La ecuación de Euler es una de las ecuaciones básicas de la hidrodinámica de un fluido ideal . Nombrado después de L. Euler , quien recibió esta ecuación en 1752 (publicada en 1757 ). En esencia, es la ecuación del movimiento de fluidos. Todavía se desconoce si existe una solución suave de la ecuación de Euler en el caso tridimensional, a partir de un momento dado en el tiempo. [una]
Considere el movimiento de un fluido ideal . Asignemos un poco de volumen V dentro de él . Según la segunda ley de Newton , la aceleración del centro de masa de este volumen es proporcional a la fuerza total que actúa sobre él. En el caso de un fluido ideal, esta fuerza se reduce a la presión del fluido que rodea el volumen y, posiblemente, a la influencia de campos de fuerza externos . Supongamos que este campo representa las fuerzas de inercia o gravedad , por lo que esta fuerza es proporcional a la intensidad del campo y la masa del elemento de volumen. Después
donde es la superficie del volumen seleccionado, es la intensidad de campo. Pasando, según la fórmula de Gauss-Ostrogradsky , de la integral de superficie a la de volumen y teniendo en cuenta que , donde es la densidad del líquido en un punto dado, obtenemos:
Debido a la arbitrariedad del volumen , los integrandos deben ser iguales en cualquier punto:
Expresando la derivada total en términos de la derivada convectiva y la derivada parcial :
obtenemos la ecuación de Euler para el movimiento de un fluido ideal en un campo gravitatorio :
|
dónde
es la densidad del líquido, es la presión en el líquido, es el vector de velocidad del fluido, es el vector de intensidad del campo de fuerza, es el operador nabla para el espacio tridimensional .Para el caso de un flujo unidimensional estacionario de líquido o gas, la ecuación de Euler toma la forma
De esta forma, la ecuación se usa a menudo para resolver varios problemas aplicados en dinámica de fluidos y dinámica de gases . En particular, al integrar esta ecuación a una densidad de fluido constante , se obtiene la conocida ecuación de Bernoulli para un fluido incompresible:
deja _ Utilizando la conocida fórmula
reescribe la razón en la forma
Tomando el rotor y considerando que
y las derivadas parciales conmutan , obtenemos que
|
Si hay un movimiento adiabático del fluido, entonces la ecuación de Euler se puede reescribir usando la función térmica de la siguiente manera:
debido a que en un proceso adiabático la entropía es constante.Como consecuencia:
Usando la relación conocida
y aplicando la operación del rotor a la ecuación de Euler, obtenemos la representación deseada en la forma
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