Factorial

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Factorial es una función definida en el conjunto de enteros no negativos . El nombre proviene del lat. factorialis - actuando, produciendo, multiplicando; denotado , pronunciado en factorial . El factorial de un número natural se define como el producto de todos los números naturales desde 1 hasta ambos inclusive: $¡norte!$ $norte$ $norte$

n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod _{k=1}^{n}k

Por ejemplo,

5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

Porque se toma como un acuerdo que $n=0$

0!=1

. Los factoriales de todos los números forman la secuencia A000142 en el OEIS ; los valores en notación científica se redondean

norte	n !
0	una
una	una
2	2
3	6
cuatro	24
5	120
6	720
7	5040 _
ocho	40 320
9	362 880
diez	3 628 800
once	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800 [1]
catorce	87 178 291 200 [2]
quince	1.307.674.368.000 [ 3 ] _ _
dieciséis	20,922,789,888,000 [ 4 ] _ _
17	355 687 428 096 000 [5]
Dieciocho	6 402 373 705 728 000 [6]
19	121 645 100 408 832 000 [7]
veinte	2 432 902 008 176 640 000 [8]
25	15 511 210 043 330 985 984 000 000 [9]
cincuenta	30 414 093 201 713 378 043 612 608 166 064 768 844 377 641 568 960 512 000 000 000 000 [10]
70	11 978 571 669 969 891 796 072 783 721 689 098 736 458 938 142 546 [11]
100	≈ 9.332621544⋅10 157
450	≈ 1.733368733⋅10 1000
1000	≈ 4.023872601⋅10 2567
3 249	≈ 6.412337688⋅10 10000
10,000 _	≈ 2.846259681⋅10 35659
25 206	≈ 1.205703438⋅10 100000
100,000 _	≈ 2.824229408⋅10 456573
205 023	≈ 2.503898932⋅10 1000004
1,000,000 _ _	≈ 8.263931688⋅10 5565708
10 100	≈10 9.956570552⋅10 101
10 1000	≈10 10 1003
10 10 000	≈10 10 10 004
10 100 000	≈10 10 100 005
10 10 100	≈10 10 10 100

El factorial se utiliza activamente en varias ramas de las matemáticas: combinatoria , análisis matemático , teoría de números , análisis funcional , etc.

El factorial es una función de crecimiento extremadamente rápido. Crece más rápido que cualquier función exponencial o cualquier función de potencia , y también más rápido que cualquier suma de los productos de estas funciones. Sin embargo, la función exponencial crece más rápido que el factorial, al igual que la mayoría de los exponentes dobles, como . ${\ estilo de visualización n^{n}}$ $e^{{e^{n}}}$

Propiedades

Fórmula recurrente

El factorial se puede dar mediante la siguiente fórmula recursiva :

n!= \begin{casos} 1 & n = 0,\\ n \cdot(n-1)! & n > 0. \end{casos}

Interpretación combinatoria

En combinatoria , el factorial de un número natural n se interpreta como el número de permutaciones (ordenamientos) de un conjunto de n elementos.

Por ejemplo, para un conjunto { A , B , C , D } de 4 elementos, ¡hay 4! = 24 permutaciones:

ABCD BACD CABD DABC ABDC BADC CADB DACB ACBD BCAD CBAD DBAC ACDB BCDA CBDA DBCA ADBC BDAC CDAB DCAB ADCB BDCA CDBA DCBA

La interpretación combinatoria del factorial confirma la conveniencia del acuerdo : el número de permutaciones del conjunto vacío es igual a uno. Además, la fórmula para el número de colocaciones de elementos por $0!=1$ $norte$ $metro$

A_{n}^{m}={\frac {n!}{(nm)!}}

cuando se convierte en una fórmula para el número de permutaciones de elementos (de orden ), que es igual a . $n=m$ $norte$ $norte$ $¡norte!$

Relación con la función gamma

El factorial está relacionado con la función gamma de un argumento entero por la relación

{\ estilo de visualización n! = \ Gamma (n + 1)}

La misma expresión se utiliza para generalizar el concepto de factorial al conjunto de los números reales . Usando la continuación analítica de la función gamma, el dominio de definición del factorial también se extiende a todo el plano complejo , excluyendo los puntos singulares en . $n=-1,-2,-3\l puntos$

Una generalización directa del factorial a los conjuntos de números reales y complejos es la función pi , que puede definirse como ${\ estilo de visualización \ Pi (z) = \ Gamma (z + 1)}$ $\mathrm {Re} (z)>-1$

\Pi (z)=\int _{0}^{\infty}t^{{z}}e^{{-t}}\,{\mathrm {d}}t

(definición integral).

