Conjunto de factores

El conjunto de factores es el conjunto de todas las clases de equivalencia para una relación de equivalencia dada en el conjunto , denotada por . La partición de un conjunto en clases de elementos equivalentes se denomina factorización . $\sim$ $X$ $X/\!\sim$

Un mapeo de a un conjunto de clases de equivalencia se llama mapeo de factores . Debido a las propiedades de la relación de equivalencia, la partición en conjuntos es única. Esto significa que las clases que contienen no se cruzan o coinciden completamente. Para cualquier elemento , alguna clase de está definida de forma única , en otras palabras, hay un mapeo sobreyectivo de a . Una clase que contiene a veces se denota como . $X$ $X/\!\sim$ $\para todo x,\;y\en X$ $x\en X$ $X/\!\sim$ $X$ $X/\!\sim$ $X$ $[X]$

Si se proporciona una estructura a un conjunto, a menudo se puede usar un mapeo para proporcionar al conjunto de factores la misma estructura; por ejemplo, las clases de equivalencia de un espacio topológico pueden estar dotadas de la topología inducida ( espacio factorial ), las clases de equivalencia de un sistema algebraico pueden estar dotadas de las mismas operaciones y relaciones ( sistema factorial ). $X\to X/\!\sim$ $X/\!\sim$

Aplicaciones y ejemplos

Si se da una aplicación sobreyectiva , entonces la relación se da en el conjunto . Puede considerar un conjunto de factores . La función define una correspondencia uno a uno natural entre y . $f\dos puntos X\a Y$ $X$ $x\sim x'\iff f(x)=f(x')$ $X/\!\sim$ $F$ $X/\!\sim$ $Y$

Es razonable utilizar la factorización de conjuntos para obtener espacios normados a partir de espacios semi-normados, espacios con producto interior a partir de espacios con producto casi interior, etc. Para ello se introduce la norma de una clase, respectivamente, igual a la norma de un elemento arbitrario de él, y el producto escalar de clases como el producto escalar de elementos arbitrarios de clases. A su vez, la relación de equivalencia se introduce de la siguiente manera (por ejemplo, para formar un espacio de cociente normado): se introduce un subconjunto del espacio semi-normativo original, formado por elementos con semi-norma cero (por cierto, es lineal , es decir, es un subespacio) y se considera que dos elementos son equivalentes si su diferencia pertenece a este mismo subespacio.

Si se introduce cierto subespacio de un espacio lineal para factorizar un espacio lineal y se supone que si la diferencia de dos elementos del espacio original pertenece a este subespacio, entonces estos elementos son equivalentes, entonces el conjunto factorial es un espacio lineal y se llama espacio factorial.

El plano proyectivo se puede definir como el espacio cociente de una esfera bidimensional definiendo una relación de equivalencia . $\mathbb{R} P^{2}$ $(x,\;y,\;z)\sim (-x,\;-y,\;-z)$

La botella de Klein se puede representar como el espacio cociente de un cilindro con respecto a la relación de equivalencia ( es la coordenada angular sobre el círculo). $S^{1}\veces [0,\;1]$ $(\varphi,\;0)\sim (-\varphi,\;1)$ $\varphi \in [-\pi ,\;\pi ]$

Propiedades

Los mapeos factoriales q : X → Y se describen entre los mapeos sobreyectivos por la siguiente propiedad: si Z es un espacio topológico y f : Y → Z es una función, entonces f es continua si y solo si f ∘ q es continua.

El espacio del cociente X /~ junto con el mapa del cociente q : X → X /~ se describe mediante la siguiente propiedad universal : si g : X → Z es un mapa continuo tal que si a ~ b implica g ( a ) = g ( b ) para todos los a y b de X , entonces hay un único mapeo f : X /~ → Z tal que g = f ∘ q . Decimos que g desciende a una factorización .

Las aplicaciones continuas definidas en X /~ son, por lo tanto, exactamente aquellas aplicaciones que surgen de aplicaciones continuas definidas en X que satisfacen una relación de equivalencia (en el sentido de que asignan elementos equivalentes a la misma imagen). Este criterio es ampliamente utilizado en el estudio de espacios cocientes.

Dada una sobreyección continua q : X → Y , es útil tener un criterio por el cual determinar si q es un cociente. Dos condiciones suficientes: q está abierto o cerrado . Tenga en cuenta que estas condiciones son sólo suficientes , pero no necesarias . Es fácil construir ejemplos de mapeos de factores que no sean ni abiertos ni cerrados. Para grupos topológicos, el mapeo de factores está abierto.

Compatibilidad con otros conceptos topológicos

Posibilidad de separación
- En general, los espacios de cocientes se comportan mal con respecto a los axiomas de separabilidad. Las propiedades de separabilidad de un conjunto X no se heredan necesariamente bajo X /~ y X /~ puede tener propiedades de separabilidad que no existen en X .
- X /~ es un espacio T 1 si y solo si alguna clase de equivalencia ~ está cerrada en X .
- Si el mapa del cociente está abierto , entonces X /~ es un espacio de Hausdorff si y solo si ~ es un subconjunto cerrado del producto de espacios X × X.
Conectividad
- Si un espacio es conexo o conexo por caminos , también lo son todos sus espacios cocientes.
- El espacio cociente de un espacio simplemente conexo o contráctil no tendrá necesariamente estas propiedades.
compacidad
- Si un espacio es compacto, también lo son todos sus espacios cocientes.
- Un espacio cociente de un espacio localmente compacto no es necesariamente localmente compacto.
Dimensión del espacio
- La dimensión topológica del espacio del cociente puede ser mayor (y puede ser menor) que la dimensión del espacio original; las curvas que llenan el espacio proporcionan tales ejemplos.