4-aceleración

La 4-aceleración (cuatro-aceleración, cuatro-aceleración) en cinemática relativista es un cuatro-vector que generaliza la aceleración clásica y se define como la derivada de la 4-velocidad con respecto al tiempo propio de la partícula:

{\mathbf {A}}={\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau }}=\left(\gamma _{u}{\dot \gamma }_{u}c,\ quad \gamma _{u}^{2}{\mathbf a}+\gamma _{u}{\dot \gamma }_{u}{\mathbf u}\right)=\left(\gamma _{u} }^{4}{\frac {({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}})}{c}},\quad \gamma _{u}^{2}{\mathbf {a }}+\gamma _{u}^{4}{\frac {\left({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}}\right)}{c^{2}}}{\ matemáticasbf{u}}\right),

dónde

{\mathbf a}={d{\mathbf u} \over dt}

- 3-aceleración,

{\boldsymbol {\beta}}={\mathbf {u}}/c

— adimensional de 3 velocidades,

{\dot \gamma }_{u}={\frac {{\mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {{ \mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right )^{{3/2}}}}

y es el factor de Lorentz para la u de 3 velocidades . El punto sobre la variable significa la derivada con respecto al tiempo coordinado en un marco de referencia dado, y no con respecto al tiempo propio. $\gamma _{u}$ $\tau.$

En un marco de referencia inercial con movimiento instantáneo , es decir, en tal marco de referencia ${\mathbf u}=0,$ $\gamma _{u}=1$ ${\punto\gamma}_{u}=0,$

{\mathbf {A}}=\left(0,{\mathbf a}\right).

Geométricamente, la 4-aceleración es el vector de curvatura de la línea universal [1] [2] .

Por lo tanto, el módulo de la aceleración 4 (que es un escalar invariante) es igual a la aceleración intrínseca , que "siente" una partícula que se mueve a lo largo de su línea de mundo . Las líneas de mundo que tienen una aceleración constante de 4 son círculos de Minkowski, es decir, hipérbolas (ver movimiento hiperbólico ).

Incluso a velocidades relativistas, la aceleración 4 está relacionada con la fuerza 4 que actúa sobre la partícula mediante una fórmula que generaliza la segunda ley clásica de Newton :

F^{\mu}=mA^{\mu};

aquí m es la masa de la partícula.

El producto escalar de la 4-velocidad y la 4-aceleración correspondiente es siempre cero. Es fácil ver esto diferenciando la identidad con respecto al tiempo propio: Así, la 4-aceleración y la correspondiente 4-fuerza codirigida con ella, actuando sobre una partícula, son siempre ortogonales a su 4-velocidad (y la 4-impulso codirigido con 4-velocidad ) - en contraste con la mecánica clásica. ${\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv c^{2}$ ${\frac {d}{d\tau}}({\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}})=2{\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau} }\cdot {\mathbf {U}}=2{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv {\frac {d}{d\tau }}c^{2}=0.$ $p^{\mu}=mU^{\mu}$

En relatividad general , las componentes de la aceleración de cuatro vectores están relacionadas con las componentes de la velocidad de cuatro a través de la derivada covariante con respecto al tiempo propio.

A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}U^{\mu }U^{\nu }

( Γ λ μν son símbolos de Christoffel ).

En la relatividad especial, las coordenadas suelen expresarse en un marco de referencia inercial rectilíneo, por lo que desaparece el término con símbolos de Christoffel, pero en ocasiones, cuando los autores utilizan coordenadas curvilíneas para describir el sistema acelerado, el marco de referencia no es inercial, sino físico. sigue siendo relativista especial, ya que la métrica es simplemente la transformación de coordenadas de la métrica del espacio de Minkowski . En tal caso, se debe usar la expresión anterior, porque aquí los símbolos de Christoffel no son todos cero.

Cuando la fuerza 4 es cero, solo la gravedad actúa sobre la partícula, y la versión de cuatro vectores de la segunda ley de Newton (ver arriba) se reduce a la ecuación geodésica. Una partícula que realiza un movimiento geodésico tiene un valor cero para cada componente del 4-vector de aceleración. Esto es consistente con el hecho de que la gravedad no es una fuerza.

Véase también

Notas

↑ Pauli W. Teoría de la Relatividad . — 1981 Dover. - BG Teubner, Leipzig, 1921. - Pág . 74 . — ISBN 978-0-486-64152-2 .
↑ Synge JL , Schild A. Tensor Calculus . — 1978 Dover. - Prensa de la Universidad de Toronto , 1949. - P. 149, 153 y 170. - ISBN 0-486-63612-7 .

Literatura

Pauli W. Teoría de la Relatividad . - republicado en 1981 por Dover. - BG Teubner, Leipzig, 1921. - ISBN 978-0-486-64152-2 .
Papapetrou A. Conferencias sobre relatividad general . — Compañía editorial D. Reidel, 1974. - ISBN 90-277-0514-3 .
Rindler, Wolfgang. Introducción a la Relatividad Especial (2º ) . - Oxford: Oxford University Press, 1991. - ISBN 0-19-853952-5 .
Synge JL, Schild A. Cálculo tensorial . - reeditado en 1978 por Dover. - Prensa de la Universidad de Toronto , 1949. - ISBN 0-486-63612-7 .