La función pi de un número natural o cero coincide con su factorial: . Al igual que el factorial, la función pi satisface la relación de recurrencia . ${\ estilo de visualización \ Pi (n) = n!}$ ${\ estilo de visualización \ Pi (z) = z \ Pi (z-1)}$

Fórmula de Stirling

La fórmula de Stirling es una fórmula asintótica para calcular el factorial:

n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{ \frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879} {209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\izquierda(n^{{-7}}\derecha)\derecha),

ver O-grande [12] .

En muchos casos, para un cálculo aproximado del factorial, basta considerar solo el término principal de la fórmula de Stirling:

¡norte! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n.

Al mismo tiempo, se puede argumentar que

\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n+1)}< n! < \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^ne^{1/(12n)}.

La fórmula de Stirling permite obtener valores aproximados de los factoriales de números grandes sin necesidad de multiplicar directamente una secuencia de números naturales. Por ejemplo, usando la fórmula de Stirling, es fácil calcular que

100! ≈ 9,33×10 157 ;
1000! ≈ 4,02 × 10 2567 ;
10,000! ≈ 2,85×10 35 659 .

Factorización prima

¡ Todo número primo p entra en la expansión de n ! por factores primos a la potencia definida por la siguiente fórmula:

\left\lpiso \frac{n}{p}\right\rpiso + \left\lpiso \frac{n}{p^2}\right\rpiso + \left\lpiso \frac{n}{p^3} \right\rpiso + \ldots.

De este modo,

¡norte! = \prod_{p} p^{\lpiso \frac{n}{p}\rpiso + \lpiso \frac{n}{p^2}\rpiso +\ldots},

donde el producto se toma sobre todos los números primos. Se puede ver que para cualquier primo p mayor que n , el factor correspondiente en el producto es 1; por lo tanto, el producto solo puede tomarse entre primos p que no excedan n .

Conexión con la derivada de una función potencia

Para un entero no negativo n :

\left(x^{n}\right)^{{(n)}}=n!

Por ejemplo:

\left( x^5 \right)^{(5)} = \left( 5 \cdot x^4 \right)^{(4)} = \left( 5 \cdot 4 \cdot x^3 \right) ''' = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot x^2 \right)'' = \left( 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x \right)' = {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 5!

Otras propiedades

Para un número natural :

norte

n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n

para cualquiera :

n>1

¡norte!

no es un cuadrado de un número entero; para cualquiera :

n>4

¡norte!

termina en 0; para cualquiera :

{\ estilo de visualización n> 9}

¡norte!

termina en 00. Si es un número primo:

norte

{\ estilo de visualización (n-1)! +1}

es divisible por ( teorema de Wilson )

norte

Historia

Las expresiones factoriales aparecieron en las primeras investigaciones sobre combinatoria , aunque el matemático francés Christian Kramp propuso una notación compacta recién en 1808 [13] . Un hito importante fue el descubrimiento de la fórmula de Stirling , que James Stirling publicó en su tratado El método diferencial ( lat. Methodus differenceis , 1730). Un poco antes, casi la misma fórmula fue publicada por el amigo de Stirling, Abraham de Moivre , pero en una forma menos completa (en lugar de un coeficiente había una constante indefinida) [14] . $¡norte!$ ${\ sqrt {2\pi }}$

Stirling estudió en detalle las propiedades del factorial, hasta aclarar la cuestión de si es posible extender este concepto a números reales arbitrarios. Describió varias formas posibles de implementar esta idea y opinó que:

\left({1 \over 2}\right)!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}

Stirling no sabía que Leonhard Euler ya había encontrado una solución al problema un año antes . En una carta a Christian Goldbach , Euler describió la generalización requerida [15] :

x!=\lim _{m\to \infty} {\frac {m^{x}m!}{(x+1)(x+2)\dots (x+m)))

Desarrollando esta idea, Euler el año siguiente, 1730, introdujo el concepto de función gamma en la forma de una integral clásica. Publicó estos resultados en la revista de la Academia de Ciencias de San Petersburgo en 1729-1730.

