Fórmula Kubo

La fórmula de Kubo es una ecuación que expresa la respuesta lineal de una cantidad observada en función de una perturbación no estacionaria . Nombrado en honor a Ryogo Kubo , quien introdujo por primera vez la fórmula en 1957 [1] [2] .

Utilizando la fórmula de Kubo, se pueden calcular las susceptibilidades de carga y espín de los sistemas de electrones como respuesta a los campos eléctricos y magnéticos aplicados. También es posible calcular la respuesta a fuerzas mecánicas externas y vibraciones.

Fórmula general de Kubo

Considere un sistema cuántico descrito por un hamiltoniano (independiente del tiempo) . El valor promedio de una cantidad física descrita por el operador se puede estimar como: $H_{0}$ ${\ sombrero {A}}$

\langle {\sombrero {A}}\rangle ={1 \over Z_{0}}\operatorname {Tr} \,[{\sombrero {\rho _{0}}}{\sombrero {A} }]={1 \over Z_{0}}\sum _{n}\langle n|{\hat {A}}|n\rangle e^{-\beta E_{n}}

{\hat {\rho _{0}}}=e^{-\beta {\hat {H}}_{0}}=\sum _{n}|n\rangle \langle n|e ^{-\betaE_{n}}

donde está la función de partición . Supongamos ahora que en el momento del tiempo una perturbación externa comienza a actuar sobre el sistema. Esta perturbación se describe mediante una dependencia temporal adicional del hamiltoniano: donde es la función de Heaviside , que es igual a 1 para tiempos positivos y 0 en caso contrario y es hermítica y está definida para todo t , tal que para positivo , tiene un conjunto completo de valores propios reales pero estos valores de valores propios pueden cambiar con el tiempo. $Z_{0}=\nombre del operador {Tr} \,[{\hat {\rho }}_{0}]$ $t=t_{0}$ ${\sombrero {H}}(t)={\sombrero {H}}_{0}+{\sombrero {V}}(t)\theta (t-t_{0}),$ ${\ estilo de visualización \ theta (t)}$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {V}} (t)}$ $t-t_{0}$ ${\ sombrero H} (t)$ ${\ estilo de visualización E_ {n} (t) \,,}$

Sin embargo, ahora nuevamente podemos encontrar la evolución temporal de la matriz de densidad desde el lado derecho de la expresión de la función de partición y estimar la expectativa matemática como ${\ estilo de visualización {\ sombrero {\ rho}} (t)}$ $Z(t)=\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho }}(t)],$ $\langle {\hat {A}}\rangle =\operatorname {Tr} \,[\rho (t)\,{\hat {A}}]/\operatorname {Tr} \,[{\hat {\rho}}(t)].$

La dependencia temporal de los estados está completamente determinada por la ecuación de Schrödinger, que corresponde a la imagen de Schrödinger . Pero dado que se considera como una pequeña perturbación, es conveniente utilizar la representación de la imagen de interacción, en el orden no trivial más bajo. La dependencia del tiempo en esta representación viene dada por donde por definición para todo t y , ${\ estilo de visualización | n (t) \ rangle}$ $i\parcial _{t}|n(t)\rangle ={\hat {H))(t)|n(t)\rangle ,$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {V}} (t)}$ ${\ estilo de visualización | {\ sombrero {n}} (t) \ rangle,}$ $|n(t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}_{0}t}|{\hat {n}}(t)\rangle =e^{-i{\ sombrero {H}}_{0}t}{\sombrero {U}}(t,t_{0})|{\sombrero {n}}(t_{0})\rangle ,$ $t_0$ $|{\sombrero {n}}(t_{0})\rangle =e^{i{\sombrero {H}}_{0}t_{0}}|n(t_{0})\rangle$

En orden lineal en , obtenemos . Así, la media de hasta un orden lineal con respecto a la perturbación es igual a ${\ estilo de visualización {\ sombrero {V}} (t)}$ ${\sombrero {U}}(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}dt'{\sombrero {V}}(t')$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero {A}} (t)}$

{\begin{matriz}{rcl}\langle {\hat {A}}(t)\rangle &=&\langle {\hat {A}}\rangle_{0}-i\int_{ t_{0}}^{t}dt'{1 \sobre Z_{0}}\sum _{n}e^{-\beta E_{n}}\langle n(t_{0})|{\sombrero {A}}(t){\sombrero {V}}(t')-{\sombrero {V}}(t'){\sombrero {A}}(t)|n(t_{0})\rangle \\&=&\langle {\hat {A}}\rangle _{0}-i\int _{t_{0}}^{t}dt'\langle [{\hat {A}}(t) ,{\sombrero {V}}(t')]\rangle _{0}\end{matriz}}

Los paréntesis angulares significan el promedio de equilibrio sobre el hamiltoniano no perturbado Por lo tanto, para la teoría de perturbaciones de primer orden, el promedio incluye solo funciones propias de orden cero, lo que generalmente ocurre en la teoría de perturbaciones. Esto elimina todas las complejidades que de otro modo podrían surgir para puntos en el tiempo . ${\ estilo de visualización \ langle \ rangle _ {0))$ ${\ estilo de visualización H_ {0}.}$ ${\displaystyle t>t_{0))$

La expresión anterior es verdadera para cualquier operador. (ver también Segunda cuantización ) [3] .

Notas

↑ Kubo, Ryogo (1957). “Teoría Estadístico-Mecánica de Procesos Irreversibles. I. Teoría General y Aplicaciones Simples a Problemas Magnéticos y de Conducción”. J Phys. soc. Jpn . 12 :570–586. DOI : 10.1143/JPSJ.12.570 .
↑ Kubo, Ryogo (1957). “Teoría Estadístico-Mecánica de Procesos Irreversibles. II. Respuesta a la Perturbación Térmica.” J Phys. soc. Jpn . 12 : 1203–1211. DOI : 10.1143/JPSJ.12.1203 .
↑ Mahan, GD. mucha física de partículas. - Nueva York: springer, 1981. - ISBN 0306463385 .