Excentricidad

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La excentricidad es una característica numérica de una sección cónica , que muestra el grado de su desviación de un círculo . Por lo general, denotado por o . $mi$ $\varepsilon$

La excentricidad es invariante bajo movimientos planos y transformaciones de semejanza .

Definición

Todas las secciones cónicas no degeneradas, a excepción del círculo , se pueden describir de la siguiente manera: elegimos un punto y una línea en el plano y establecemos un número real ; entonces el lugar geométrico de los puntos para los cuales la razón de las distancias al punto ya la línea es igual a , es una sección cónica; es decir, si hay una proyección sobre , entonces $F$ $d$ $e>0$ $METRO$ $F$ $d$ $mi$ $METRO'$ $METRO$ $d$

FM=e\cdot MM'

Este número se llama la excentricidad de la sección cónica. La excentricidad de un círculo es, por definición, 0. $mi$

Definiciones relacionadas

El punto se llama el foco de la sección cónica. $F$
La recta se llama directriz . $d$

Sección cónica en coordenadas polares

La sección cónica, uno de cuyos focos se encuentra en el polo, viene dada en coordenadas polares por la ecuación:

r={\frac {\ell}{1-e\cos \varphi}}

donde es la excentricidad y es otro parámetro constante (el llamado parámetro focal ). $mi$ $\ana$

Es fácil demostrar que esta ecuación es equivalente a la definición dada anteriormente. En esencia, puede usarse como una definición alternativa de excentricidad, quizás menos fundamental, pero conveniente desde el punto de vista analítico y aplicado; en particular, muestra claramente el papel de la excentricidad en la clasificación de las secciones cónicas y en cierto modo aclara aún más su significado geométrico.

Propiedades

Dependiendo de la excentricidad, resultará:
- cuando - hipérbole . Cuanto mayor es la excentricidad de la hipérbola, más se parecen sus dos ramas a líneas rectas paralelas; $mi>1$
- cuando - parábola ; $mi = 1$
- cuando - elipse ; ${\ estilo de visualización 0 \ leq e <1}$
- para un círculo , . $e=0$

La excentricidad de la elipse y la hipérbola es igual a la relación de la distancia del foco al centro al semieje mayor. Esta propiedad se toma a veces como la definición de excentricidad. En épocas anteriores (por ejemplo, en 1787 [1] ) no se dividían por el semieje mayor - la distancia del foco al centro se llamaba excentricidad de la elipse [2] .
La excentricidad de una elipse también se puede expresar en términos de la relación de los semiejes menor ( ) y mayor ( ): $b$ $a$

e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

La excentricidad de una hipérbola se puede expresar en términos de la relación entre los semiejes imaginario ( ) y real ( ): $b$ $a$

e={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}

La excentricidad de una hipérbola equilátera, que es un gráfico de proporcionalidad inversa y está dada por la ecuación , es igual a . $f(x)={k \sobre x},x\neq 0,k\neq 0$ ${\ sqrt {2}}$

Para una elipse, también se puede expresar en términos de la relación de los radios peri- ( ) y apocentro ( ): $r_{\mathrm {por} }$ ${\displaystyle r_{\mathrm {ap} ))$

e={\frac {r_{\mathrm {ap} }-r_{\mathrm {por} }}{r_{\mathrm {ap} }+r_{\mathrm {por} }}}=1-{\frac {2}{{\frac {r_{\mathrm {ap} }}{r_{\mathrm {por} }}}+1}}

Véase también

Notas

↑ John Bonnycastle. Una introducción a la astronomía . - Londres, 1787. - S. 90.
↑ El diccionario inglés de Oxford . — 2ª ed. - Oxford: Oxford University Press , 1989. - vol. V. - P. 50.

Literatura

Akopyan AV , Zaslavsky AA Propiedades geométricas de curvas de segundo orden . — M.: MTsNMO , 2007. — 136 p.

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