Generalizaciones

Factorial doble

El doble factorial de un número n se denota n ‼ y se define como el producto de todos los números naturales del segmento [1, n ] que tienen la misma paridad que n .

Para n par :

¡¡norte!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n = \prod_{i=1}^{\frac{n}{2)) 2i = 2^{{\color{blanco}1}^{\ !\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!

Para n impar :

n!!={1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot n}=\prod_{{i=0}}^{{{\frac {n-1}{2}}}}(2i +1)={\frac {n!}{2^{{{\color {blanco}1}^{{\!\!\!\!{\frac {n-1}{2))))} }\cdot \left({\frac {n-1}{2}}\right)!}}

Relación entre los factoriales dobles de dos enteros no negativos adyacentes y el factorial ordinario de uno de ellos.

n!!={\frac{n!}{(n-1)!!}}

Derivación de fórmulas

Fórmula para n par :

¡¡norte!! = 2^{{\color{blanco}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )!

Derivación de la fórmula: $\begin{align}n!! & = {\color{Gray}\underbrace{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n}_{\color{Black}\tfrac{n}{2))} = { \color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{n}{2))} \; \cdot\; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot n \;}{\color{Gris}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color {Negro}\tfrac{n}{2}}} = \\ & = {2^{{\color{blanco}1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n}{2} \right )} = 2^{{\color{blanco} 1}^{\!\!\!\! \frac{n}{2}}} \cdot \left ( \frac{n}{2} \right )! \end{alinear}$

Un ejemplo que ilustra la derivación de la fórmula utilizada anteriormente:

\begin{align} ¡¡14!! & = 2^{\frac{14}{2}} \cdot \left ( \frac{14}{2} \right )! = 2^7 \cdot 7! = \\ & = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7) = \\ & = (2 \cdot 1) (2 \cdot 2) (2 \cdot 3) (2 \cdot 4) (2 \cdot 5) (2 \cdot 6) (2 \cdot 7) = \\ & = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 10 \cdot 12 \cdot 14 = 645120 \end{align}

Fórmula para n impar :

¡¡norte!! = \frac{n!}{2^{{\color{blanco}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}

Derivación de la fórmula: $\begin{align}n!! & = {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot n}}_{\color{Black}\frac{n+1}{2} )) = \frac{{\color{Gray}\overbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}^{\color{Black}\frac{n -1}{2))} \cdot {\color{Gris}\overbrace{\color{Negro}1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot n}^ {\color{Negro}\frac{n+1}{2}}}} {\color{Gris}\underbrace{{\color{OliveGreen}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n- 1)))_{\color{Negro}\frac{n-1}{2}}} = \\ & = \frac{\color{Gris}\overbrace{\color{Negro}1 \cdot {\color {VerdeOliva}2} \cdot 3 \cdot {\color{VerdeOliva}4} \cdot 5 \cdot {\color{VerdeOliva}6} \cdot 7 \cdot \ldots \cdot (n-2) \cdot {\color {VerdeOliva}(n-1)} \cdot n}^{\color{Negro}n}} {\color{Gris}\underbrace{{\color{VerdeOliva}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \ cdot (n-1)}}_{\color{Negro}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{\color{Gris}\underbrace{{\color{Negro}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)}}_{\color{Negro}\frac{n-1}{2}}} = \frac{n!}{(n-1 )!!} \end{alinear}$ Así, es posible mostrar la relación entre los factoriales dobles de dos enteros no negativos adyacentes a través del factorial habitual de uno de ellos. A continuación, continuamos derivando la fórmula para el factorial doble de n impar . Retrocedamos un paso (antes de la aparición explícita de ( n -1)!! ) y realicemos algunas transformaciones algebraicas idénticas en el denominador: $\begin{align}& {\color{Gray}\underbrace{{\color{Black}2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1)))_{\color{Black}\frac {n-1}{2))} = {\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2}_{\color{Black}\tfrac{ n-1}{2}}}\; \cdot\; \frac{\; 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (n-1) \;}{\color{Gray}\underbrace{\color{OliveGreen}2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 2} _ {\color{Negro}\tfrac{n-1}{2}}} = \\ & = {2^({\color{blanco}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2))} \cdot \left ( 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{2} \right )} = 2^{{\ color{blanco}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )! \end{alinear}$ Sustituimos la expresión resultante por el denominador en la fórmula para : $¡¡norte!!$ $¡¡norte!! = \frac{n!}{2^{{\color{blanco}1}^{\!\!\!\! \frac{n-1}{2}}} \cdot \left ( \frac{n-1}{2} \right )!}$

