Figuras de lissajous

Las figuras de Lissajous  son trayectorias trazadas por un punto que realiza simultáneamente dos oscilaciones armónicas en dos direcciones mutuamente perpendiculares.

Estudiado por primera vez por el científico francés Jules Antoine Lissajous .

Descripción

La forma de las figuras depende de la relación entre los periodos ( frecuencias ), fases y amplitudes de ambas oscilaciones. En el caso más simple de igualdad de ambos periodos, las figuras son elipses, que con desfase 0 o degeneran en segmentos de recta, y con desfase e igualdad de amplitudes se transforman en círculo.

Si los períodos de ambas oscilaciones son cercanos, entonces la diferencia de fase cambia linealmente, como resultado de lo cual la elipse observada se deforma todo el tiempo. Este fenómeno se usa en electrónica para comparar frecuencias y ajustar una frecuencia a la segunda: la frecuencia de referencia.

Con períodos de oscilaciones que difieren muchas veces en magnitud, las figuras de Lissajous son una imagen confusa y no se observan, por ejemplo, en una pantalla de osciloscopio ; en este caso, se observa un rectángulo luminoso.

Si la razón de los periodos es un número racional , entonces después de un periodo de tiempo igual al menor múltiplo de ambos periodos, el punto en movimiento vuelve a su posición original, y con el vector velocidad del punto coincidiendo con el inicial , resultando en trayectorias cerradas. Si la razón de periodos es un número irracional , entonces se generan trayectorias no cerradas.

Las figuras de Lissajous están inscritas en un rectángulo cuyo centro coincide con el origen , y los lados son paralelos a los ejes coordenados y situados a ambos lados de ellos a distancias iguales a las amplitudes de las oscilaciones.

Expresión matemática para la curva de Lissajous

La dependencia de las coordenadas x e y en el tiempo t está descrita por el sistema

donde A , B  son amplitudes de oscilación, a , b  son frecuencias, δ  es cambio de fase.

La forma de la curva depende en gran medida de la relación a / b . Cuando la razón es 1, la figura de Lissajous parece una elipse, bajo ciertas condiciones parece un círculo ( A = B , δ = π /2 radianes ) y un segmento de línea recta ( δ = 0).

Otro ejemplo de figura de Lissajous es una parábola ( b / a = 2, δ = π/4). Con otras razones, las figuras de Lissajous son figuras más complejas que son cerradas siempre que a / b  sea un número racional .

Cifras de Lissajous, donde a = 1, b = N ( N  es un número natural ) y

son polinomios de Chebyshev de primer tipo de grado N (ver su definición trigonométrica ).

Ejemplos

La animación muestra el cambio de las curvas en δ = 0 y una relación a / b en constante aumento de 0 a 1 en pasos de 0,01:

Ejemplos de figuras de Lissajous con δ = π /2, un número natural impar a , y también un número natural b , y | un - segundo | = 1:

Aplicaciones de ingeniería - comparaciones de frecuencia

Si se aplican señales de frecuencias cercanas a las entradas "X" e "Y" del osciloscopio , entonces se pueden ver las figuras de Lissajous en la pantalla. Este método se usa ampliamente para comparar las frecuencias de dos fuentes de señal y para sintonizar una fuente con la frecuencia de otra. Cuando las frecuencias están cerca, pero no son iguales entre sí, la figura en la pantalla gira y el período del ciclo de rotación es el recíproco de la diferencia de frecuencia, por ejemplo, con un período de rotación de 2 segundos, la diferencia en las frecuencias de las señales es de 0,5 Hz. Si las frecuencias son iguales, la figura se congela inmóvil, en cualquier fase, sin embargo, en la práctica, debido a las inestabilidades de la señal a corto plazo, la figura en la pantalla del osciloscopio suele temblar un poco. Puede usar para la comparación no solo las mismas frecuencias, sino también aquellas en una relación múltiple, por ejemplo, si la fuente ejemplar puede producir una frecuencia de solo 5 MHz y la fuente sintonizable - 2.5 MHz.

Véase también

Literatura

Enlaces

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