Ecuación diferencial parcial

Una ecuación diferencial parcial (los casos especiales también se conocen como ecuaciones de física matemática , UMF ) es una ecuación diferencial que contiene funciones desconocidas de varias variables y sus derivadas parciales .

Introducción

Considere una ecuación diferencial parcial relativamente simple:

{\frac {\parcial }{\parcial y}}u(x,y)=0\,.

De esta relación se sigue que el valor de la función no depende de . Podemos igualarlo a una función arbitraria de . Por lo tanto, la solución general de la ecuación es la siguiente: $tu(x,y)$ $y$ $X$

{\ estilo de visualización u (x, y) = f (x),}

donde es una función arbitraria de la variable . Una ecuación diferencial ordinaria similar tiene la forma: $f(x)$ $X$

{\frac{dv(x)}{dx}}=0

y su solucion

{\ estilo de visualización v (x) = c,}

donde c es una constante arbitraria (independiente de ). Estos dos ejemplos muestran que la solución general de una ecuación diferencial ordinaria contiene constantes arbitrarias, pero la solución general de una ecuación diferencial parcial contiene funciones arbitrarias. La solución de una ecuación diferencial parcial, en términos generales, no es única. En el caso general, las condiciones adicionales se especifican en el límite de la región bajo consideración. Por ejemplo, la solución de la ecuación anterior (función ) se define de forma única si se define en la línea . $X$ $f(x)$ $tu$ $y=0$

Historia

Los historiadores descubrieron la primera ecuación diferencial parcial en los artículos de Euler sobre la teoría de las superficies que datan de 1734-1735 (publicados en 1740). En notación moderna, se veía así:

{\frac {\z parcial}{\x parcial}}=f(x,y)

A partir de 1743, d'Alembert se unió al trabajo de Euler y descubrió una solución general a la ecuación de onda para las vibraciones de una cuerda. En años posteriores, Euler y d'Alembert publicaron varios métodos y técnicas para investigar y resolver ciertas ecuaciones diferenciales parciales. Estos trabajos aún no han creado ninguna teoría completa.

La segunda etapa en el desarrollo de este tema puede fecharse entre 1770 y 1830. A este período pertenecen los profundos estudios de Lagrange , Cauchy y Jacobi . Los primeros estudios sistemáticos de ecuaciones diferenciales parciales comenzaron a ser realizados por Fourier . Aplicó un nuevo método para la solución de la ecuación de cuerdas: el método de separación de variables , que más tarde recibió su nombre.

Un nuevo enfoque general del tema, basado en la teoría de los grupos de transformación continua , fue propuesto en la década de 1870 por Sophus Lie .

A finales del siglo XIX, el concepto de ecuación diferencial parcial se generalizó al caso de un conjunto infinito de variables desconocidas ( ecuación diferencial funcional parcial ).

Los problemas de probar la existencia y encontrar soluciones a los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales no lineales se resuelven utilizando la teoría de las variedades suaves , geometría diferencial , álgebra conmutativa y homológica [1] . Estos métodos se utilizan en física en el estudio del formalismo lagrangiano y hamiltoniano, el estudio de simetrías superiores y leyes de conservación [1] .

Clasificación

Dimensión

Igual al número de variables independientes . Debe ser al menos 2 (en 1 se obtiene una ecuación diferencial ordinaria ).

Linealidad

Hay ecuaciones lineales y no lineales. Una ecuación lineal se puede representar como una combinación lineal de derivadas de funciones desconocidas. Los coeficientes en este caso pueden ser funciones constantes o conocidas.

Las ecuaciones lineales han sido bien investigadas y se han otorgado millones de premios por resolver ciertos tipos de ecuaciones no lineales ( problemas del milenio ).

Homogeneidad

Una ecuación es no homogénea si hay un término que no depende de funciones desconocidas.

Ordenar

El orden de la ecuación está determinado por el orden máximo de la derivada. Los pedidos en todas las variables importan.

Clasificación de ecuaciones lineales de segundo orden

Las ecuaciones lineales de segundo orden en derivadas parciales se dividen en parabólicas , elípticas e hiperbólicas .

Dos variables independientes

Una ecuación lineal de segundo orden que contiene dos variables independientes tiene la forma:

A{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))}+2B{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x\parcial y))+C{\ frac {\parcial ^{2}u}{\parcial y^{2}}}+...=0,

donde son los coeficientes dependientes de las variables y , y los puntos suspensivos significan los términos dependientes de y derivadas parciales de primer orden: y . Esta ecuación es similar a la ecuación de la sección cónica : $A B C$ $X$ $y$ ${\ estilo de visualización x, \; y, \; u}$ ${\u parcial}/{\x parcial}$ ${\u parcial}/{\y parcial}$

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.

