Fricción por radiación

Fricción por radiación , reacción por radiación , fricción por radiación , frenado por radiación : fuerza que actúa sobre una partícula puntual cargada (por ejemplo, un electrón ), a partir de su propia radiación electromagnética , causada por el movimiento desigual de esta partícula.

Justificación teórica

Un sistema que emite ondas electromagnéticas no está cerrado . En particular, no se le aplican las leyes de conservación de la energía y del momento . Tal sistema es disipativo (disipando su energía).

La fricción por radiación se puede calcular considerando la interacción de la carga y el campo electromagnético creado por ella ("autoacción").

En una formulación rigurosa del problema, se deben tener en cuenta los efectos cuánticos . En particular, un intento de calcular la fricción radiativa de una partícula sobre la que actúa una fuerza externa, utilizando los métodos de la física clásica , conduce a paradojas.

Los métodos de la electrodinámica cuántica permiten tener en cuenta la fricción radiativa con casi cualquier grado de precisión, y no solo su parte disipativa (que provoca el ensanchamiento de las líneas espectrales ), sino también el cambio en el campo externo en el que se mueve la partícula.

Fórmula de Lorentz

Para velocidades que son pequeñas en comparación con la velocidad de la luz , la fórmula de Larmor es aplicable a la potencia de radiación de una partícula , y la fuerza de fricción radiante se expresa (en el sistema CGS ) mediante la fórmula

{\vec {F}}={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{c^{3}}}{\frac {d{\vec {a} }}{dt}},

donde q es la carga de la partícula y a es su aceleración (instantánea). Esta fórmula fue deducida por primera vez por Hendrik Lorenz [1] .

Si expresamos cantidades en el sistema SI , entonces la fórmula contiene otras constantes:

{\vec {F}}={\frac {q^{2}}{6\pi \epsilon _{0}c^{3}}}{\frac {d{\vec {a}} {dt}}.

Este es un caso bastante raro cuando las fórmulas incluyen la tasa de cambio de la aceleración (o la tercera derivada del radio vector con respecto al tiempo), a veces llamado tirón .

La fórmula de Lorentz-Abraham-Dirac

La fórmula obtenida por Lorentz es válida solo para el caso de una partícula no relativista. Por primera vez, su generalización al caso relativista fue obtenida por M. Abraham en 1905 [2] .

La expresión relativista de la fuerza de arrastre radiativo se puede obtener a partir de las siguientes consideraciones. En primer lugar, debe tenerse en cuenta que en la teoría especial de la relatividad, la generalización del concepto de fuerza es el llamado 4-vector de fuerza , que, por definición, debe satisfacer la condición , donde es la 4-velocidad , es el intervalo relativista , y es el vector de 4 coordenadas de tiempo . Aquí y más adelante se utiliza el formalismo relativista, en el que la "omisión" del vector índice se logra multiplicando por el tensor métrico del espacio de Minkowski , por ejemplo: ; por índices repetidos , la suma está implícita, por ejemplo: . $g^{yo}$ $g^{i}u_{i}=0$ $u^{i}={\frac{dx^{i}}{ds}}$ ${\displaystyle ds={\sqrt {dx^{i}dx_{i))))$ ${\ estilo de visualización x ^ {i} = (ct, x, y, z)}$ $g_{ij}={\rm {diag}}(1,-1,-1,-1)$ ${\displaystyle u_{k}=u^{i}g_{ik))$ ${\ estilo de visualización i = 0,1,2,3}$ $g^{i}u_{i}=g^{0}u^{0}-g^{1}u^{1}-g^{2}u^{2}-g^{3 }u^{3}$

Para determinar el cuadrivector , se debe usar el hecho de que como la velocidad del cuerpo tiende a cero, la expresión para debe dar una expresión para la fórmula clásica de Lorentz. Se puede demostrar que la cantidad $g^{yo}$ $g^{yo}$

g^{i}={\frac {2e^{2}}{3c}}{\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}

(LAD1)

donde está el llamado intervalo . Sin embargo, la expresión ( LAD1 ) no cumple la condición . Para satisfacer esta condición, es necesario complementar la expresión ( LAD1 ) con un término más, que tendería a cero cuando la velocidad de la partícula tiende a cero. En particular, cualquier expresión de la forma , donde se elige un escalar de tal manera que se cumpla la condición , tiene esta propiedad . Como resultado, la expresión de la fuerza de radiación obtenida por Abraham tiene la forma: $s$ $g^{i}u_{i}=0$ $\alfa u^{i}$ $\alfa$ $g^{i}u_{i}=0$

g^{i}={\frac {2e^{2}}{3c}}\left({\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}+ {\frac {du^{k}}{ds}}{\frac {du_{k}}{ds}}u^{i}\right)

