Números de Euler

Números de Euler (o números de Euler ): números enteros utilizados en la expansión de la secante hiperbólica en una serie de potencias [1] $E_{0},E_{1},E_{2},\puntos$

{\frac {1}{\operatorname {ch} (t)))={\frac {2}{e^{t}+e^{-t))}=\sum _{n=0 }^{\infty }{\frac {E_{n}\cdot t^{n}}{n!)}}

Aquí ch(t) denota el coseno hiperbólico.

Como la función ch(t) es par, entonces

E_{1}=E_{3}=E_{5}=\puntos =E_{2n+1}=\puntos =0

Números semilla de Euler con índices pares (secuencia A028296 en OEIS ):

mi 0 = 1 E2 = -1 mi 4 = 5 mi 6 \u003d -61 E8 = 1385 mi 10 \u003d -50521

Los números de Euler están relacionados con los números de Bernoulli por las siguientes relaciones:

E_{n-1}={\frac {(4B-1)^{n}-(4B-3)^{n}}{2n)),

E_{2n}={\frac{4^{2n+1}}{2n+1}}(B-0.25)^{2n+1}.

Después de abrir los paréntesis, el grado del número B debe ser reemplazado por un índice.

Notas

↑ Ross Tang, "Una fórmula explícita para los números en zigzag de Euler (números arriba/abajo) de la serie de potencias" Archivado el 11 de mayo de 2012 en Wayback Machine .

Literatura

Números de Euler // Enciclopedia Matemática / Cap. edición I. M. Vinogradov. - M .: Enciclopedia soviética, 1984-1985. - Tomo 5, página 937.