Los números autogenerados son números que no se pueden obtener sumando otro número, llamado generador, a la suma de sus dígitos.
Considere un procedimiento que Kaprekar llama suma de dígitos . Elijamos cualquier número entero y sumemos a él la suma de sus dígitos. Por ejemplo, si elegimos el número 47, entonces la suma de sus dígitos es 4 + 7 = 11 y 47 + 11 = 58. El nuevo número 58 se llama número generado , y el número original 47 se llama su generador . El proceso puede repetirse indefinidamente, formando una secuencia generada por la suma digital 47, 58, 71, 79,...
Se desconoce una fórmula no recursiva para la suma parcial de los miembros de esta secuencia, pero existe una fórmula simple para la suma de los dígitos de todos los números en ella: restar el primer número del último y sumar la suma de los dígitos del último número.
Los números generados pueden tener más de un generador. El número más pequeño con más de un generador (Kaprekar llama a estos números compuestos ) es 101 y tiene dos generadores: 91 y 100. El número compuesto más pequeño con tres generadores es 10,000,000,000,001 y es generado por los números 10,000,000,000,000, 9 999 999 999 901 y 9 999 999 999 892. El número más pequeño con cuatro generadores, descubierto por Kaprekar el 7 de junio de 1961 , tiene 25 dígitos: 10 24 + 102. Así, los números más pequeños con n=2, 3, ... generadores forman una secuencia:
101, 10000000000001, 1000000000000000000000102, … (secuencia A006064 en OEIS )Kaprekar también logró descubrir, como sugiere, las conexiones numéricas más pequeñas con 5 y 6 generadores.
Un número autogenerado es un número que no tiene generador, en palabras de Kaprekar, “se genera a sí mismo”. Hay una cantidad infinita de números autogenerados, pero son mucho más raros que los números generados. Los números autogenerados forman una secuencia:
1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, … (secuencia A003052 en OEIS )Los números simples autogenerados se llaman números primos propios . El conocido número "cíclico" 142.857 (cuando se multiplica por números del 1 al 6, siempre obtienes un producto escrito con los mismos 6 dígitos, solo que reorganizados en un orden cíclico) pertenece al número de números autogenerados. Los números autogenerados también son números como 11 111 111 111 111 111 111 y 3 333 333 333.
Algunas potencias del número 10 son autogeneradas. El número 10 es generado por el número 5, el número 100 por el número 86, el 1000 por el número 977, el 10 000 por el número 9968 y el 100 000 por el número 99959. Sin embargo, 1,000,000 es un número autogenerado, y la potencia que sigue a un millón de decenas, que es un número autogenerado, es 10 16 .
Hasta el momento, no ha sido posible encontrar una fórmula no recursiva que le permita obtener todos los números autogenerados, pero existe un algoritmo simple que le permite verificar la autogeneración de cualquier número (es decir, determinar si un número dado es autogenerado).
Los números autogenerados fueron descritos por primera vez en 1949 por el matemático indio D. R. Kaprekar , quien les dedicó varios libros. Durante mucho tiempo, los números autogenerados no se conocían fuera de la India , hasta que en 1974 apareció un artículo sobre ellos (con otro nombre) en la revista American Mathematical Monthly , [1] en el que se demostraba que existe un número infinito . número de números autogenerados.
En el segundo volumen de la " Enciclopedia Infantil " (URSS), dedicado a las matemáticas, hay un artículo sobre números autogenerados, donde se les llama "números pepita". [2]