Mapeo de Schwartz-Christoffel

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El teorema de Schwartz-Christoffel es un teorema de la teoría de funciones de una variable compleja , llamado así por los matemáticos alemanes Karl Schwartz y Alvin Christoffel .

Redacción

Supongamos que es algún -gon y la función realiza un mapeo conforme en . Entonces se puede representar como $P\subconjunto \mathbb {C}$ $norte$ $F$ ${\displaystyle {\mathbb {H} }^{+))$ $PAGS$ $F$

f(z)=C_{1}\int \limits _{0}^{z}\prod _{k=1}^{n}(\zeta -a_{k})^{\alpha _ {k}-1}d\zeta +C_{2}

donde son las imágenes inversas de los vértices sobre el eje real , son las medidas en radianes de los ángulos internos correspondientes divididas por (es decir, el ángulo desarrollado corresponde al grado cero), y y son los llamados parámetros accesorios de . La integral del lado derecho tiene su propio nombre: se llama integral de Schwarz-Christoffel del primer tipo . $a_1,\puntos,a_n$ $PAGS$ $\alpha _{1},\puntos,\alpha _{n}$ $\Pi$ $C_{1}$ $C_{2}$

Si la imagen inversa de uno de los vértices del polígono está en el infinito, entonces la fórmula se modifica ligeramente. Si el -ésimo vértice tiene como preimagen un punto infinitamente distante, entonces la fórmula se verá como $norte$

f(z)=C_{1}\int \limits_{0}^{z}\prod_{k=1}^{n-1}(\zeta -a_{k})^{\ alfa _{k}-1}d\zeta +C_{2}

es decir, el multiplicador correspondiente a este vértice simplemente estará ausente. Tal integral será una integral de Schwarz-Christoffel del segundo tipo .

La dificultad de usar estas fórmulas es que los puntos , así como los parámetros accesorios, generalmente se desconocen. Para calcularlos, se suelen imponer algunas normalizaciones adicionales al polígono, o bien se realiza el cálculo de forma aproximada (lo que se utiliza en la práctica). $a_1,\puntos,a_n$

Integral de Schwarz-Christoffel
Integral de Schwarz-Christoffel
Integral de estrella de Schwartz-Christoffel
Estrella dentro de la integral de Schwarz-Christoffel