Igualdad de derivadas mixtas

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Las derivadas parciales mixtas de una misma función, que se diferencian únicamente en el orden (orden) de derivación, son iguales entre sí siempre que sean continuas. Tal propiedad se llama igualdad de derivadas mixtas .

El enunciado sobre la igualdad de las derivadas mixtas en sí mismo se conoce en varias fuentes como el teorema de Schwarz , el teorema de Clairaut o el teorema de Yang .

Teorema

Definición de derivada mixta

Sea dada una función suficientemente suave (escalar) de varias variables: $F$

{\ estilo de visualización (1) \ qquad f = f (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos x_ {n})}

Podemos tomar la derivada parcial de esta función con respecto a uno de los argumentos , considerando los argumentos restantes como parámetros constantes. Como resultado, obtendremos una nueva función: $x_{yo}$

(2)\qquad \phi (x_{i})={\parcial f \over \parcial x_{i}}{\bigg |}_{x_{1},\dots x_{i-1} ,x_{i+1},\puntos x_{n}=const}

Esta nueva función también depende de los otros argumentos como parámetros. Es decir, el valor numérico generalmente depende de las mismas variables que la función original : $\fi$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\puntos x_{n))$ $F$

(3)\qquad \phi =\phi (x_{1},x_{2},\puntos x_{n})

Si la función resulta ser lo suficientemente suave, entonces también podemos derivarla tomando una derivada parcial con respecto al mismo o diferente argumento : $\fi$ $x_{j}$

(4)\qquad {\parcial \phi \sobre \parcial x_{j))={\parcial ^{2}f \sobre \parcial x_{j}\parcial x_{i))

Si , entonces la expresión del lado derecho de la igualdad (4) se llama derivada mixta . $j\neq i$

Base del teorema

Para una función suave de muchas variables, el valor de la derivada mixta no depende del orden de diferenciación:

(5)\qquad {\parcial ^{2}f \over \parcial x_{i}\parcial x_{j))={\parcial ^{2}f \over \parcial x_{j}\parcial x_{i}}

El teorema es básico en la teoría de funciones de muchas variables y se usa ampliamente en física matemática, teoría de ecuaciones diferenciales parciales y geometría diferencial.

Grado necesario de suavidad

El grado de suavidad requerido debe especificarse paso a paso.

1. Validez de una función analítica (teorema).
2. Validez para una clase más amplia de funciones que solo tienen derivadas continuas en la vecindad de un punto:

(6)\qquad {\parcial f \over \parcial x_{i)),\;{\parcial f \over \parcial x_{j)),\;{\parcial ^{2}f \over \parcial x_{i}\parcial x_{j)),{\parcial ^{2}f \sobre \parcial x_{j}\parcial x_{i))

3. Dado que para índices fijos todas las derivadas de la lista (6) se toman con la condición de que cualquier tercer argumento sea una constante, la función (así como todas las derivadas (6)) puede ser discontinua con respecto a los terceros argumentos. Por ejemplo, compongamos una función de dos términos: $yo, j$ $x_k$ $F$

f(x_{1},x_{2},\puntos x_{n})=\Phi (x_{i},x_{j})+Z(\puntos x_{i-1},x_{ i+1},\puntos x_{j-1},x_{j+1},\puntos)

donde el primer término es una función uniforme de dos argumentos y el segundo término es discontinuo en todos los puntos.

Un refinamiento adicional de la suavidad de la función debe hacerse en el curso de la demostración del teorema; se formulará al final.

Prueba del teorema

Como se indicó anteriormente, para probar el teorema, se puede ignorar la dependencia de la función en el tercer argumento. Por lo tanto, para facilitar la notación, cambiaremos la notación a , es decir, consideraremos tal función de dos variables: ${\ estilo de visualización x_ {i}, x_ {j}}$ $x, y$

{\ estilo de visualización (7) \ qquad f = f (x, y)}

Además, para simplificar las fórmulas, denotaremos las derivadas parciales mediante índices en la parte inferior de la función:

(8)\qquad f_{x}(x,y)={\parcial f(x,y) \over \parcial x},\;f_{y}(x,y)={\parcial f (x,y) \sobre \parcial y}

(8a)\qquad f_{xy}={\parcial ^{2}f \sobre \parcial x\parcial y},\;f_{yx}={\parcial ^{2}f \sobre \parcial y\parcial x}

Sea una derivada mixta en un punto: $(x, y)$

(9)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,y)-f_{y}(x, y) \sobre \Delta x}

Suponga que existe una derivada mixta en , y que también existe una primera derivada a lo largo de la línea (horizontal) $f_{xy}$ $(x, y)$ ${\ Displaystyle f_ {y} (x, y)}$ ${\ estilo de visualización y = constante}$ .