Así como las secciones cónicas se dividen en elipses , parábolas e hipérbolas , según el signo del discriminante , las ecuaciones de segundo orden en un punto dado se clasifican: $D=B^{2}-AC$

$D=B^{2}-AC\,>0$ — Ecuación hiperbólica ,
$D=B^{2}-AC\,<0$ — Ecuación elíptica ,
$D=B^{2}-AC\,=0$ — Ecuación parabólica (aquí se supone que en un punto dado los coeficientes no se anulan al mismo tiempo). $A B C$

En el caso de que todos los coeficientes sean constantes, la ecuación tiene el mismo tipo en todos los puntos del plano de variables y . Si los coeficientes dependen continuamente de y , el conjunto de puntos en los que la ecuación dada es de tipo hiperbólico (elíptico) forma un área abierta en el plano, llamada hiperbólica (elíptica), y el conjunto de puntos en los que la ecuación es de tipo parabólico el tipo es cerrado. Una ecuación se llama mixta ( de tipo mixto ) si es hiperbólica en algunos puntos del plano y elíptica en algunos puntos. En este caso, los puntos parabólicos tienden a formar una línea denominada línea de cambio de tipo o línea de degeneración . $A B C$ $X$ $y$ $A B C$ $X$ $y$

Más de dos variables independientes

En el caso general, cuando la ecuación de segundo orden depende de muchas variables independientes:

\sum_{{i=1}}^{{n}}\sum_{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1},\cdots,x_{n }){\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x_{i}\parcial x_{j))}+F\left(x_{1},\cdots ,x_{n},u,{ \frac {\parcial u}{\parcial x_{1))},\cdots ,{\frac {\parcial u}{\parcial x_{n))}\right)=0,

se puede clasificar [2] en un punto dado por analogía con la forma cuadrática correspondiente : $M_{0}(x_{1}^{0},\cdots,x_{n}^{0})$

\sum _{{i=1}}^{{n}}\sum _{{j=1}}^{{n}}a_{{ij}}(x_{1}^{0},\cdots ,x_{n}^{0})t_{i}t_{j}.

Transformación lineal no degenerada

s_{i}=\sum_{{j=1}}^{{n}}A_{{ij}}t_{j},i=1,2\cdots n,\det \left\|A_{{ ij}}\right\|\neq 0

la forma cuadrática siempre se puede reducir a la forma canónica:

\sum _{{i=1}}^{{n}}\lambda _{i}s_{i}^{2}.

Además, según el teorema de la inercia, el número de coeficientes positivos, negativos y cero en la forma canónica de una forma cuadrática es invariante y no depende de una transformación lineal. En base a esto, se realiza la clasificación (en el punto ) de la ecuación en consideración: ${\ estilo de visualización \ lambda_i}$ $M_{0}$

Si en un punto la forma cuadrática en forma canónica tiene todos los coeficientes del mismo signo, entonces la ecuación en ese punto se llama ecuación de tipo elíptico . $M_{0}$
Si la forma cuadrática en la forma canónica tiene coeficientes de diferentes signos, pero todos son diferentes de , entonces la ecuación en este punto se llama ecuación de tipo hiperbólico . $M_{0}$ ${\ estilo de visualización 0}$
Si una forma cuadrática en forma canónica tiene al menos un coeficiente igual a un punto, entonces la ecuación en este punto se llama ecuación de tipo parabólico . $M_{0}$ ${\ estilo de visualización 0}$

En el caso de muchas variables independientes, se puede realizar una clasificación más detallada (cuya necesidad no surge en el caso de dos variables independientes):

El tipo hiperbólico se puede clasificar en:
1. Tipo hiperbólico normal si un coeficiente tiene un signo y el resto otro.
2. Tipo ultrahiperbólico , si los coeficientes tanto de un signo como del otro son más de uno.
El tipo parabólico se puede clasificar en:
1. Tipo elíptico-parabólico , si solo un coeficiente es cero y los demás son del mismo signo.
2. Tipo hiperbólico-parabólico , si solo un coeficiente es cero y los demás tienen signos diferentes. De manera similar al tipo hiperbólico, se puede dividir en:
  1. Tipo hiperbólico-parabólico normal
  2. Tipo ultrahiperbólico-parabólico
3. Tipo ultraparabólico si más de un coeficiente es cero. Aquí, también es posible una clasificación adicional dependiendo de los signos de los coeficientes distintos de cero.

Existencia y unicidad de una solución

Aunque la respuesta a la pregunta sobre la existencia y unicidad de una solución a una ecuación diferencial ordinaria tiene una respuesta completamente exhaustiva ( el teorema de Picard-Lindelöf ), no hay una respuesta inequívoca a esta pregunta para una ecuación diferencial parcial. Existe un teorema general ( el teorema de Cauchy-Kovalevskaya ), que establece que el problema de Cauchy para cualquier ecuación diferencial parcial que sea analítica con respecto a funciones desconocidas y sus derivadas tiene una única solución analítica [3] . Sin embargo, hay ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales lineales cuyos coeficientes tienen derivadas de todos los órdenes y no tienen solución ( Lévy [ 1957 ). Incluso si la solución existe y es única, puede tener propiedades indeseables.