(LAD2)

donde, como antes, se supone la suma sobre un índice repetido . La fórmula ( LAD2 ) se puede reescribir en otra forma equivalente [3] : $k$

g^{i}={\frac {2e^{2}}{3c}}\left({\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}-(u^ {i}u^{k}){\frac {d^{2}u_{k}}{ds^{2}}}\right)

(LAD3)

P. A. M. Dirac en 1938 obtuvo la misma fórmula a partir de consideraciones más elementales [4] . Consideró el sistema conjunto de ecuaciones y expresiones de Maxwell para la fuerza de Lorentz que actúa sobre un electrón. Al mismo tiempo, tuvo en cuenta que el electrón, por lo general, genera campos que actúan sobre el propio electrón. Si asumimos que el electrón tiene algo desconocido para nosotros, pero tamaño y masa finitos , y resolvemos tal problema, descartando términos que son extremadamente pequeños en pequeño , entonces obtenemos la siguiente ecuación de movimiento de electrones en un campo externo, caracterizada por el tensor : $a$ $m_{0}$ $a$ $F^{{ik}}$

(m_{0}+\delta m)c{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+{ \frac {2e^{2}}{3c}}\left({\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}+{\frac {du^{k}} {ds}}{\frac {du_{k}}{ds}}u^{i}\right)

(LAD4)

donde y diverge formalmente (es decir, tiende a infinito) cuando tiende a cero. Es importante, sin embargo, que el único término divergente sea proporcional a la aceleración, lo que nos permite realizar una especie de procedimiento clásico de renormalización : dado que las cantidades y no se pueden distinguir entre sí en ninguno de los experimentos realizados, el único La cantidad que tiene un significado físico y se puede medir es su suma , que es igual a la masa del electrón observada en el experimento. En este caso, la cantidad se denomina masa "desnuda" del electrón, es decir, su masa sin tener en cuenta la masa del campo electromagnético creado por este electrón. Teniendo en cuenta la última observación, de la comparación de las fórmulas ( LAD2 ) y ( LAD4 ) se puede ver que Dirac obtuvo la misma fórmula para el rozamiento radiativo que Abraham (el primer término del lado derecho de la expresión ( LAD4 ) es responsable para la fuerza de Lorentz habitual que actúa sobre un electrón durante campos externos). $\delta m=4e^{2}/3c^{2}a$ $a$ $m_{0}$ $\ delta m$ $m=m_{0}+\delta m$ $m_{0}$

Por los nombres de los científicos que contribuyeron a su descubrimiento, la ecuación ( LAD4 ) se llama ecuación de Lorentz-Abraham-Dirac.

Aproximación de Landau-Lifshitz

La expresión inicial para la derivación de la ecuación relativista aproximada para la fuerza de radiación es la ecuación (LAD4) usando la masa completa ("vestida") en el lado izquierdo:

mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+{\frac {2e^{2}}{ 3c}}\left({\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}+{\frac {du^{k}}{ds}}{\frac {du_{ k}}{ds}}u^{i}\derecha).

(LL1)

La aproximación Landau - Lifshitz (LL) se basa en la expresión

{\frac {du^{i}}{ds}}\approx {\frac {e}{mc^{2}}}F^{ik}u_{k},

(LL2)

que se obtiene de (LL1) despreciando la expresión entre paréntesis, es decir, sin tener en cuenta la fuerza de radiación. La relación (LL1) se utiliza para transformar la expresión entre paréntesis y eliminar las derivadas de la velocidad de la expresión de la fuerza de radiación. Eliminando la aceleración con (LL2) da

{\frac {du^{k}}{ds}}{\frac {du_{k}}{ds}}\approx -{\frac {e^{2}}{m^{2}c ^{4}}}u_{j}F^{jk}F_{kl}u^{l}.

Primero expresamos la segunda derivada de la velocidad en términos de la primera derivada de la aceleración resultante:

{\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}\approx {\frac {d}{ds}}\left({\frac {e}{mc^ {2}}}F^{ik}u_{k}\derecha).

