Espacio de eventos elementales

El espacio de eventos elementales es el conjunto de todos los diferentes resultados de un experimento aleatorio . $\Omega$

Un elemento de este conjunto se denomina evento o resultado elemental . El espacio de eventos elementales se llama discreto si el número de sus elementos es finito o contable . Cualquier espacio de eventos elementales que no sea discreto se denomina no discreto , y al mismo tiempo, si los resultados observados (que no deben confundirse con eventos aleatorios ) son puntos de uno u otro espacio numérico aritmético o de coordenadas, entonces el espacio es llamado continuo ( continuum ). El espacio de sucesos elementales , junto con el álgebra de sucesos y la probabilidad , forma una terna , que se denomina espacio de probabilidad . $\omega \en \Omega$ $\Omega$ ${\ matemáticas {F}}$ ${\ matemáticas {P}}$ $(\Omega,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$

Evento elemental

En la teoría de la probabilidad, los eventos elementales o eventos atómicos son los resultados (elementales) de un experimento aleatorio, de los cuales ocurre exactamente uno en el experimento. El conjunto de todos los eventos elementales generalmente se denota por . $\Omega$

Cualquier subconjunto del conjunto de eventos elementales se denomina evento aleatorio . Se dice que un experimento resultó en un evento aleatorio si el resultado (elemental) del experimento es un elemento de . La diferencia entre los conceptos de "evento elemental" y "evento aleatorio" es que los eventos elementales son elementos (por eso se les llama eventos atómicos), y los eventos aleatorios son subconjuntos , es decir, un evento aleatorio es un conjunto cuyos elementos son desarrollos elementales. . $\Omega$ $A\subconjunto\Omega$ $A$ $\Omega$ $\Omega$

En la definición de un espacio de probabilidad sobre un conjunto de eventos aleatorios, se introduce una medida finita sigma-aditiva , llamada probabilidad.

Los eventos elementales pueden tener probabilidades estrictamente positivas, cero, inciertas o cualquier combinación de estas opciones. Por ejemplo, cualquier distribución de probabilidad discreta está determinada por las probabilidades de lo que podría llamarse eventos elementales. En contraste, todos los eventos elementales tienen probabilidad cero para una distribución continua . Las distribuciones mixtas, que no son ni continuas ni discretas, pueden contener átomos , que se pueden considerar como eventos elementales (es decir , eventos atómicos ) con probabilidad distinta de cero. En la teoría de la medida, en la definición de un espacio de probabilidad , la probabilidad de un evento elemental arbitrario no podía definirse hasta que los matemáticos vieran la diferencia entre el espacio de resultados S y los eventos de interés, que se definen como elementos del álgebra σ de acontecimientos de s.

Hablando formalmente, un evento elemental es un subconjunto del espacio de resultados de un experimento aleatorio, que consta de un solo elemento; es decir, un evento elemental sigue siendo un conjunto, pero no el elemento en sí. Sin embargo, los eventos elementales generalmente se escriben como elementos en lugar de como conjuntos en aras de la simplicidad, cuando esto no puede causar confusión.

Ejemplos

Si se lanza un dado , la cara superior puede ser una de las seis caras con un número de puntos del uno al seis. La pérdida de cualquier cara en este caso en la teoría de la probabilidad se llama un evento elemental [1] , es decir $\omega_{k}$

$\omega_{1}$ - cara con un punto;
$\omega _{2}$ - cara con dos puntos;
…
$\omega _{6}$ - un borde de seis puntos.

El conjunto de todas las caras forma un espacio de eventos elementales , cuyos subconjuntos se denominan eventos aleatorios [1] . En el caso de una sola tirada de un dado, ejemplos de eventos son $\{\,\omega _{1},\ldots,\omega _{6}\,\}$ $\Omega$ $A$

la caída de una cara con número impar de puntas, es decir, el evento es la caída de una cara con una punta o una cara con tres puntas, o una cara con cinco puntas). Matemáticamente, un evento se escribe como un conjunto que contiene eventos elementales: , y . Así, ; $A$ $A$ $\omega_{1}$ $\Omega 3}$ $\omega _{5}$ $A=\{\,\omega _{1},\omega _{3},\omega _{5}\,\}$
la caída de una cara con un número par de puntas, es decir, el evento es la caída de una cara con dos puntas o una cara con cuatro puntas, o una cara con seis puntas. Matemáticamente, un evento se escribe como un conjunto que contiene eventos elementales: , y . Así, ; $A$ $A$ $\omega _{2}$ $\omega _{4}$ $\omega _{6}$ $A=\{\,\omega_{2},\omega_{4},\omega_{6}\,\}$

Algunos ejemplos más de espacios de resultados de experimentos son : $\Omega$

Si el número de resultados posibles es contable, entonces los eventos elementales pueden considerarse números naturales, el espacio de eventos elementales en este caso será el conjunto de los números naturales . $\Omega = \{0, 1, 2, 3, ...\}$
Si una moneda se lanza dos veces, para cara y para cruz, entonces los eventos elementales son: , y . $\Omega =\{OO, OP, PO, PP\}$ $O$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización OO}$ $OP$ ${\ estilo de visualización PO}$ ${\ estilo de visualización PP}$
Si son variables aleatorias normalmente distribuidas , entonces , es un conjunto de números reales , y los eventos elementales son números reales. Este ejemplo muestra que la distribución de probabilidad continua no está determinada por las probabilidades de los eventos atómicos, ya que aquí las probabilidades de todos los eventos elementales son cero. $X$ $\Omega = \{ - \infty ; \infty \}$

Notas

↑ 1 2 Chernova N. I. Capítulo 1. § 2. Teoría elemental de la probabilidad // Teoría de la probabilidad . - Tutorial. - Novosibirsk: Universidad Estatal de Novosibirsk. un-t, 2007. - 160 p.

Espacio de eventos elementales

Evento elemental

Ejemplos

Notas

Véase también