Un ejemplo que ilustra la derivación de la fórmula utilizada anteriormente:

{\begin{alineado}15!!&={\frac {15!}{2^{({\color {blanco}1}^{{\!\!\!\!{\frac {15-1} {2))))))\cdot \left({\frac {15-1}{2}}\right)!}}={\frac {15!}{2^{({\color {blanco} 1}^{{\!\!\!7))))\cdot 7!))=\\&={\color {blanco}\overbrace {\color {Black}{\frac {1\cdot 2\ cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7)))))=\\&={\color {blanco}\ sobrebrace {\color {Black}{\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15}{(2\cdot 1)(2\cdot 2)(2\cdot 3)(2\cdot 4)(2\cdot 5)(2\cdot 6)(2\cdot 7)}} }}=\\&={\color {blanco}\overbrace {\color {Negro}{\frac {1\cdot {\color {OliveGreen}2}\cdot 3\cdot {\color {OliveGreen}4}\ cdot 5\cdot {\color {OliveGreen}6}\cdot 7\cdot {\color {OliveGreen}8}\cdot 9\cdot {\color {OliveGreen}10}\cdot 11\cdot {\color {OliveGreen}12 }\cdot 13\cdot {\color {VerdeOliva}14}\cdot 15}{\color {Ol iveGreen}2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot 10\cdot 12\cdot 14))))=\\&={\color {blanco}\overbrace {\color {Black}1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}=2027025\end{alineado}}

Habiendo hecho la sustitución por n par y por n impar , respectivamente, donde es un entero no negativo, obtenemos: $n=2k$ $n=2k+1$ $k$

para un numero par:

(2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2k=\prod_{{i=1}}^{{k}}2i=2^{k}\cdot k!

para un número impar:

(2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2k+1)=\prod_{{i=0}}^{{k}}(2i+1)={ \frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}

Por acuerdo : Además, esta igualdad se cumple naturalmente: $0!! = 1$

0!! = 2^0 \cdot 0! = 1 \cdot 1 = 1

El factorial doble, como el factorial regular, se define solo para números enteros no negativos.

La secuencia de valores n !! comienza así [16] :

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10395, 46080, 135135, 645120, 2027025, 10321920, 34459425, 185794560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 753.

Factorial múltiple

El m factorialnúmero n se denotay se define de la siguiente manera. Sea el número n representado comodondeEntonces [17] $\textstyle n\underbrace{!!\ldots!}_m$ $n=mk-r,$ $k\in {\matemáticas {Z}),$ $r \in \{0,1,\ldots,m-1\}.$

n\underbrace{!!\ldots!}_m = \prod_{i=1}^k (mi-r)

Los factoriales ordinario y doble son casos especiales del factorial de m veces para m = 1 y m = 2 , respectivamente.

El factorial múltiple está relacionado con la función gamma por la siguiente relación [18] :

n\underbrace {!!\ldots!}_{m}=\prod_{{i=1}}^{{k}}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\right)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\right))).

