Teorema de Abel sobre la insolubilidad de ecuaciones en radicales

El teorema de Abel-Ruffini establece que una ecuación de grado algebraica general no se puede resolver en radicales [1] .

Detalles

La teoría de Galois describe el grupo de permutaciones de las raíces de los polinomios . La demostración moderna del teorema se basa en los siguientes dos hechos:

• Cuando el grado del polinomio es mayor o igual a 5 , el grupo de Galois del polinomio es el grupo de permutación [2] .
• Cuando el grupo de permutaciones no tiene solución [3] .

Es fácil ver que una parte significativa de la prueba está "oculta" en la teoría de Galois.

El teorema de Abel-Ruffini no establece que la ecuación general de grado th no tenga solución. Si se permiten soluciones complejas , entonces el teorema fundamental del álgebra garantiza la existencia de soluciones. La esencia del teorema de Abel-Ruffini se reduce al hecho de que para ecuaciones arbitrarias de grado mayor que el cuarto es imposible indicar una fórmula explícita para las soluciones, es decir, una fórmula que defina todas las soluciones posibles y contenga solo operaciones aritméticas y raíces de un grado arbitrario.

Las soluciones a tales ecuaciones se pueden obtener con cualquier precisión deseada utilizando métodos numéricos como el método de Newton .

Además, las raíces de algunas ecuaciones de mayor grado se pueden expresar en radicales. Por ejemplo, la ecuación tiene una raíz .

Aunque una ecuación quíntica no se puede resolver en radicales, existen fórmulas para sus raíces usando funciones theta .

Fórmulas explícitas para potencias menores a 5

Para ecuaciones con un grado menor que el quinto, puede especificar una fórmula de solución explícita. Este hecho puede considerarse como la "segunda parte" o como el teorema "inverso" de Abel-Ruffini. Aunque esta afirmación no se deriva del teorema de Abel-Ruffini, es cierta: véanse las fórmulas de Cardano (para ecuaciones de tercer grado) y de Ferrari (para ecuaciones de cuarto) [4] .

Historia

La primera demostración del teorema fue publicada en 1799 por Ruffini . Había varias inexactitudes en la prueba. En 1824 Abel publicó una prueba completa .

Sus pruebas se basaron en las ideas de Lagrange de permutar las raíces de una ecuación. Posteriormente, estas ideas se desarrollaron en la teoría de Galois , que permitió la formulación del moderno enunciado de las demostraciones y sirvió como punto de partida en el desarrollo del álgebra abstracta .

Tipos de ecuaciones resolubles

Aunque el teorema establece que las ecuaciones no tienen una fórmula general para resolver, algunos tipos de ecuaciones de alto grado admiten soluciones exactas. Entre ellos:

• ecuación homogénea
• Ecuación de retorno

Véase también

• Teoría de Galois
• Raíz de Bringa
• El método de Lily es un método gráfico para encontrar las raíces reales de polinomios de grado arbitrario.
• Resolvente de una ecuación algebraica
• Ecuación de sexto grado

Notas

1. ↑ Alekseev, 2001 , pág. 112.
2. ↑ Alekseev, 2001 , pág. 187.
3. ↑ Alekseev, 2001 , pág. cincuenta.
4. ↑ Alekseev, 2001 , pág. 9-12.

Literatura

• Alekseev, Teorema de V. B. Abel en problemas y soluciones. -M.: MTSNMO, 2001. - 192 p. -ISBN 5-900916-86-3. (Ruso)
• Tabachnikov, S. L. , Fuchs, D. B. Diversión matemática. Conferencia 5. - MTSNMO, 2011. - 512 págs. -ISBN 978-5-94057-731-7. (Ruso)
• Bosch, S. Álgebra  (alemán) . — 6. Auflage. - Springer , 2006. - ISBN 3-540-29880-0 .
• Dehn, E. Ecuaciones algebraicas: una introducción a las teorías de Lagrange y Galois  (inglés) . — Nueva York: Prensa de la Universidad de Columbia , 1930.
• Fraleigh, JB Unprimer curso de álgebra abstracta  . — Séptima edición. - Pearson Education Limited, 2014. - ISBN 1-292-02496-8 .
• Stewart , I. Teoría de Galois . - Segunda edicion. -Chapman & Hall, 1989. -ISBN 978-94-010-6864-2.

Enlaces

• Weisstein, Eric W. Abel's Impossibility Theorem  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Galois's Theorem  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
• David Terr y Eric W. Weisstein. Galois Group  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
• Weisstein, Eric W. Solvable Group  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .