Teorema de incrustación de Whitney

El teorema de incrustación de Whitney es una declaración de topología diferencial , según la cual una variedad arbitraria de dimensiones suaves con una base contable admite una incrustación suave en un espacio euclidiano bidimensional . Establecido por Hassler Whitney en 1938 . $metro$ $2m$

Este resultado es óptimo, por ejemplo, si es una potencia de dos , entonces el espacio proyectivo bidimensional no se puede incrustar en el espacio euclidiano bidimensional. $metro$ $metro$ $(2m-1)$

Esquema de prueba

Los casos y se establecen directamente. $metro=1$ $metro=2$

Para probar el caso , usamos el hecho de que un mapa suave genérico es una inmersión con un número finito de puntos de auto-intersección transversales . $m\geqslant 3$ $f\dos puntos M\to \mathbb{R} ^{{2m}}$

Puedes deshacerte de estos puntos de auto-intersección aplicando el truco de Whitney varias veces . Consiste en lo siguiente. Tomemos los puntos de auto-intersección del mapeo , que tienen signos diferentes. Tome puntos para los cuales y . Conectemos y suavicemos la curva . Conectemos y suavicemos la curva . Entonces hay una curva cerrada en . A continuación, construimos un mapeo con un límite . En posición general, es una inversión y (solo aquí el hecho de que ) se usa. Entonces es posible isótopo en una pequeña vecindad del disco para que desaparezca este par de puntos de auto-intersección. Es fácil creer en la última afirmación si presentamos una imagen para (en la que las propiedades del disco se cumplieron por casualidad, y no por la posición general). Una prueba precisa se da en el párrafo 22.1 del libro de Prasolov [1] . ${\displaystyle p,q\in \mathbb {R} ^{2m))$ $F$ ${\ estilo de visualización x_ {p}, y_ {p}, x_ {q}, y_ {q} \ en M}$ ${\ estilo de visualización f (x_ {p}) = f (y_ {p}) = p}$ $f(x_{q})=f(y_{q})=q$ ${\ estilo de visualización x_ {p}}$ ${\ Displaystyle x_ {q}}$ ${\ estilo de visualización x \ subconjunto M}$ $y_{p}$ ${\ Displaystyle y_ {q}}$ ${\ estilo de visualización y \ subconjunto M}$ $f(x\taza y)$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {2m}}$ $h\colon D^{2}\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $h(\parcial D^{2})=f(x\cup y)$ $h$ $h(D^{2})\cap f(M)=h(\parcial D^{2})$ $m\geqslant 3$ $F$ ${\ estilo de visualización h (D ^ {2})}$ $metro=1$

Aquí hay un boceto de otra forma de deshacerse de los puntos de auto-intersección de un mapa en posición general . Se basa en la importante idea de adquisición . (A veces, esta aplicación de esta otra idea se denomina erróneamente el truco de Whitney). Tome el punto de auto-intersección del mapeo . Tome puntos para los cuales . Conectemos y suavicemos la curva . Entonces hay una curva cerrada en . A continuación, construimos un mapeo con un límite . En posición general, es una inversión y (solo aquí el hecho de que ) se usa. Ahora podemos isótopos en una pequeña vecindad del disco para que esta auto-intersección desaparezca. Véase el libro de Rourke y Sanderson [2] y el párrafo 8 de la reseña de Skopenkov [3] para obtener detalles y generalizaciones . Este razonamiento se suele llevar a cabo en la categoría lineal por tramos. En una categoría suave (como aquí), para la última deformación, se debe usar el teorema de Haefliger sobre la falta de nudos de las esferas (ver [1] ). $f\dos puntos M\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $p\en \mathbb{R} ^{{2m}}$ $F$ $x,y\en M$ $f(x)=f(y)=p$ $X$ $y$ ${\ estilo de visualización l \ subconjunto M}$ $Florida)$ $\mathbb{R} ^{{2m}}$ $h\colon D^{2}\to \mathbb{R} ^{{2m}}$ $h(\parcial D^{2})=f(l)$ $h$ $h(D^{2})\cap f(M)=h(\parcial D^{2})$ $m\geqslant 3$ $F$ ${\ estilo de visualización h (D ^ {2})}$

Variaciones y generalizaciones

Sea una variedad de dimensiones uniformes, . $METRO$ $metro$ $m>1$

Si no es una potencia de dos, entonces hay una incrustación en $metro$ $METRO$ $\mathbb{R} ^{{2m-1}}$
$METRO$ se puede cargar en $\mathbb{R} ^{{2m-1}}$
- Además, se puede sumergir en , donde es el número de 1 en representación binaria . $METRO$ $\mathbb{R} ^{{2m-a}}$ $a$ $metro$
  - El último resultado es óptimo, para cualquiera es posible construir una variedad -dimensional (podemos tomar el producto de
  espacios proyectivos reales ) en la que no se puede sumergir . $metro$ $metro$ $\mathbb{R} ^{{2m-a-1}}$

Véase también [4] [5]

Notas

↑ V. V. Prasolov , Elementos de la teoría de la homología Copia de archivo del 3 de abril de 2010 en Wayback Machine
↑ CP Rourke, BJ Sanderson, Introducción a la topología lineal por partes, Springer, 1972.
↑ Skopenkov, A. (1999), Nuevos resultados sobre la incrustación de poliedros y variedades en espacios euclidianos, Russian Math. Encuestas T. 54 (6): 1149-1196
↑ Skopenkov, A. (2008), Incrustación y anudado de variedades en espacios euclidianos , en: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young y Y. Choi, Matemáticas de Londres. soc. lect. notas T. 347(2): 248-342, ISBN 13 , < http://arxiv.org/abs/math/0604045 > Archivado el 25 de julio de 2020 en Wayback Machine .
↑ Clasificación de archivos adjuntos (ing.) . Fecha de acceso: 18 de diciembre de 2017. Archivado desde el original el 22 de diciembre de 2017. (indefinido)

Literatura

Orevkov S. Yu. Demostración física del teorema de Whitney sobre curvas planas// Colección " Educación Matemática ". Tercera serie. 1997. Número 1. págs. 96-102