También es posible escribir el factorial múltiple en forma abreviada . $\textstyle n\underbrace{!!\ldots!}_m$ ${\ Displaystyle n! _ {(m)))$

Factorial incompleto

Factorial decreciente

El factorial decreciente es la expresión

(n)_k = n^{\underline{k)) = n^{[k]}= n\cdot (n-1)\cdot \ldots\cdot (n-k+1) = \frac{n! {(nk)!} = \prod_{i=n-k+1}^ni

Por ejemplo:

n = 7; k = 4 ( norte - k ) + 1 = 4, nk = 7 • 6 • 5 • 4 = 840.

El factorial decreciente da el número de ubicaciones de n a k .

Factorial creciente

Un factorial creciente es una expresión

n^{(k)} = n^{\overline{k)) = n\cdot (n+1)\cdot \ldots\cdot (n+k-1) = \frac{(n+k-1) !}{(n-1)!}=\prod_{i=n}^{(n+k)-1} i.

Primorial o primordial

El primorial o primorial ( ing. primorial ) de un número n se denota por p n # y se define como el producto de los primeros n números primos. Por ejemplo,

p_{5}\#=2\veces 3\veces 5\veces 7\veces 11=2310

A veces, un primorial es un número definido como el producto de todos los números primos que no excedan un n dado . $norte\#$

La secuencia de primoriales (incluyendo ) comienza así [19] : ${\textstyle{1\# \equiv 1}}$

1 , 2 , 6 , 30 , 210 , 2310 , 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 800 000, …

Fibonorial o fibonaccial

El producto de los primeros números de Fibonacci. Escrito n ! F._ _

Por ejemplo: 6! F = . $1\times 1\times 2\times 3\times 5\times 8=240$

Superfactoriales

Neil Sloane y Simon Plouffet en 1995 definieron el superfactorial como el producto de los primeros n factoriales. Según esta definición, el superfactorial de cuatro es igual a

\operatorname {sf} (4)=1!\veces 2!\veces 3!\veces 4!=288

(al no haber una designación establecida, se utiliza una funcional).

Considerándolo todo

\operatorname{sf}(n) =\prod_{k=1}^nk! =\prod_{k=1}^nk^{n-k+1} =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n ^ 1.

La secuencia de superfactoriales de números comienza así [20] : $n \geqslant 0$

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, 125 411 328 000, 5 056 584 744 960 000, 1 834 933 472 251 084 800 000, 6 658 606 584 104 737 000 000 000 000, 265 , 265 790 267 296 391 960,000,000,000,000,000,000

La idea fue generalizada en 2000 por Henry Bottomley , lo que llevó a los hiperfactoriales ( ing. Hyperfactorial ), que son el producto de los primeros n superfactoriales. La secuencia de hiperfactoriales de números comienza así [21] : $n \geqslant 0$

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000, …

Continuando recurrentemente , se puede definir el factorial de niveles múltiples , o el factorial de niveles m de n , como el producto de los factoriales de niveles ( m − 1) de los números 1 a n , es decir

\operatorname {mf}(n,m)=\operatorname {mf}(n-1,m)\operatorname {mf}(n,m-1)=\prod_{{k=1}}^{n} k^{{n-k+m-1 \elegir nk}},

para donde y $\nombre del operador{mf}(n,0)=n$ $n>0$ $\nombre del operador{mf}(0,m)=1.$

Subfactorial

subfactorial ! n se define como el número de permutaciones de orden n , es decir, permutaciones de un conjunto de n elementos sin puntos fijos .