Además, la diferencia de derivadas es igual a la derivada de la diferencia, por lo que convertimos la fórmula (9) en:

(10)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\parcial \over \partial y}\left[f (x+\Delta x,y)-f(x,y)\derecha]

Esta transformación no impone ninguna condición adicional, ya que la diferencia de funciones diferenciables es siempre una función diferenciable.

Además, la diferencia entre corchetes de la fórmula (10) se puede escribir como una integral definida de la derivada:

(11)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\parcial \over \partial y}\int_{ x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi

Es necesario que exista una derivada parcial a lo largo de una línea recta $f_{x}$ ${\ estilo de visualización y = constante}$ .

Ahora escribimos la derivada parcial con respecto a y en la fórmula (11) según la definición de la derivada como límite:

(12)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim_{\Delta y\rightarrow 0}{1 \sobre \Delta y}\left(\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y+\Delta y)d\xi -\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi,y)d\xi\right)

Como puedes ver, es necesario que la derivada parcial exista no solo en la línea , sino en alguna vecindad bidimensional del punto . $f_{x}$ ${\ estilo de visualización y = constante}$ $(x, y)$

Además, la diferencia de las integrales es igual a la integral de la diferencia, y se puede introducir un factor constante bajo el signo integral : ${1 \sobre \Delta y}$

(13)\qquad f_{xy}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\int_{x}^ {x+\Delta x}{f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \sobre \Delta y}d\xi

Esta transformación tampoco impone condiciones adicionales, ya que la diferencia de funciones integrables es una función integrable.

Según el teorema de Lagrange, el integrando en la fórmula (13) es igual a la derivada en el punto medio:

(14)\qquad {f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}=f_{yx}(\xi ,\eta )

El punto medio es una función:

(14a)\qquad \eta =\eta (\xi,\Delta y)

cuyos valores se encuentran en el intervalo (si, por ejemplo, ) ${\ estilo de visualización \ Delta y> 0}$

(14b)\qquad \eta \in \,[y,y+\Delta y]

Para la validez de (14), se requiere la existencia de una derivada mixta en alguna vecindad bidimensional del punto . ${\displaystyle f_{yx}={\parcial ^{2}f \over \parcial y\parcial x))$ $(x, y)$

Para completar la demostración, debemos suponer que la derivada mixta es continua en un punto en función de dos variables. El valor de esta derivada en un punto cercano es igual, hasta un término infinitesimal, al valor de la derivada en el punto : $(x, y)$ ${\ estilo de visualización (\ xi, \ eta)}$ $(x, y)$

(15)\qquad f_{yx}(\xi ,\eta )=f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y)

La derivada mixta existe en una vecindad bidimensional de un punto y es continua en ese punto como una función de dos variables. ${\ Displaystyle f_ {yx}}$ $(x, y)$

Sustituye (14) y (15) en (13):

(16)\qquad f_{xy}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\int_{x}^ {x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi

Tenga en cuenta que la fórmula (16) es equivalente a la fórmula (13) (aunque en una notación diferente) y, por lo tanto, existen la integral y ambos límites. Dado que el integrando en (16) es integrable, y el primer término es una constante con respecto a la variable de integración , el segundo término también resulta ser integrable, y podemos dividir la integral en la suma de dos integrales, la primera de que se toma fácilmente como una integral de la constante: ${\ Displaystyle f_ {yx} (x, y)}$ $\xi$

(17)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi =\ int _{x}^{x+\Delta x}f_{yx}(x,y)d\xi +\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y) d\xi =

=f_{yx}\Delta x+\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y)d\xi

Después de sustituir (17) en (16), podemos tomar el término constante primero fuera del primer límite y luego fuera del otro límite:

