple, ya que la suma de los módulos, cada uno de los cuales es un número no negativo, también es un número no negativo. Además, la igualdad se satisface si y solo si ambas expresiones bajo el módulo son iguales a cero, pero entonces los pares de elementos considerados del conjunto también son iguales.

La segunda propiedad se cumple porque . $\rho ((a;b);(c;d))=|ac|+|bd|=|ca|+|db|=\rho ((c;d);(a;b))$

Demostremos la tercera propiedad:

Sean dados tres pares de números reales, (a; b), (c; d), (e; f). Entonces la desigualdad requerida se puede escribir de la siguiente forma:

$|ac|+|bd|\leq |ax|+|by|+|xc|+|yd|$ . Esta desigualdad es verdadera, lo que se sigue de la suma de las siguientes dos desigualdades demostradas anteriormente:

$|ac|\leq |ax|+|xc|$ y . $|bd|\leq |by|+|yd|$

Métrica de Euclides Introducción de métricas

Para un conjunto de pares de números reales, se da la métrica euclidiana:

${\displaystyle \rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))))$ .

Verifiquemos que el conjunto R² con la métrica euclidiana introducida es un espacio métrico.

Prueba

La primera propiedad se cumple porque la raíz aritmética de un número no negativo siempre es no negativa. Si, por otro lado, se satisface la igualdad a cero, entonces ambas expresiones al cuadrado son iguales a cero, por lo que el requisito es obvio.

La segunda propiedad se cumple porque . $\rho ((a;b);(c;d))={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))}={\sqrt {(ca)^{ 2}+(db)^{2}}}=\rho ((c;d);(a;b))$

Demostremos la tercera propiedad:

Sean dados tres pares de números reales, (a; b), (c; d), (e; f). Entonces la desigualdad requerida se puede escribir de la siguiente forma:

${\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2}}}\leq {\sqrt {(ae)^{2}+(bf)^{2}}}+{\ raíz cuadrada {(ec)^{2}+(fd)^{2}}}$ . Después de elevar al cuadrado y transformar esta expresión, llegamos a la siguiente desigualdad:

$(ae)(ec)+(bf)(fd)\leq {\sqrt {((ae)^{2}+(bf)^{2})((ec)^{2}+(fd )^{2})}}$ , lo cual es cierto, que se sigue de la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky (con un cambio apropiado de diferencias de números).

Distancia en geometría

En geometría, la distancia entre figuras es la longitud mínima posible del segmento entre un punto perteneciente a la primera figura y un punto perteneciente a la segunda figura.

Distancia en tecnología

La distancia entre objetos es la longitud de un segmento de línea recta que conecta dos objetos. La distancia en este sentido es una cantidad física con la dimensión de longitud, el valor de la distancia se expresa en unidades de longitud.

Distancia en física

Distancia
s
Unidades
SI	metro
SGA	cm

En física, la distancia se mide en unidades de longitud , que en la mayoría de los sistemas de medición es una de las unidades básicas de medida . En el Sistema Internacional de Unidades (SI) , la unidad de longitud es el metro . La distancia también se llama la longitud del camino recorrido por un objeto. En este caso, la derivada de la distancia (radio vector) con respecto al tiempo es la velocidad .

Otros usos

En proxémica , el concepto de distancia se utiliza para describir el espacio personal de una persona.

Véase también

Notas

Literatura

Distancia cenital // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.