Considere la secuencia de problemas de Cauchy (dependiendo de ) para la ecuación de Laplace : $norte$

{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial y^{2))}=0 ,

con condiciones iniciales :

{\ estilo de visualización u (x, 0) = 0,}

{\frac {\u parcial}{\y parcial))(x,0)={\frac {\sin nx}{n)),

donde es un entero. La derivada de la función con respecto a la variable tiende uniformemente a medida que crece , sin embargo, la solución a la ecuación es $norte$ $tu$ $y$ ${\ estilo de visualización 0}$ $X$ $norte$

u(x,y)={\frac {(\mathrm {sh} \,ny)(\sin nx)}{n^{2))}.

La solución tiende al infinito si no es un múltiplo de cualquier valor distinto de cero de . El problema de Cauchy para la ecuación de Laplace se denomina mal planteado o incorrecto , ya que no existe una dependencia continua de la solución de los datos iniciales. $nx$ $\Pi$ $y$

Para los sistemas de ecuaciones diferenciales parciales no lineales, las demostraciones de la existencia de soluciones y la búsqueda de variedades de todas las soluciones se realizan utilizando la teoría de las variedades suaves , la geometría diferencial , el álgebra conmutativa y homológica [1] . Estos métodos se utilizan en física en el estudio del formalismo lagrangiano y hamiltoniano, el estudio de simetrías superiores y leyes de conservación [1] .

Ejemplos

Ecuación de calor unidimensional

La ecuación que describe la propagación del calor en una barra homogénea es de tipo parabólico y tiene la forma

{\displaystyle {\frac {\parcial u}{\parcial t))=\alpha ^{2}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))))

donde es la temperatura, y es una constante positiva que describe la velocidad de propagación del calor. El problema de Cauchy se plantea de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización u (t, x)}$ $\alfa$

$u(0,x)\,=f(x)$ ,

donde es una función arbitraria. $f(x)$

Ecuación de vibración de cuerda

${\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2}}}$

La ecuación es del tipo hiperbólico. Aquí está el desplazamiento de la cuerda desde la posición de equilibrio, o el exceso de presión de aire en la tubería, o la magnitud del campo electromagnético en la tubería, y es la velocidad de propagación de la onda. Para formular el problema de Cauchy en el momento inicial, se debe especificar el desplazamiento y la velocidad de la cuerda en el momento inicial: ${\ estilo de visualización u (t, x)}$ $C$

{\ estilo de visualización u (0, x) = f (x),}

{\dfrac {\u parcial}{\t parcial))(0,x)=g(x),

Ecuación bidimensional de Laplace

La ecuación de Laplace para una función desconocida de dos variables tiene la forma:

${\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial y^{2))}=0$

Ecuación de tipo elíptico. Sus soluciones se llaman funciones armónicas .

Relación con funciones analíticas

Las partes real e imaginaria de cualquier función holomorfa de una variable compleja son funciones armónicas conjugadas : ambas satisfacen la ecuación de Laplace y sus gradientes son ortogonales. Si , entonces las condiciones de Cauchy-Riemann establecen lo siguiente: $F$ $z=x+iy$ ${\ estilo de visualización f = u + iv}$

{\frac {\parcial u}{\parcial x))={\frac {\parcial v}{\parcial y)),\quad {\frac {\parcial v}{\parcial x))= -{\frac {\u parcial}{\y parcial)),

Sumando y restando las ecuaciones entre sí, obtenemos:

{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial y^{2))}=0 ,\quad {\frac {\parcial ^{2}v}{\parcial x^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}v}{\parcial y^{2))}=0 .

También se puede demostrar que cualquier función armónica es la parte real de alguna función analítica.

Problemas de contorno

Los problemas de contorno se establecen de la siguiente manera: encuentre una función que satisfaga la ecuación de Laplace en todos los puntos internos de la región y en el límite de la región , una determinada condición. Dependiendo del tipo de condición, se distinguen los siguientes problemas de valores en la frontera: $tu$ $S$ $\ S parcial$

$u|_{{\S parcial}}=\psi (x,y),\quad x,y\in \S parcial$ - Problema de Dirichlet
${\frac {\u parcial}{\n parcial)){\grande |}_({\S parcial))=\psi (x,y),\quad x,y\in \S parcial$ — el problema de Neumann

Resolviendo las ecuaciones de la física matemática

Existen dos tipos de métodos para resolver este tipo de ecuaciones:

analítico, en el que el resultado se deriva de varias transformaciones matemáticas;
numérico, en el que el resultado obtenido corresponde al real con una precisión dada, pero que requiere una gran cantidad de cálculos de rutina y, por lo tanto, solo se puede realizar con la ayuda de tecnología informática (computadora).