(18)\qquad f_{xy}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\left(f_{yx}(x,y)\Delta x+\lim _ {\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \right)=

=f_{yx}(x,y)+\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\int_{x} ^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi

Demostremos que el segundo término en la última expresión de la fórmula (18) es igual a cero. Tomemos un número positivo arbitrario . La continuidad de la derivada mixta en un punto significa que existe un número positivo tal que para cada punto dentro del cuadrado se cumple la siguiente desigualdad: $\epsilon$ ${\ Displaystyle f_ {yx}}$ $(x, y)$ $\delta$ ${\ estilo de visualización (\ xi, \ eta)}$ $|\xi -x|<\delta ,\;|\eta -y|<\delta$

(19)\qquad |o(\xi -x,\eta -y)|=|f_{yx}(\xi ,\eta )-f_{yx}(x,y)|<\epsilon

Si tomamos números positivos , entonces la integral en el último término de la fórmula (18) se estima desde arriba: $\Delta x<\delta ,\;\Delta y<\delta$

(20)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi <\int _{x }^{x+\Delta x}\epsilon d\xi =\epsilon \Delta x

Denotemos este término $L$

(21)\qquad L=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\int_{x}^{x+\ Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \leq \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _ {\Delta y\rightarrow 0}\epsilon \Delta x=\epsilon

De manera similar (si tomamos ), tenemos un límite inferior: $-\epsilon <\Delta x<0$

(22)\qquad L\geq -\epsilon

Dado que un número positivo puede ser arbitrariamente pequeño, necesariamente sigue . El teorema ha sido probado. $\epsilon$ ${\ estilo de visualización L = 0}$

Refinamiento de la suavidad de una función

Como se puede ver en el transcurso de la demostración, se requiere que la función tenga una derivada mixta (por ejemplo, ) en un punto, así como la existencia de una segunda derivada mixta en una vecindad bidimensional del punto y su continuidad en este punto. Esta condición también implica la existencia de una derivada a lo largo de un segmento de línea y la existencia de una derivada en una vecindad bidimensional de un punto. $f_{xy}$ ${\ Displaystyle f_ {yx}}$ ${\ Displaystyle f_ {y}}$ ${\ estilo de visualización y = constante}$ $f_{x}$

Además, la existencia en un punto se sigue de dos hechos: (a) hay una derivada a lo largo de un segmento de línea que pasa por el punto , (b) existe una derivada mixta y es continua en este punto. $f_{xy}$ $(x, y)$ ${\ Displaystyle f_ {y}}$ ${\ estilo de visualización y = constante}$ $(x, y)$ ${\ Displaystyle f_ {yx}}$

Ejemplo

Considere la función

(23)\qquad f(x,y)=xy+y^{2}\chi (y)

donde la función de Dirichlet es cero en los puntos racionales y uno en los irracionales. La función (23) está definida en todo el plano; es continua (en función de dos variables) a lo largo de la línea y es discontinua en todos los demás puntos del plano. ${\ estilo de visualización \ chi (y)}$ $y={m \sobre n}$ ${\ estilo de visualización y = 0}$

En todas partes hay una derivada parcial continua:

(24)\qquad f_{x}(x,y)={\f parcial \sobre \x parcial}=y

y también uno de los derivados mixtos:

(25)\qquad f_{yx}(x,y)={\parcial ^{2}f \over \parcial y\parcial x}=1

La derivada parcial con respecto a y existe solo en los puntos de la recta : $y=0$

(26)\qquad f_{y}(x,0)=x

También en los mismos puntos de la recta hay una segunda derivada mixta:

(27)\qquad f_{xy}(x,0)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,0)-f_{y}(x, 0) \sobre \Delta x}=1

Como puedes ver, para los puntos de la recta , se cumplen las condiciones del teorema, y ambas derivadas mixtas son iguales. ${\ estilo de visualización y = 0}$

Contraejemplo

Considere una función de dos variables $x, y$

(28)\qquad f(x,y)={|ax+by|^{3} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2))))

donde las letras indican algunos parámetros distintos de cero. La fórmula (28) define una función continua en todo el plano excepto en el origen . Podemos redefinir la función en el origen $a, b$ ${\ estilo de visualización x = 0, \; y = 0}$ $f(x,y)$

