Oscilador LC

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Un oscilador LC es un circuito eléctrico que consta, en el caso más simple, de capacitancia , inductancia y resistencia no lineal conectadas en paralelo, cuya característica corriente-voltaje tiene una conductividad diferencial negativa en la región de bajos voltajes. La ecuación diferencial del circuito tiene la forma Si el CVC de la resistencia no lineal se aproxima por un polinomio reducido de tercer orden , entonces con coeficiente negativo , positivo e igualdad numérica , la ecuación (1) coincide con la ecuación de Van der Pol . En el caso general, la ecuación (1) no tiene solución analítica. Es posible obtener una solución estacionaria en cuadraturas para casos especiales. Uno de ellos es la aproximación del CVC de una recta que pasa por el origen de coordenadas, con un quiebre en un punto , de forma que la conductividad diferencial viene descrita por la expresión [1] donde , y son constantes positivas. En , el sistema es inestable, y en y pequeñas oscilaciones estacionarias surgen en el sistema que tienen una forma cercana a las armónicas. En intervalos separados del período de oscilación, la solución estacionaria de la ecuación homogénea (1) en tiene la forma: donde , , , . El período de oscilación , el momento del tiempo que sirve como límite de los intervalos en los que se considera (1) y las constantes de integración se determinan a partir de la solución del sistema de ecuaciones [2] ; ; ; ; ; . Coeficientes de solución (1), obtenidos numéricamente con un error en el último dígito en H, F, Cm, B y : ${g=di/du}$

${\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+{\frac {g(u)}{C}}{\frac {du}{dt}}+{\frac {1}{LC}}u=0,\quad(1)$

${\displaystyle i(u)=a_{1}u+a_{3}u^{3))$ $un_{1}$ $un_{3}$ ${\displaystyle a_{1}=-a_{3))$ $tu_{{0}}$

$g(u)=\left\{{\begin{matriz}kG,&u\geq U_{0};\\-G,&u<U_{0},\end{matriz}}\right.$

$k$ $GRAMO$ $tu_{{0}}$ $k<1$ $k>1$ $GRAMO$ $kG<{\sqrt {C/L}}$

$u(t)=\left\{{\begin{matriz}u_{1}=(a_{1}\sin \omega_{1}t+a_{2}\cos \omega_{1} t)exp{(-\delta_{1}t)};\quad 0\leq t<t_{1};\\u_{2}=(a_{2}\sin \omega_{2}t+ a_ {2}\cos \omega _{2}t)exp(\delta _{2}\,t);\quad \,t_{1}<t\leq T,\end{matriz}}\right.$

${\ estilo de visualización \ delta _ {1} = kG/(2C)}$ ${\ estilo de visualización \ delta _ {2} = G/(2C)}$ ${\displaystyle \omega _{1}={\sqrt {1/(LC)-(kG/2C)^{2))))$ ${\displaystyle \omega _{2}={\sqrt {1/(LC)-(G/2C)^{2))))$
$T$ ${\ estilo de visualización t_ {1}}$ ${\ estilo de visualización a_ {1,2}}$ ${\ estilo de visualización b_ {1,2}}$

$u_{1}(0)=U_{0}$ ${\displaystyle u_{1}(t_{1})=U_{0))$ ${\ estilo de visualización u_ {1} (0) = u_ {2} (T)}$ $u_{1}(t_{1})=u_{2}(t_{1})$ $\left.{\begin{matrix}du_{1}/dt\end{matrix}}\right|_{0}=\left.{\begin{matrix}du_{2}/dt\end{ matriz}}\right|_{T}$ $\left.{\begin{matrix}du_{1}/dt\end{matrix}}\right|_{t_{1}}=\left.{\begin{matrix}du_{2}/dt \end{matriz}}\right|_{t_{1}}$

$L=1$ $C=1$ ${\ estilo de visualización G = 0,2}$ ${\ estilo de visualización U_ {0} = 1}$ $k=2$

$a_{1}=4.66464104629771$ ,B; ,B; ,B; ,B; ,Con; , Con. ${\ estilo de visualización a_ {2} = 1}$ ${\ estilo de visualización b_ {1} = 2,13803529592679}$ $b_{2}=0.0116873463357039$ $t_{1}=2.78836465601698$ ${\ estilo de visualización T = 6,55583946961978}$

En el caso de que las oscilaciones generadas se vuelvan relajacionales, la solución se busca como una suma de dos funciones exponenciales, pero las constantes de solución aún se determinan a partir de la condición de continuidad y en los puntos de coincidencia , y . $G>{\sqrt {C/L}}$ $Utah)$ $du/dt$ $t=0$ $t=t_{1}$ $t = T$

La conductividad diferencial se puede especificar de otra manera [3] . $Gu)$

Notas

↑ Andronov, A.A., Chaikin, C.E., Theory of Oscillations, Princeton University Press, Princeton, NJ, (1949).
↑ Biryukov V. N., Gatko L. E. "Solución estacionaria exacta de la ecuación del autogenerador", Nonlinear World, 10 (9),. 613-616, (2012).
↑ Pilipenko AM y Biryukov VN "Investigación de los métodos modernos de análisis numérico de la eficiencia de los circuitos autooscilantes", Journal of Radio Electronics, n.° 9, (2013). http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text-engl.html Archivado el 3 de febrero de 2017 en Wayback Machine .