Solución analítica

Las soluciones analíticas a las ecuaciones de la física matemática se pueden obtener de varias formas. Por ejemplo:

Usando la función de Green ;
Utilizando el método de separación de variables de Fourier;
Con la ayuda de la teoría potencial ;
Utilizando la fórmula de Kirchhoff .

Estos métodos han sido desarrollados para varios tipos de ecuaciones y, en algunos casos simples, permiten obtener una solución en forma de alguna fórmula o una serie convergente, por ejemplo, para la ecuación de vibración de la cuerda :

\Delta u=a^{2}{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial t^{2))}

u(x,t){\grande |}_{{x=0}}=u(x,t){\grande |}_{{x=L}}=0

u(x,t){\grande |}_{{t=0}}=f(x),\ {\dfrac {\u parcial}{\t parcial}}(x,t){\grande |} _{{t=0}}=g(x)

la solución analítica por el método de Fourier tiene la forma:

u(x,t)\,=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}\left[A_{n}\cos \left({\dfrac {a\pi n}{ L}}t\right)+B_{n}\sin \left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)\right]\sin \left({\dfrac {\pi nx} {L}}\derecha)

A_{n}={\dfrac {2}{L}}\int \limits_{{0}}^{{L}}f(x)\sin \left({\dfrac {\pi nx}{L }}\right)dx,\quad B_{n}={\dfrac {2}{n\pi a}}\int \limits_{{0}}^{{L}}g(x)\sin \ izquierda({\dfrac {\pi nx}{L}}\derecha)dx

Solución numérica

Dado que no siempre es posible encontrar una solución analítica incluso para una ecuación simple en un dominio complejo, se han desarrollado muchos métodos para resolver ecuaciones de física matemática. Algunos de ellos se basan en la aproximación del operador diferencial por algunas expresiones, otros reducen el problema a uno de proyección o variacional y lo resuelven, algunos de los métodos numéricos más utilizados son:

Cada uno de los métodos tiene sus propias características y sus propias clases de tareas a resolver. Por ejemplo, se puede obtener una solución en diferencias finitas para la ecuación de oscilación utilizando el siguiente esquema de diferencias :

u_{i}^{{j+1}}={{\tau ^{2}a^{2} \over h^{2}}}\left(u_{{i+1}}^{j} -2u_{i}^{j}+u_{{i-1}}^{j}\right)+2u_{i}^{j}-u_{i}^{{j-1}}

donde es el paso de tiempo y es el paso de espacio. $\tau$ $h$

Soluciones débiles

Si una ecuación diferencial parcial se representa en la forma _ _ . $Lu=f$ $L$ $F$ $tu(x)$ $\varphi$ $\int uL^{*}\varphi\,dx=\int f\varphi\,dx$ ${\ estilo de visualización L^{*}}$

Solución de viscosidad

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 4 Pommare, 1983 , pág. 5.
↑ Sveshnikov A. G., Bogolyubov A. N., Kravtsov V. V. Capítulo II. Clasificación de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden. // Conferencias sobre física matemática. — 2ª ed., corregida. y adicional - M. : Editorial de la Universidad Estatal de Moscú; Ciencia, 2004. - S. 49. - 416 p. — ISBN 5-211-04899-7 .
↑ AM Nakhushev. Teorema de Cauchy-Kovalevskaya (inglés) (html). Springer en línea (2001). — El teorema de Cauchy-Kovalevskaya. Fecha de acceso: 9 de enero de 2010. Archivado desde el original el 12 de febrero de 2012.
↑ L. Behrs, F. John, M. Schechter. Ecuaciones diferenciales parciales . - M. : Mir, 1966. - S. 146.

Literatura

Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Ecuaciones de física matemática. - 7ª ed. - M. : Editorial de la Universidad Estatal de Moscú; Nauka, 2004. - 798 págs. — ISBN 5-211-04843-1 .
Mizohata S. Teoría de ecuaciones diferenciales parciales. — M .: Mir, 1977. — 504 p.
Demidov S. S. El surgimiento de la teoría de ecuaciones diferenciales con derivadas parciales // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka , 1975. - Nº 20 . - S. 204-220 .
Pommare J. Sistemas de ecuaciones diferenciales parciales y pseudogrupos de Lie. — M .: Mir, 1983. — 400 p.
Trev J. Conferencias sobre ecuaciones diferenciales parciales lineales con coeficientes constantes. - M. : Mir, 1965. - 296 p.
Física matemática de ecuaciones / V. S. Vladimirov // Gran Enciclopedia Rusa : [en 35 volúmenes] / cap. edición Yu. S. Osipov . - M. : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.

Enlaces

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