{\ estilo de visualización (29) \ qquad f (0,0) = 0}

De acuerdo con estas definiciones, la función también será continua en el origen, lo que se puede ver presentando la fórmula (28) en el sistema de coordenadas polares (y dirigiendo ): ${\ estilo de visualización r \ flecha derecha 0}$

(30)\qquad f(r,\phi )=(a^{2}+b^{2})^{3 \over 2}\,r^{2}|\sin(\phi + \phi _{0})|^{3}

Demostremos que para esta función extendida existen derivadas mixtas en el origen, pero no son iguales entre sí. $f(x,y)$

Primero, calculamos las primeras derivadas . Como resultado intermedio, notamos que la función del cubo del módulo es dos veces diferenciable, y sus derivadas primera y segunda se calculan mediante las fórmulas: ${\ estilo de visualización f_ {x}, \, f_ {y}}$

(31)\qquad {d \sobre dx}|x|^{3}=3x|x|

(31a)\qquad {d^{2} \sobre dx^{2}}|x|^{3}={d \sobre dx}(3x|x|)=6|x|

Ahora, teniendo en cuenta (28) y (31), escribimos las primeras derivadas de la función en un punto del plano distinto del origen ( ): $f(x,y)$ ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2))))$

(32)\qquad f_{x}=3a{(ax+by)|ax+by|  \sobre r}-{x \sobre r^{3}}|ax+por|^{3}

(33)\qquad f_{y}=3b{(ax+por)|ax+por|  \sobre r}-{y \sobre r^{3}}|ax+por|^{3}

También puedes calcular las primeras derivadas en el origen, según la definición de derivada:

(32a)\qquad f_{x}(0,0)=\lim_{x\rightarrow 0}{f(x,0)-f(0,0) \over x}=\lim_{ x\rightarrow 0}{|ax|^{3} \over {x|x|}}=0

Similarmente

(33a)\qquad f_{y}(0,0)=0

Pasamos ahora al cálculo de derivadas mixtas en el origen:

(34)\qquad f_{xy}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f_{y}(x,0)-f_{y}(0,0) \over x }=\lim _{x\rightarrow 0}{1 \sobre x}\left({3bax|ax| \sobre |x|}\right)=3ab|a|

Un cálculo similar da:

(35)\qquad f_{yx}(0,0)=3ab|b|

Es fácil ver que las fórmulas (34) y (35) dan resultados diferentes si:

(36)\qquad |a|>0,\;|b|>0,\;|a|\neq |b|

La razón de esta desigualdad es que la condición del teorema no se cumple: ambas derivadas mixtas (aunque existen en todas partes) son discontinuas en el origen.

También puedes considerar la función

f(x,y)={xy(x^{2}-y^{2}) \sobre x^{2}+y^{2))

Prueba simplificada para funciones analíticas

Una función analítica de dos variables (al menos localmente) se expande en una serie de potencias convergentes:

(37)\qquad f(x,y)=\sum _{n,m=0}^{\infty}a_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_ {0})^{m}

Como es sabido, una serie de potencias puede derivarse término a término dentro de su radio de convergencia. Así, encontramos las primeras derivadas:

(38)\qquad f_{x}=\sum _{n,m=0}^{\infty}na_{nm}(x-x_{0})^{n-1}(y-y_ {0})^{m}

(39)\qquad f_{y}=\sum_{n,m=0}^{\infty}ma_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_{0 })^{m-1}

La diferenciación repetida de (38) y (39) da la misma fórmula para ambas derivadas mixtas:

(40)\qquad f_{xy}=f_{y}x=\sum _{n,m=0}^{\infty}nma_{nm}(x-x_{0})^{n- 1}(y-y_{0})^{m-1}

Véase también

Derivada parcial mixta

Literatura

Hazewinkel, Michiel. Enciclopedia de Matemáticas (indefinido) . - Springer, 2001. - ISBN 978-1556080104 .
Kleinert, H. Campos multivaluados en materia condensada, electrodinámica y gravitación (inglés) . - World Scientific , 2008. - ISBN 978-981-279-170-2 .