Serie de potencia

Una serie de potencias con una variable es una expresión algebraica formal de la forma:

F(X)=\sum \limits_{{n=0}}^{{\infty}}a_{n}X^{n},

en el que los coeficientes se toman de algún anillo . ${un}}$ ${R}$

Espacio de series de potencias

El espacio de series de potencias con una variable y coeficientes de se denota por . El espacio tiene la estructura de un álgebra diferencial sobre un anillo ( conmutativa , integral, con unidad si así es el anillo ). A menudo se usa en matemáticas debido al hecho de que las relaciones formales diferenciales-algebraicas e incluso funcionales son fácilmente representables y resolubles en él (ver el método de generación de funciones ). Al usarlo, estas relaciones se convierten en ecuaciones algebraicas para los coeficientes de la serie. Si se resuelven, se habla de obtener una solución formal al problema original en forma de serie formal de potencias. ${R}$ $R[[X]]$ $R[[X]]$ ${R}$ ${R}$

Se definen las operaciones de suma, multiplicación, diferenciación formal y superposición formal . Dejar $R[[X]]$

F(X)=\sum \limits_{{n=0}}^{{\infty}}a_{n}X^{n},G(X)=\sum \limits_{{n=0} }^{{\infty }}b_{n}X^{n},H(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}c_{n}X^{n }.

Después:

H=F+G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}

H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{{k+l=n}}a_{k}b_{l}

H=F\circ G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{{s=1}}^{n}a_{s}\sum \limits _{{k_{1}+ \puntos +k_{s}=n}}b_{{k_{1}}}b_{{k_{2}}}\puntos b_{{k_{s}}}

(si bien es necesario cumplir con )

b_{0}=0

H=F'\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{{n+1}}

Convergencia de series de potencias

A partir de una serie de potencias formales con coeficientes reales o complejos, asignando algún valor a una variable formal en el campo de los números reales o complejos, se puede obtener una serie numérica . Una serie de números se considera convergente ( sumable ) si converge una secuencia de sumas parciales compuesta por sus miembros, y se llama absolutamente convergente si converge una secuencia de sumas parciales compuesta por sus términos tomados módulo (en norma). ${X}$

Señales de convergencia

Para las series de potencias, existen varios teoremas que describen las condiciones y la naturaleza de su convergencia.

Primer teorema de Abel : Que la serieconverja en un punto. Entonces esta serie converge absolutamente en el círculoy uniformemente encualquier subconjunto compacto de este círculo. $\Sigma\,a_{n}x^{n}$ ${x_{0}}$ ${|x|<|x_{0}|}$ ${X}$

Invirtiendo este teorema, obtenemos que si una serie de potencias diverge para , diverge para todo tal que . También se sigue del primer teorema de Abel que existe tal radio del círculo (posiblemente cero o infinito) que para , la serie converge absolutamente (y uniformemente en subconjuntos compactos del círculo ), y para , diverge. Este valor se llama radio de convergencia de la serie, y el círculo se llama círculo de convergencia. ${x=x_{0}}$ ${X}$ ${|x|>|x_{0}|}$ ${R}$ ${|x|<R}$ $X$ ${|x|<R}$ ${|x|>R}$ $R$ ${|x|<R}$

Fórmula de Cauchy-Hadamard : el valor del radio de convergencia de una serie de potencias (si existe un límite superior y es positivo, el teorema de la serie de potencias de Hadamard ) se puede calcular a partir de la fórmula:

{1 \over R}={\varlimsup \limits _{{n\rightarrow +\infty }}}\,|a_{n}|^{{1/n}}

(Para la definición del límite superior, consulte el artículo " Límite de secuencia parcial ".) $\varlimsup \limits _{{n\rightarrow +\infty}}$

Sean y dos series de potencias con radios de convergencia y . Después $F(x)$ $g(x)$ ${R_{F}}$ ${R_{G}}$

R_{{F+G}}\geq\min\{R_{F},\,R_{G}\}

R_{{F\cdot G}}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}

R_{{F'}}\,=\,R_{F}

Si el intercepto de la serie es cero, entonces $g(x)$

R_{{F\circ G}}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}

La cuestión de la convergencia de la serie en los puntos de la frontera del círculo de convergencia es bastante complicada y no hay una respuesta general aquí. Estos son algunos de los teoremas sobre la convergencia de una serie en los puntos límite del círculo de convergencia: ${|x|=R}$

Signo de D'Alembert : Si la desigualdad se cumple para y $n>N$ $\ alfa > 1$

\left|{a_{n} \over a_{{n+1}}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)

entonces la serie de potencias converge en todos los puntos del círculo de manera absoluta y uniforme en .

\Sigma\,a_{n}x^{n}

{|x|=R}

X

Signo de Dirichlet : si todos los coeficientes de una serie de potencias sonpositivos y la secuenciaconverge monótonamente a cero, entonces esta serie converge en todos los puntos del círculo, excepto quizás en el punto. $\Sigma\,a_{n}x^{n}$ $un$ ${|x|=1}$ ${x=1}$

La suma de una serie de potencias en función de un parámetro complejo es un tema de estudio en la teoría de funciones analíticas . $X$

Véase también

Variaciones y generalizaciones

Una serie de potencias en n variables es una expresión algebraica formal de la forma:

F(X_{1},X_{2},\puntos,X_{n})=\sum \limits _{{k_{1},k_{2},\puntos,k_{n}=0}}^ {{+\infty }}a_{{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}}X_{1}^{{k_{1}}}X_{2}^{{k_ {2}}}\puntos X_{n}^{{k_{n}}}

o, en notación multiíndice,

F(X)=\sum \limits _{{\alpha }}a_{{\alpha }}X^({\alpha }}),

donde es un vector , es un multiíndice , es un monomio . El espacio de series de potencias en variables y coeficientes de se denota por . Define las operaciones de suma, multiplicación, diferenciación con respecto a cada variable y superposición local. Dejar $X$ $X=(X_{1},X_{2},\puntos,X_{n})$ $\alfa$ $\alpha =(k_{1},k_{2},\puntos,k_{n})$ $X^{{\ alfa))$ $X^{{\alfa}}=X_{1}^{{k_{1}}}X_{2}^{{k_{2}}}\puntos X_{n}^{{k_{n}}}$ $norte$ $R$ $R[[X_{1},X_{2},\puntos,X_{n}]]$ $norte$

F(X)=\sum \limits _{{\alpha }}a_({\alpha }}X^{{\alpha }}),G(X)=\sum \limits_{{\alpha }}b_ { {\alpha }}X^{{\alpha }},H(X)=\sum \limits _{{\alpha }}c_({\alpha }}X^{{\alpha }}.

Después:

H=F+G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_({\alpha }}=a_{{\alpha }}+b_{{\alpha }}

H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_({\alpha }}=\sum \limits _({\beta +\gamma =\alpha }}a_{{\beta }}b_{{\gamma}}

H={\F parcial \sobre \X_{i}}\Leftrightarrow \forall (k_{1},k_{2},\dots,k_{n})\,c_{{k_{1},k_{ 2},\puntos,k_{n}}}=(k_{i}+1)a_{{(k_{1},k_{2},\puntos,k_{i}+1,\puntos,k_{ norte})}}