Véase también

fábrica

Notas

↑ Seis mil doscientos veintisiete millones veinte mil ochocientos
↑ Ochenta y siete mil ciento setenta y ocho millones doscientos noventa y un mil doscientos
↑ Un billón trescientos siete mil seiscientos setenta y cuatro millones trescientos sesenta y ocho mil
↑ Veinte billones novecientos veintidós mil setecientos ochenta y nueve millones ochocientos ochenta y ocho mil
↑ trescientos cincuenta y cinco billones seiscientos ochenta y siete mil cuatrocientos veintiocho millones noventa y seis mil
↑ Seis mil cuatrocientos dos billones trescientos setenta y tres mil setecientos cinco millones setecientos veintiocho mil
↑ Ciento veintiún mil seiscientos cuarenta y cinco billones cien mil cuatrocientos ocho millones ochocientos treinta y dos mil
↑ dos quintillones cuatrocientos treinta y dos mil novecientos dos billones ocho mil ciento setenta y seis millones seiscientos cuarenta mil
↑ Quince septillones quinientos once sextillones doscientos diez quintillones cuarenta y tres mil trescientos treinta billones novecientos ochenta y cinco mil novecientos ochenta y cuatro millones
↑ Тридцать вигинтиллионов четыреста четырнадцать новемдециллионов девяносто три октодециллиона двести один септдециллион семьсот тринадцать седециллионов триста семьдесят восемь квиндециллионов сорок три кваттуордециллиона шестьсот двенадцать тредециллионов шестьсот восемь додециллионов сто шестьдесят шесть ундециллионов шестьдесят четыре дециллиона семьсот шестьдесят восемь нониллионов восемьсот сорок четыре октиллиона триста семьдесят семь септиллионов шестьсот сорок один sextillón quinientos sesenta y ocho trillones novecientos sesenta mil quinientos doce billones
↑ Одиннадцать дуотригинтиллионов девятьсот семьдесят восемь антригинтиллионов пятьсот семьдесят один тригинтиллион шестьсот шестьдесят девять новемвигинтиллионов девятьсот шестьдесят девять октовигинтиллионов восемьсот девяносто один септемвигинтиллион семьсот девяносто шесть сексвигинтиллионов семьдесят два квинвигинтиллиона семьсот восемьдесят три кватторвигинтиллиона семьсот двадцать один тревигинтиллион шестьсот восемьдесят девять дуовигинтиллионов девяносто восемь анвигинтиллионов семьсот тридцать шесть вигинтиллионов четыреста cincuenta y ocho novemdecillion novecientos treinta y ocho octodecillion ciento cuarenta y dos septdecillion quinientos cuarenta y seis cedecillion cuatrocientos veinticinco quindecillion ochocientos cincuenta y siete quattuordecillion quinientos cincuenta y cinco tredecillion trescientos sesenta -dos dodecillion ochocientos sesenta y cuatro undecillion seiscientos veintiocho decillion nueve nonillion quinientos ochenta y dos octillion setecientos ochenta y nueve septi millones ochocientos cuarenta y cinco sextillones trescientos diecinueve quintillones seiscientos ochenta mil billones
↑ Los coeficientes de esta expansión dan A001163 (numeradores) y A001164 (denominadores)
↑ Crump, Christian . Consultado el 19 de septiembre de 2016. Archivado desde el original el 19 de septiembre de 2016. (indefinido)
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↑ Secuencia OEIS A000178 _
↑ Secuencia OEIS A055462 _

Signos matemáticos

más ( + )
menos ( - )
Signo de multiplicación ( · o × )
Signo de división ( : o / )
Óbelo ( ÷ )
Signo de raíz ( √ )
factoriales ( ! )
Signo integral ( ∫ )
nabla ( ∇ )
Signo igual ( = , ≈ , ≡ etc. )
Signos de desigualdad ( ≠ , > , < etc. )
Proporcionalidad ( ∝ )
Corchetes ( ( ) , [ ] , ⌈ ⌉ , ⌊ ⌋ , { } , ⟨ ⟩ )
Barra vertical ( | )
barra, barra ( / )
Barra invertida, barra invertida ( \ )
Signo de infinito ( ∞ )
Signo de grado ( ° )
Trazo ( ′ , ″ , ‴ , ⁗ )
Asterisco ( * )
Porcentaje ( % )
ppm ( ‰ )
tilde ( ~ )
Karet ( ^ )
Circunflejo ( ˆ )
Más-menos ( ± )
Signo menos-más ( ∓ )
Separador decimal ( , o . )
Carácter de fin de prueba ( ∎ )