El teorema de Euler para los poliedros es un teorema que establece una relación entre el número de vértices, aristas y caras de los poliedros que son topológicamente equivalentes a una esfera .
Sea el número de vértices de un poliedro convexo, sea el número de sus aristas y sea el número de caras. Entonces la igualdad
Ejemplos de poliedros regulares :
poliedro regular |
Versín ( V ) | Reber ( R ) | Graney ( G ) | segundo - r + sol |
---|---|---|---|---|
tetraedro | cuatro | 6 | cuatro | 2 |
Cubo | ocho | 12 | 6 | 2 |
Octaedro | 6 | 12 | ocho | 2 |
Dodecaedro | veinte | treinta | 12 | 2 |
icosaedro | 12 | treinta | veinte | 2 |
En 1620, René Descartes demostró que la suma de los ángulos de todas las caras de un poliedro es igual a y al mismo tiempo . Esto implica directamente la afirmación del teorema.
En 1750, Leonhard Euler demostró la identidad de los poliedros convexos. El teorema de Euler sentó las bases para una nueva rama de las matemáticas: la topología . Cauchy dio una prueba más rigurosa en 1811.
Durante mucho tiempo se creyó que la relación de Euler es válida para cualquier poliedro. El primer contraejemplo lo dio Simon Lhuillier en 1812; al examinar una colección de minerales, llamó la atención sobre un cristal transparente de feldespato , dentro del cual había un cristal cúbico negro de sulfuro de plomo . Luillier se dio cuenta de que un cubo con una cavidad cúbica en su interior no obedece a la fórmula de Euler. Posteriormente, se descubrieron otros contraejemplos (por ejemplo, dos tetraedros pegados a lo largo de una arista o que tenían un vértice común), y se refinó la formulación del teorema: es cierto para poliedros topológicamente equivalentes a una esfera [1] .