A continuación, la velocidad se diferencia nuevamente usando (LL2), y para la derivada del tensor de campo a lo largo de la línea de universo de la partícula, usamos la expresión

{\frac {dF^{ik}}{ds}}={\frac {dx^{j}}{ds}}{\frac {\parcial F^{ik}}{\parcial x^{ j}}}=u^{j}{\frac {\parcial F^{ik}}{\parcial x^{j}}},

lo que da

{\frac {d^{2}u^{i}}{ds^{2}}}\approx {\frac {e}{mc^{2}}}u^{j}{\frac {\F parcial^{ik}}{\X parcial^{j}}}u_{k}+{\frac {e^{2}}{m^{2}c^{4}}}F^{ ik}F_{kl}u^{l}.

Finalmente, obtenemos la ecuación con la fuerza de radiación LL en la forma

mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {e}{c}}F^{ik}u_{k}+{\frac {2e^{2}}{ 3c}}\left[{\frac {e}{mc^{2}}}u^{j}{\frac {\parcial F^{ik}}{\parcial x^{j}}}u_{k }+{\frac {e^{2}}{m^{2}c^{4}}}\left(F^{ik}-u^{i}u_{j}F^{jk}\right )F_{kl}u^{l}\right].

(LL3)

Propiedades de la aproximación LL

La ecuación (LL3) es un sistema de ecuaciones escalares para energía y tres componentes de cantidad de movimiento, que no son independientes debido a la relación relativista . Derivando la última relación con respecto a ds se obtiene la condición necesaria para la ortogonalidad de la fuerza relativista a la velocidad: . Cuando se multiplica (LL3) por el primer término del lado derecho y el primer término entre corchetes desaparece debido a la asimetría del tensor de campo , y los términos entre paréntesis se anulan entre sí. Así, aunque se usaron relaciones aproximadas en la derivación de la ecuación (LL3), se conserva exactamente el requisito de que la fuerza relativista sea ortogonal a la velocidad. $4=1+3$ $u_{i}u^{i}\equiv 1$ $u_{i}{\frac {du^{i}}{ds}}=0$ $tu_{yo}$ $u_{i}F^{ik}u_{k}\equiv 0$

La ventaja de la aproximación LL es la posibilidad de integración numérica de las ecuaciones de movimiento, ya que la expresión de la fuerza tridimensional, aunque extremadamente engorrosa y dependiendo de las derivadas espaciales y temporales de los campos y de la velocidad de la partícula, es sin embargo explícita y no depende de las derivadas de la velocidad.

Aproximación de Sokolov

Véase también

turno de cordero

Notas

↑ HA Lorentz . La teoría de los electrones. — Leipzig: Teubner, 1909.
↑ M.Abraham . Theorie der Elektrizitat. — Leipzig: Teubner, 1905.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teoría de campos. - 8ª edición, estereotipada. - M .: Fizmatlit , 2006. - S. 285. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
↑ Dirac, PAM // Proc. R. Soc. largo A.- 1938.- vol. 167. - Pág. 148.

Literatura

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoría de campos. - 8ª edición, estereotipada. - M. : Fizmatlit , 2006. - S. 279-288. - (" Física Teórica ", Tomo II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
Eric Poison. Una introducción a la ecuación de Lorentz-Dirac // arXiv.org . — 1999.
Igor V. Sokolov, Natalia M. Naumova, John A. Nees, Gérard A. Mourou y Victor P. Yanovsky. Dinámica de la emisión de electrones en campos láser fuertes // Phys . plasmas _ - 2009. - Vol. 16 _ — Pág. 093115 . ( arXiv : 0904.0405 )
I. V. Sokolov. Renormalización de la ecuación de Lorentz-Abraham-Dirac para la fuerza de radiación en electrodinámica clásica // ZhETF . - 2009. - T. 136 , núm. 2 . - art. 247 . ( arXiv : 0906.1150 )
Igor V. Sokolov, Natalia M. Naumova, John A. Nees, Victor P. Yanovsky y Gérard A. Mourou . Reacción inversa de la radiación en campos láser pulsados relativísticamente fuertes y QED // AIP Conf . proc. . - 2010. - Vol. 1228 , edición. 1 . - Pág. 305-322 . ( arXiv : 0910.4268 )
D. B. Zot'ev , Comentarios críticos sobre la ecuación de Sokolov de la dinámica de un electrón radiante // Phys. plasmas _ - 2016. - Vol. 23.- N° 9, http://dx.doi.org/10.1063/1.4962692 . Traducción al ruso: http://extremal-mechanics.org/wp-content/uploads/2016/06/Sokolov_LAD_Russian.pdf